四阶微分差分方程的非线性边值问题的存在性
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，＋∞ 凸
≤０ ＾ 卢 １ ， （ ） ，（ （ ） １ ）≥ ０ ， 时 边值 问题
“” ＝ ｔ
， ，
（ —下 ， ） ｔ ）
（Ｏ １）
（） ＝ （） ￡ ，一７≤ ｔ ０ － ≤ ＾ ｕ １ ， （ ） ＝０ （ （ ） １ ）
（ １ １） （２ １）
１ 预 备 定 理
本节 考 虑时滞 边值 问题
１ ＝ ｔＭ ｕ ｔ ） Ｍ ， １ ， １ １ ， ， （ —ｒ ， Ｔ １ １ ， １ ， ， ） １ ｔ （） ≤ ｔ ０ １ ）＝ ｔ ，一 ， （ ≤ ｈ １ １ ， （） （， ） １ ）＝０ １ （
４ ） ５ ）
ｃ ［ 『０ ０ １ ， 得 当 一ｒ≤ ｔ １时 ， 一｜ ］ｎ Ｃ ［ ， ］ 使 ， ≤
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下面将讨论边值问题（ ） ６ 解得存在性． ４ ～（ ） 定理 １ｓ 假 设 Ｉ ］
（ ） ｔｕ ， １ ， ， Ｗ）∈ Ｃ（ ０ １ ， 任 意 ［ ，］ＸＲ ） 对 的 ｒ ＞ ０存 在 ［ ，＋ ∞ ）上 的 正 值 连 续 函 数 ０
６ ）
（ ）＝Ａ １
（） ９
有 解 （） 使得 （）≤ （）≤ ｔ ， ｔ ｌ ｆ， ｔ ￡ （）０≤ ≤ ，
其 中 ．＞０与 Ａ及 （）同上． ｒ ｔ
定 理 ２ 假设 （） １ 定理 １的条 件 （ ） （ ） （ ） １ ，２ ，３ 成立
（ ） （ ）∈Ｃ Ｒ ） 且 （ 叩 对 固定 的 ２ ＾ ， （ ， ， ）
Ｉｏ 满 上 ７ｄ＝ 使 当 ≤≤， ｔ） 足 － Ｏ ∞，得 ０ ￡ｌ （，
收 稿 日期 ：０８０ ．４ ２ ０ －８２
作者简介 ： 王国灿（９３ ， ， １６ 一）男 教授 ， ， 硕士 主要从 事常微方程边值 问题 的研究
Ｅ－ ｉ ： ａ ｇ ｃ ｄ ． ｎ ｍａ ｌ ｗ ｎ ｇ ＠ １ ｅ ．
（） ２
（） ３
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（ ）＝ Ｂ，（ ）＝ Ｃ， （ ” １ ， （ ） ＝０ ０ １ ＾ （ ） １ ）
则对任意的函数 （）∈Ｃ ［ ， ］ ｔ ｌ 一 ０ 和实数 Ａ， 当
（）≤ （）≤卢（） 一 ≤ ｔ ０ 且 ａ １ ｔ ｔ ￡， ≤ ， （ ）≤Ａ
四 阶微 分 差 分 方 程 的非 线 性 边 值 问题 的存 在 性
王 国灿
（ 大连交通大学 理学院 ， 宁 大连 １６ ２ ） 辽 １０ ８
摘
要： 利用微分 不等式技巧研究 了某一类 四阶微分差分方程 的非线性 边值 问题 ， 上下解． 得 结果表 明 ： 这种技巧为其它边值 问题 的研究 提出了崭新的思路． 关键词 ： 四阶微分 差分方程 ； 非线性边值 问题 ； 微分不等式
第３ １卷 第 ２期 ２１ ０ ０年 ４月
大 连
交
通
大
学 学
报
Ｖ０ ． ｌ Ｎｏ ２ Ｉ３ ．
Ａｐ ． ０１ ｒ２ ０
Ｊ ０ＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｄ ＡＵ ＡＮ ＪＡＯＴ Ｇ Ｕ ＶＥ Ｉ Ｉ ＯＮ ＮＩ ＲＳＴＹ
文章编号 ：６ ３ ９ ９ （０ ０ ０ － ０ ５ ０ １７ － ５ ０ ２ １ ）２ ０ ８ —４
‘ ’＝／ ｔ ，”．（ 一丁 ， ） ＜， ， ，ｔ ｔ ） ｔ （） １
