六年级数学上册：《数学广角──数与形》教材分析

六年级数学上册：《数学广角──数与形》教材分析

数形结合是一种非常重要的数学思想，把数和形结合起来解决问题，可以使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观.

数与形相结合的例子在小学数学教材与教学中随处可见.有些情况下，是图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的问题.本单元的例1以及相关练习就属于这种情况.例如，第109页第2题（如下图），使学生通过观察，发现第2个图比第1个图增加2个小圆，第3个图比第2个图增加3个小圆，第4个图比第3个图增加4个小圆……这样依次下去，各个图形中的小圆个数分别是1，3，6，10，…，即1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…如果是第个图，小圆的个数是.等学生将来学习了等差数列的有关知识，就知道第个图形

中小圆的个数是.

而有些情况下，是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然.尤其是对于小学生，其思维的抽象程度还不够高，经常需要借助直观模型来帮助理解.例如，利用长方形模型来教学分数乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理、乘法分配律、完全平方公式等.

还有的时候，数与形密不可分，可用“数”来解决“形”的问题，也可用“形”来解决“数”的问题.例如，解析几何中，函数图象与方程、方程组互为工具，互为解释，有机融合.小学中的正比例关系和反比例关系图象也很好地反映了这样的思想.

本单元教材以“”“”为例，引导学生认识利用数和形的结合解决一些有趣的数学问题.

一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》，下同）的主要区别

新教材把《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》上册的“鸡兔同笼”问题移至四年级下册，新编“数形结合”的内容.本册的数学广角，编排了一个新的内容──数与形.

二、教材例题分析

例1：连续奇数的等差数列之和等于某平方数.

本例让学生计算从1开始的连续若干奇数之和.在计算时，即使不借助图形，也可以通过，，…发现规律：从1开始，连续个奇数之和，就是的平方.但把图形与算式对应起来，更具直观性，更能让学生体会到数学之美.图中有的规律显而易见（每个图都是一个大的正方形，第个图形中，大正方形的每行、每列都有个小正方形，因此，小正方形的总数是）,有的规律相对比较隐蔽(从左下角到右上角，每个“┓”形的小正方形的个数分别是1，3，5，7，…).每个图中都“隐藏”着一个等式，如第个图中的等式就是.从图形的角度直观理解“正方形数”或“平方数”的特点，显然，使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点得到关于数的规律.

例2：等比数列之和等于1.

本例让学生计算的得数.学生在计算的过程中发现

，，，…

加数有规律，即后一个加数是前一个加数的；和也有规律，每次相加所得的和都等于1减去最后一个加数；加数的项数越多，和越接近1.

这些加数无限地加下去，最后的和无限接近于1.但这个无限接近于1的数到底是多少呢？教材利用“分数的认识”中的面积模型和长度模型，在圆上和线段上表示出这些加数，使学生借助图理解：无限加下去，最终的得数为1.由此，教材借助图形解决了比较抽象的、复杂的、不好解决的问题.

但在实际教学中，即使有了图形的直观支持，仍有学生对最终结果为1这一事实不能理解，这也是非常正常的.可以有两种解释的方法：第一种，如果学生认为和为，教师可以追问：

如果再加上一项呢？加上，和就变成了.不管找到一个多么接近1的数，总还能再加一项，得到一个比它更接近1的和，这恰恰是极限思想的精髓所在.第二种，可以利用反推的方法来使学生明白其中的道理：

……

本单元的教学重点是自主探索图形中隐藏着的数的规律，会利用图形来解决一些有关数的问题，并学会应用所发现的规律.教学难点是体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想.

基于上述内容和要求，教师在实际教学时需注意以下方面问题：

（一）引导学生自主探索规律、应用规律，培养学生合作交流、抽象概括的能力

“形”的问题中包含着“数”的规律，“数”的问题也可以用“形”来帮助解决.教师教学时，通过学生的自主探究、合作交流，既要让学生充分利用图形的直观、形象特点，用图形来表示数的规律性，感受化数为形的简捷性；同时，又要让学生寻找图形中所包含的数的规律，用数（或代数式）来表示图形，建立模式，感受用数或者代数式表示的概括性.总之，要让学生在解决问题的过程体会到数与形的完美结合，并逐步培养学生的抽象概括能力.

（二）引导学生从多角度探索数与形的通用模式，培养学生的数学思想

小学阶段，虽然不要求写出一个数列的通项公式，但可以通过数形结合的方式，利用图形的规律，从不同角度用自己的语言描述出数列的通用表达式，进而达到渗透数形结合、抽象概括等数学思想的教学目的.

《数学广角──数与形》重难点突破

一、自主探索图形中隐藏着的数的规律，会利用图形来解决一些有关数的问题，并学会应用所发现的规律

突破建议：

1．引导学生数形结合，从不同角度寻找规律.形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决，教学时，要让学生通过解决问题体会到数与形的这种完美结合.既可以从数的角度出发，让学生看看可以怎样用图形来表示数的规律，也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律.通过数与形的对应关系，互相印证结果，感受数学的魅力.例如，教学例1时，可从形引入，先让学生说一说三幅图中分别有多少个小正方形？你是怎么发现的？通过学生的讨论，学生容易得出小正方形数为12，22，32，…的结论；也可以使学生看到三个图中的小正方形数还可以分别表示成1，1+3，1+3+5，…的结论.也可以从数引入，让学生通过计算，发现1+3=4，1+3+5=9，…有的学生可能很快发现4=22，9=32，…此时老师可以引导学生用正方形来表示这些算式，使学生通过数与形的比照，看到这些连续的奇数在图形中的什么地方，平方数代表的又是图形中的什么.从而对规律形成更为直观的认识.

2．充分发挥教师的指导作用，让学生感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性.例2中，“无限”的概念非常抽象，学生不易理解.因此，在教学过程中，教师要积极发挥自身的主导作用，帮助学生深刻理解.比如说，教师可以出示一个圆或者一条线段或者一个正方形，让学生根据分数的意义表示出这些加数，使学生直观地看到最终的结果是“1”.从而进一步感受到“化数为形”的直观、形象、简捷特点.当然，如果学生还是有困难，教师也可以通过反

推的方法帮助学生理解.

二、体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想

突破建议：

1．在学生经历发现模式、应用模式的过程中渗透数形结合、归纳推理等数学思想.本单元教学通过数与形的比照，引导学生从不同角度探索规律.例如，通过观察与计算1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，…既能发现加数的规律，又能发现和的规律.在发现规律的基础上，通过推理，逐步抽象，形成模式，再引导学生把规律应用于一般的情形，解决问题.显然，这样的一个教学过程，既是学生自主探究获取知识的过程，更是有机渗透数学思想方法的过程，使学生在潜移默化的过程体会与领悟推理和数形结合的思想.

2．在利用数形结合解决问题的过程中积累基本的数学经验，培养基本的数学思想.例如，在例2教学中，让学生通过计算，发现和越来越趋向于1，感受什么叫“无限接近”.虽然无