线性代数-N阶行列式

cos sin 0
R
sin 0
cos
0
0 1
则变换后的圆锥曲线其方程即为
X R S RT X T 0
用矩阵方法来表示圆锥曲线的旋转变换， 不仅表达简明，而且更便于计算机程序实现。
线性代数这一门学科各章内容之间有较强 的渐进关系；概念具有多样性；有些理论比较 抽象；解决问题的方法富于变化；对本课程的 这些特点，在以后的学习中应予以注意。
x2
D2 D
x3
D3 D
其中 Dj（j = 1, 2, 3）是用常数项 b1, b2, b3 替换
系数行列式 D 中的第 j 列所得的三阶行列式。
1 01 例2．计算行列式 D 1 2 3
3 11
解
D =1 21 1 (1) 1 0 3 3
8
1 2 3 1 31 0 (1) 1
=8
但应当指出的是：主、副对角线法则不易于向 一般 n 阶行列式推广。
其实，这个三阶行列式的展开式的值也可以用 下面的所谓主、副对角线法则得到：
a11 a12 a13
a21 a22 a23
－
a31 a32 a33 ＋
而且当三元线性方程组的系数行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 0
a31 a32 a33
时，用消元法同样可得这个方程组的解
x1
D1 D
章节内容
第一章. 行列式 第二章. 矩 阵 第三章. 向量组 第四章. 线性方程组 第五章. 矩阵的对角化 第六章. 二次型 *第七章. 线性空间与线性变换
第一章 行列式
§ 1.1 n阶行列式的定义 § 1.2 n阶行列式的性质 § 1.3 n阶行列式的计算 § 1.4 克莱姆(Cramer)法则
一. 二阶、三阶行列式
研究二元线性方程组：
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
1 2
利 用
1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
消 元
2 a12 : a12a21x1 a12a22 x2 b2a12 ,
法 两式相减消去 x2 ，得
同理
线性代数是应用数学知识解决实际问题的
一个强有力的工具。例如，在计算机图形处理 中，通常将圆锥曲线
Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0
写成下列矩阵形式
A
B 2
D
2
x
x
y
1
B 2
D 2
C
E 2
E 2
y 1
0
F
简记为 XSX T 0
如果将该圆锥曲线作（绕原点的）旋转变换 （坐标系不变），设变换矩阵
D
aaa132111＋－ aaa1322＋－22
a13 aa＋32－33 a11 A11 a12 A12 a13 A13
A12 =
(1)12 a21 a31
a23 a33
(a21a33
a23a31)
和
A13 =
(1)13 a21 a31
a22 a32
a21a32 a22a31
而且
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11A11 a12 A12 a13 A13
a31 a32 a33
其中 A11, A12, A13 分别是第一行元素 a11,a12,a13
的代数余子式：
A11
=
(1)11
a22 a32
a23 a33
a22a33 a23a32
同理
＋ －＋
x1 3 x1
2 4
x2 x2
0 1
解 由于方程组的系数行列式
12
D
4 6 2 0
34
又
02
10
D1 1
2 4
D2 3
1 1
所以方程组的解为
x1
D1 D
1
x2
D2 D
1 2
类似地，如果在求解三元方程组
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
x2
b2a11 a11a22
b1a21 a12a21
a12 a11
a21
a12
a22
D1
a12 D
a22
b1
b2
D2
a12
D
a22
其中
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
D a11 a12 a21 a22
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11 a21
b1 b2
例1． 解线性方程组
b1 b2
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
的过程中引入下列三阶行列式的记号
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
并规定其值为：
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33
a31 a32 a33
a11 (a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31)
事实上，三阶行列式的计算，除了主、副对 角线法则
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23
－
a31 a32 a33 ＋
还可以按照依第一行展开的方法得到行列式 的值。 即
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
Leabharlann Baidux2
b2a11 a11a22
b1a21 a12a21
从二元线性方程组解的形式可以发现，如果引
入记号（叫做二阶行列式）：
ab
D
ad bc
cd
则其解可简洁地表示为：
b1
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
b2 a11
a21
a11
行列式是线性代数中的一个基本工具。在初等 数学里已经介绍二阶、三阶行列式，现在为了研 究 n 元线性方程组需要进一步讨论 n 阶行列式。
本
讨论二阶、三阶行列式
性
章
质
逻
进一步介绍 n 阶行列式
与 计
辑 顺
n阶行列式的定义、性质与计算
算 为
重
序 解决一类 n 元线性方程组求解问题 点
第一节 n 阶行列式
线性代数
南京工业大学理学院 信息与计算科学系
程浩
介绍
线性代数是研究在日常生活里、在工程技术 的许多领域以及在各项科学研究中经常出现的 代数问题的一门学科。
这些代数问题包括：矩阵的运算，线性方 程组的求解理论与方法，化二次型为标准型， 线性空间与线性变换等。
1 什么全国大学生数学建模竞赛？ 2 数学建模竞赛在我校的情况？ 3 该怎样参加数学建模竞赛？