ｆ ｆ ， ｉ 时 ， ｔｕｔ ≤ｒ ｆ ≤ｒ ； ，， ， ）≤Ｈ（ ｆ ； ｆ ）
（ ） 固定的 ｔ ， ￡ ） ２对 ，加 ， ， 关于 单调 ，
不增 ；
（ ） 在 函 数 （） （） ∈ ［ ｒ １ ３存 ￡， ｔ 一． ］ｎ ，
大 连 交 通 大 学 学 报
第 ３ 卷 １
有解 Ｍｔ ， Ｏ ｔ ≤ｕｔ ≤卢 ｆ， ≤ｔ ． （）使得 ／ ） （） （） 一 （ ≤１
证 明 首先 当 Ｏ １ ＝ （ ）时 ， （）≤ ｔ ） １ （ 由 ｔ 卢（） ｔ 可得 （ ）≥／ （ ） 又据条 件 （ ）知 （ ） １ ３ １， １ １ ≥ （ ） 即有 （ ） ＝ （ ）则 边值 问题 “ １， １ １， ”＝
其 中，－ ７ ＞０与 及 （）同上， ｚ
＝ （ ＋ ｆ
【 ｉ ， ｕｓｄ ， ｉ ， 于 ［，］×［，］ Ｋ（ ｓ （）ｓ Ｋ（ ｓ ｔ） ｔ ） ０１ ０１ 上 关 于 田单调 不减
连 续 ， （）于 ［ １ ｔ ０，］上连续 ．
则对任意 的函数 （）∈Ｃ［ ，］当 ｔ ｔ ｌ一 ０ ， （）
中图 分 类 号 ： １５ ８ ０ ７ ． 文 献标 识 码 ： Ａ
０ 引言
四阶微分 方程 的各 种边 值 问题 已经受 到 了广 泛 而深入 的研 究 ¨ 。 对 于带 时滞 项 的微分 差分 ４， 但 方程 的研究 相 对较 少 ， 本文 利用 微分 不等式 技 巧 ， 考虑 一般 的 四阶微 分差 分方 程 的非线 性边 值 问题
其 中 ， ＞０与 Ａ， ｃ为 给 定 的 常 数 ， （）为 丁 日， ｔ ［ ， 一ｒ０］上 的一 阶连续 可 微 函数 ， 上 下解 存 在 在 的条 件下 ， 到 了解 的存 在 性 和 唯 一性 定 理 ． 得
≤卢 １ （ ）时 ， 边值 问题
ｕ ｔｕ “ ｔ一． ， ＝ ， ，（ ｒ １） ）１ ， Ｍ ｔ ＝ （） （） ｔ ，一． ｔ≤ ０ ｒ≤ （） ７ （） ８
≤０ ＾ 卢 １ ， （ ） ，（ （ ） １ ）≥ ０ ， 时 边值 问题
“” ＝ ｔ
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（Ｏ １）
（） ＝ （） ￡ ，一７≤ ｔ ０ － ≤ ＾ ｕ １ ， （ ） ＝０ （ （ ） １ ）
（ １ １） （２ １）
１ 预 备 定 理
本节 考 虑时滞 边值 问题
１ ＝ ｔＭ ｕ ｔ ） Ｍ ， １ ， １ １ ， ， （ —ｒ ， Ｔ １ １ ， １ ， ， ） １ ｔ （） ≤ ｔ ０ １ ）＝ ｔ ，一 ， （ ≤ ｈ １ １ ， （） （， ） １ ）＝０ １ （
４ ） ５ ）
ｃ ［ 『０ ０ １ ， 得 当 一ｒ≤ ｔ １时 ， 一｜ ］ｎ Ｃ ［ ， ］ 使 ， ≤
（）≤ （） 理 （ ）≥ ｔ ｔ ， ｔ ｒ ，ｃ ｔ ） ｔ ｔ ， ” ｔ ， ） （ 一｜ ０ （ ） ， （ ）
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（ ）＝Ａ １
（） ９
有 解 （） 使得 （）≤ （）≤ ｔ ， ｔ ｌ ｆ， ｔ ￡ （）０≤ ≤ ，
其 中 ．＞０与 Ａ及 （）同上． ｒ ｔ
定 理 ２ 假设 （） １ 定理 １的条 件 （ ） （ ） （ ） １ ，２ ，３ 成立
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Ｉｏ 满 上 ７ｄ＝ 使 当 ≤≤， ｔ） 足 － Ｏ ∞，得 ０ ￡ｌ （，
