薄板的屈曲

第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载
板在微弯状态时的总势能为：
U V
2 2 2 2 2 2 2 D a b w w w w w U 2 2 2 1 2 2 dxdy 0 0 2 x y x y xy
2
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
临界荷载为板保持微弯曲状态的最小荷载，故取n＝1；
1 2D N x ,cr 2 m2 a 2 b2 b N x ,cr k 2E x ,cr 2 2 t 12 1 b / t
单向非均匀受压板的弹性失稳
作用于板中面单位长度荷载为：
px 1t 1 0 y / b px1 1 0 y / b
由总势能公式有（ py pxy 0）：
2 2 2 2 2 w 2 w 2 w 2 D a b 1 a b w w w 2 2 2 1 2 2 dxdy 0 0 px dxdy 2 0 0 x y x y x y 2 x 带入w及px 4 2 2 2 px1ab 2 m 2 2 m n 2 Dab Amn 2 2 Amn 2 8 b 8 m1 n 1 a m 1 n 1 a
板的屈曲方程
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载
迦辽金法
算例Ⅰ：求解单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。板的两加载ຫໍສະໝຸດ Baidu 简支，两非加载边固定。 板的平衡微分方程：
4w 4w 4w 2w L w D 4 2 2 2 4 px 2 0 x y y x x
均匀受压简支板
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
边界条件：
2w 0 x 0 、 x a 时： w0 2 x 2w y 0 、 y b 时： w0 0 2 y m x n y 代入平衡方程有： w Amn sin sin a b m 1 n 1
1/ 80 ~ 1/100 t / b 1/ 5 ~ 1/ 8 薄板：
受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计。
薄膜：t / b 1/ 80 ~ 1/100
受力特点：没有抗弯刚度，依靠薄膜拉力与横向荷载平衡。
第6章 薄板的屈曲
板失稳的特点：
板屈曲时产生出平面的双向弯曲变形（凸曲现象），故板上任何一 点的弯矩 M x 、 M y 和扭矩 M xy以及板的挠度 w 都与此点的坐标有关。 板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理 想矩形板可直接求解分叉屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条

a b
由
m 1 dk 0 ，有 2 2 0 dm m m
N x ,cr ,min 4
m
kmin 4
2D
b2
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
板件屈曲系数（四边简支）
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载
瑞利-里兹法
A0
m2 2b2 D 2 D 1 m2 2b2 px 6 1 6 1 b2 2 2 2 2 a b a
令 m 1 ，可得px的最小值：
1 1 0 y / b
0 0 为均匀受压； 0 2 为纯弯矩作用。
非均匀受压简支板
用里兹法求解屈曲荷载
假定符合简支边界条件的挠曲面函数为：
w Amn sin
m 1 n 1
m x n y sin a b
第6章 薄板的屈曲
不同面内荷载作用下板的弹性失稳
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
单向（x方向）均匀受压四边简支板，N y =Nxy 0 由
4w 4w 4w 2w 2w 2w D 4 2 2 2 4 N x 2 2 N xy Ny 2 x y y x xy y x 4w 4w 4w 2w D 4 2 2 2 4 Nx 2 0 x y y x x
假定挠曲面函数为：
w Ay sin
m x a
代入总势能公式，积分后有：
px 2 m2 2 D 2 m2 2 m2 2b2 3 A 1 ab A ab 2 a 2 6a 2 12 a2 2 2 2 2 2 m 2 2b3 Dm b m b A 1 p 由势能驻值原理，有： 0 x 2 a a a
高屈曲系数并无 明显效果； 如把加劲肋间距 取得小于2b又很 不经济。
是有效的。
加载边固定与加 载边简支对屈曲 系数的影响：当 a/b<2时提高幅 度很大。
屈曲系数 k 与 的关系
第6章 薄板的屈曲
不同面内荷载作用下板的弹性失稳
单向非均匀受压板的弹性失稳
规定压应力为正值，拉应力 为负值，应力梯度为： 0 1 2 1 距离上边缘y处的应力为：
4w 4w 4w 2w 2w 2w D 4 2 2 2 4 N x 2 2 N xy Ny 2 x y y x xy y x
Et 3 D 为板的抗弯刚度； 2 12 1
Nx、N y 为板中面沿x、y轴方向单位长度上的应力； N xy 为板中面单位长度上的剪力。
m4 4 m2 n2 4 n4 4 N x m2 2 m x n y A 2 sin sin 0 mn 4 2 2 4 2 ab b D a a b m 1 n 1 a

