傅里叶级数

整理


π π 2 j t 2 j n t 1 1 1 4 4 e e 2
π j 1 j1t 1 j1t 1 jπ 1 4 j 2 1 t 4 j 2 1 t f (t ) 1 1 e 1 e e e e e 2 j 2 j 2 2
频谱特点：
1 2 1 2 F ( n 1 ) a n bn c n 2 2
离散性
谐波性 收敛性 双边谱
1 2 1 2 F (n1 ) an bn cn 2 2
Fnn
1 F2
F0
F3
31 1O 1
3 1
谱线，包络
20
相位频谱
n
O
n ~ n1
3w1 w1
O
1
0.25 π
三角形式与指数形式的频谱图对比
三角函数形式的频谱图
cn c 1 c0
1
n
2.24
0.25 π
c2
1
1
O
O
1
2 1
2 1
0.15 π
指数形式的频谱图
F n 1
0.15 π
n
0.25 π
0.5
1.12
1
1.12
0.5
2 1
2 1
1
0 0
1 0.15 π
1 0.15 π
2 0.25 π
2 0.25 π
n
0.15 π
0.25 π
指数形式的频谱图
F n 1
0.5
1.12
1
1.12
0.5
2 1
2 1
1
1
O
0.15 π
2 1
25
2 1 1
n 1

1
余弦形式
f ( t ) c 0 c n cosn 1 t n
n 1

2
c0 a0
2 2 cn an bn
an cn cos n bn cn sin n
bn n arctan a n
O
1
3 1

13
傅立叶级数的意义：周期信号经过傅立叶级 数展开，将时域信号f(t)转换到了频域表示
t→ω 。
时域周期信号f(t)
FS
函数表示：c0 cn cos n1t n
n1
波形表示：频谱图（幅度谱、相位谱）
14
二．指数函数形式的傅里叶级数
1．复指数正交函数集
T1 T1 t 2 2
f t
求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。
1 a0 T1
2 an T1

T1 2 T 1 2
A tdt 0 T1
A/2
T1 2
T1 2
t

T1 2 T 1 2
A t cosn 1t d t 0 T1
2 bn T1

T1 2 T 1 2
A A t sinn 1t d t ( 1)n1 T1 nπ
n 1,2,3
傅里叶级数展开式为 f t 0 A sin 1t A sin 2 1t π 2π 9
f ( t ) a0 an cosn 1t bn sinn 1t
三角函数形式的频谱图
cn c 1 c0
1
n
c0 1
0 0
2.24
c1 5 2.236 1 0.15 π
0.25π
c2
1
1
O
c2 1
2 0.25 π
23
O
1 2 1
2 1
0.15π
化为指数形式
1 j1t f (t ) 1 e e j1t 2j 2 j1t e e j1t 2
n 1

1
称为三角形式的傅里叶级数。其系数
直流分量 余弦分量的幅度
正弦分量的幅度
1 t0 T1 a0 f (t ) d t t T1 0 2 t0 T1 an f (t ) cos n1t d t T1 t0 2 t0 T1 bn f (t )sin n1t d t T1 t0
4
§3.2 周期信号傅里叶级数
主要内容： •三角函数形式的傅氏级数 • 频谱图 • 两种傅氏级数的关系 • 函数的对称性与傅里叶级数的关系 •周期信号的功率 Fourier Series （FS)
• 指数函数形式的傅氏级数
•傅里叶有限级数与最小方均误差
5
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.三角函数集
1

jn1t

n
Fe
n

jn1t
an jbn 其中：Fn 2 1 t 0T1 Fn f (t )(cos n1t j sin n1t )dt T1 t 0
1 t 0T1 jn1t Fn f (t )e dt T1 t 0
17
f (t )Hale Waihona Puke Baidu
n
3
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传 导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展 开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去， 得到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体 问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的 前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法 具有很多的优点。 •FFT快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
22
例3-2-2
π 已知f ( t ) 1 sin 1t 2 cos 1t cos 2 1t ， 4 请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
π f ( t ) 1 5 cos( 1t 0.15π ) cos 2 1t 4 三角函数形式的傅里叶级数的谱系数
n1
n1