收 稿 日期 ：０８０ ．４ ２ ０ －８２
作者简介 ： 王国灿（９３ ， ， １６ 一）男 教授 ， ， 硕士 主要从 事常微方程边值 问题 的研究
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（ ）＝ Ｂ，（ ）＝ Ｃ， （ ” １ ， （ ） ＝０ ０ １ ＾ （ ） １ ）
则对任意的函数 （）∈Ｃ ［ ， ］ ｔ ｌ 一 ０ 和实数 Ａ， 当
（）≤ （）≤卢（） 一 ≤ ｔ ０ 且 ａ １ ｔ ｔ ￡， ≤ ， （ ）≤Ａ
四 阶微 分 差 分 方 程 的非 线 性 边 值 问题 的存 在 性
王 国灿
（ 大连交通大学 理学院 ， 宁 大连 １６ ２ ） 辽 １０ ８
摘
要： 利用微分 不等式技巧研究 了某一类 四阶微分差分方程 的非线性 边值 问题 ， 上下解． 得 结果表 明 ： 这种技巧为其它边值 问题 的研究 提出了崭新的思路． 关键词 ： 四阶微分 差分方程 ； 非线性边值 问题 ； 微分不等式
第３ １卷 第 ２期 ２１ ０ ０年 ４月
大 连
交
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大
学 学
报
Ｖ０ ． ｌ Ｎｏ ２ Ｉ３ ．
Ａｐ ． ０１ ｒ２ ０
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文章编号 ：６ ３ ９ ９ （０ ０ ０ － ０ ５ ０ １７ － ５ ０ ２ １ ）２ ０ ８ —４
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ｆ ｆ ， ｉ 时 ， ｔｕｔ ≤ｒ ｆ ≤ｒ ； ，， ， ）≤Ｈ（ ｆ ； ｆ ）
（ ） 固定的 ｔ ， ￡ ） ２对 ，加 ， ， 关于 单调 ，
不增 ；
（ ） 在 函 数 （） （） ∈ ［ ｒ １ ３存 ￡， ｔ 一． ］ｎ ，
大 连 交 通 大 学 学 报
第 ３ 卷 １
有解 Ｍｔ ， Ｏ ｔ ≤ｕｔ ≤卢 ｆ， ≤ｔ ． （）使得 ／ ） （） （） 一 （ ≤１
证 明 首先 当 Ｏ １ ＝ （ ）时 ， （）≤ ｔ ） １ （ 由 ｔ 卢（） ｔ 可得 （ ）≥／ （ ） 又据条 件 （ ）知 （ ） １ ３ １， １ １ ≥ （ ） 即有 （ ） ＝ （ ）则 边值 问题 “ １， １ １， ”＝
其 中，－ ７ ＞０与 及 （）同上， ｚ
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连 续 ， （）于 ［ １ ｔ ０，］上连续 ．
则对任意 的函数 （）∈Ｃ［ ，］当 ｔ ｔ ｌ一 ０ ， （）
中图 分 类 号 ： １５ ８ ０ ７ ． 文 献标 识 码 ： Ａ
０ 引言
四阶微分 方程 的各 种边 值 问题 已经受 到 了广 泛 而深入 的研 究 ¨ 。 对 于带 时滞 项 的微分 差分 ４， 但 方程 的研究 相 对较 少 ， 本文 利用 微分 不等式 技 巧 ， 考虑 一般 的 四阶微 分差 分方 程 的非线 性边 值 问题
其 中 ， ＞０与 Ａ， ｃ为 给 定 的 常 数 ， （）为 丁 日， ｔ ［ ， 一ｒ０］上 的一 阶连续 可 微 函数 ， 上 下解 存 在 在 的条 件下 ， 到 了解 的存 在 性 和 唯 一性 定 理 ． 得
≤卢 １ （ ）时 ， 边值 问题
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