满足上式的唯一条件是每一项系数中括号内的式子为零：
m4 4 m2 n 2 4 n4 4 N x m2 2 2 a 2 D m2 n2 2 2 2 4 2 0 或 Nx a4 ab b D a m2 a 2 b2
V
1 2 0
a

b
0
w 2 w w w dxdy Nx 2 N xy Ny x y y x
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载
瑞利-里兹法
要求假定的挠曲面函数符合板的几何边界条件。 假定挠曲面函数为：
4a 2 dp x 2 由 2 0 ，有： m dm 3b2
px ,cr 7.283
2D
b2
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载
不同边界条件单向均匀受压板的屈曲系数
对于单向均匀受 压的狭长板，用 横向加劲肋减小 对于很宽的薄 板，采用纵向加 劲肋减小宽度b
比值a/b从而提
薄板的屈曲
主要内容:
小挠度理论板的弹性曲面微分方程 能量法计算板的弹性失稳荷载 不同面内荷载作用下板的弹性失稳 几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件 板稳定理论在钢结构设计中的应用
第6章 薄板的屈曲
钢结构中板的分类：
t / b 1/ 5 ~ 1/ 8 厚板：
受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不 能忽略剪切变形的影响。
件的板，用平衡法很难求解；需用能量法或数值法求解。 理想薄板失稳属于稳定的分叉失稳。对于有刚强侧边支撑的板，会
产生薄膜应力，提高钢板屈曲后的强度（屈曲后强度）。 按照小挠度理论分析只能得到板的分叉屈曲荷载，根据大挠度理论
分析才能得到板的屈曲后强度和板的挠度。
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
w A sin
假定挠曲面函数为：
m x 2 y sin a b a b m x 2 y L w sin sin dxdy 0 建立迦辽金方程：0 0 a b 2 D m2b2 8 16a 2 px 2 2 2 2 b a 3 3m b
力问题。 薄板弯曲时，中面内各点不产生平行于中面的应变。即在xy平面上
的投影形状不变。类似于受弯构件平截面假定。
板为各向同性的弹性体，应力与应变关系服从虎克定律。
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
弹性曲面微分方程
以弯曲变形后的状态建立x、y、z方向力的平衡方程和绕x轴、y轴的 力矩的平衡方程，合并后有：
2 2
2 a 2 D m2
a 2b 2 m 2 1 2D k 2 m2 a 2 b2 b
均匀受压板的屈曲应力与板的宽厚比 的平方成反比，而与板的长度无关。
k为屈曲系数，且：
2 ab m2 1 b a m k 2 2 m m a b a mb m 2 2
假定挠曲面函数为：
w Aii x, y
i 1 n
板的平衡微分方程为： L w 0 建立迦辽金方程组：
a b L w x, y dxdy 0 1 0 0 a b 0 0 L w 2 x, y dxdy 0 积分 关于Ai的线性方程组 系数行列式为零 a b L w n x, y dxdy 0 0 0
w Amn x, y
m 1 n 1
代入总势能公式，积分后利用势能驻值原理，有：
A 0 11 系数行列式为零 0 A12 A 0 mn
板的屈曲方程
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载
基本假定：
垂直于中面方向的正应变很小，可以忽略。即中面任何一根法线上， 薄板全厚度内的所有点具有相同的挠度；且可以忽略中面因弯曲变 形伸长而产生的薄膜应力。
zx 和 zy 远小于 x、 y 和 xy ，故可以忽略他们产生的 应力分量 z 、
正应变 z 、剪应变 zx 和 zy 。薄板小挠度弯曲问题可简化为平面应
px ,cr k
2D
b2
2b 2 k 2 6 1 / 2 a
若取 0.3 ，则：
b2 k 0.425 2 a
均匀受压三边简支一边自由
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载
迦辽金法
要求假定的挠曲面函数符合板的几何和自然边界条件。
瑞利-里兹法
算例Ⅰ：求解单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。板的两加载边和 一个非加载边简支，另一非加载边自由。 由 py pxy 0 ，有总势能为：
D 2 0
a 2 2 2 2 2 2 2 2 w w w 1 a b w w w 2 2 1 2 2 dxdy 0 0 px dxdy 2 0 x y x y x y 2 x b