1、信号分解为直流分量，及各正、余弦分量之和，各 分量的频率是信号频率ω1的整数倍。 频率为ω1 、2 ω1 、 n ω1分量：基波、二次谐波、n次 谐波 2、
c0：直流分量
cn： n次谐波分量的幅度大小 φ n： n次谐波分量的相位大小
11
4、幅度频谱图和相位频谱图
f ( t ) c 0 c n cosn 1 t n
n
F

n
e
j n1t
F n1 F (n1 ) e
相频频谱图
j n
幅频频谱图
1 2 1 2 F ( n 1 ) a n bn c n 2 2 bn n arctan a n
| Fn |~ n1
n ~ n1
19
4、频谱图
O
1 3 1
-π
n
n1
F (n1 )
关于1的偶函数 关于 1的奇函数
21
为什么引入负频率?
f t 是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对 e
j n 1
和e
－j n 1
，才能保证f ( t )的实函数的性质不变。
对于双边频谱，负频率 ( n 1 ) ，只有数学意义，而无物 理意义。
F

n
e
j n1t
(1)
(2)
1 t0 T1 j n1t Fn f (t ) e dt T t0
理解：
周期信号可分解为 指数信号 e
j n1t
, 区间上的
的线性组合。
各分量角频率为 n1，各分量系数 Fn
18
3、幅度频谱图和相位频谱图
f (t )
1 1 F (n1 ) Fn an jbn F (n1 ) an jbn 2 2

n 2
j n 1 t F ( n ) e 1
2
1 j0.15π 1 1 . 12 e F (0) 1 F 1 2 j 1 j0.15π F 1 1 1 . 12 e 2 j
1 jπ F 2 1 e 4 2 1 jπ F 2 1 e 4 2
24
谱线
F0 F (0) 1 F1 F ( 1 ) 1.12 F1 F ( 1 ) 1.12 F2 F ( 21 ) 0.5 F 2 F ( 21 ) 0.5
f (t )
2 an f (t )cos n1t d t T 4 2 f (t )cos n1t d t T 0
f (t ) a0 [ F (n1 )e
n 1

jn1t
F (n1 )e
1
jn1t
)]
又 F (n1 )e
n 1

jn1t
F (n1 )e jn t
n 1

令F (0) a0
16
结果：
f (t )
n
F (n )e
n 1
2
幅度频谱（图）：把cn对nω 1的关系绘成图形 相位频谱（图）：把φ n对nω 1的关系绘成图形
cn ~ n1
n ~ n1
12
5、 频谱图
谱线，包络
cn
频谱特点：
离散性
谐波性 收敛性
幅度频谱图
c1
cn ~ n1
c0
c3
单边谱

O 1
3 1
相位频谱图
n
n ~ n1
第九章
数字信号处理的实现
1
第三章
教学目的：
傅里叶变换
1、掌握傅里叶级数的定义及性质。
2、掌握傅里叶变换的定义及性质。
3、建立信号频谱的概念。
4、掌握频谱密度函数的概念及其意义。
5、掌握抽样定理及抽样信号频谱的特征 教学重点：
1、傅里叶变换及其性质。
2、抽样定理。
2
§3.1 引言
时域分析
频域分析
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示 了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频 率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、 带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。
正弦形式
f (t ) d0 d n sin n1t n
n1

(3)
10
周期信号傅立叶级数
f (t ) a0 an cos n1t bn sin n1t

理解：
f (t ) c0 cn cos n1t n
1 1 1 1 1 1
15
an jbn jn t an jbn jn t f (t ) a0 ( e e ) n 1 2 2

1 1
令
又
(an jbn ) F (n1 ) (n 1,2,) 2
a n 是n的偶函数，b n 是n的奇函数
an jbn 所以 F ( n1 ) 2
7
3、狄利克雷（Dirichlet）条件
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。 条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个。 条件3:在一周期内，信号绝对可积。

t 0 T1
t0
f (t ) d t
一般的周期信号都满足狄氏条件.
8
例3-2-1
A f (t ) t T1
e
j n 1 t

n 0,1,2
2．指数形式的傅里叶级数(推导）
f (t ) a0 an cosn1t bn sin n1t
n 1
1 jn t jn t cos( n1t ) (e e ) 2 1 jn t j jn t jn t jn t sin( n1t ) (e e ) (e e ) 2j 2
cosn1t , sinn1t n=0,1,...
构成完备的正交函数集
6
2．傅里叶级数形式
2 周期信号 f t , 周期为T1 , 基波角频率为 1 T1 在满足狄氏条件时，可展成
f ( t ) a0 an cosn 1t bn sinn 1t
1
O
0.15 π
2 1
26
2 1 1
O
1
0.25 π
三．函数的对称性与傅里叶级数的关系
主要内容：
偶函数
奇函数 奇谐函数
偶谐函数
27
1．偶函数
T 2 T 2 T
信号波形相对于纵轴对称
1 T 2 a0 T f (t )d t T 2
f (t ) f ( t )