弹性波动力学学习手册样本

本学习手册的编写旨在帮助初学者更好地掌握每一章节的重点内容, 并提供相应的计算练习实例以及相应练习。

第一章 仿射正交张量

§1.1 指标记号及两个符号 一、 指标记号

1、 凡使用指标的记号系统为指标记号, 如单位基向量: e i , 空间内任一点坐标: x i , 今后会遇到的应变张量ij e 、 应力张量ij τ 等。

2、 求和约定

例: 空间内任一点P 的向径可表示为:

3

1122331i i i x x x x ===++∑x e e e e ( 1)

在( 1) 式中可发现是对指标i 从1至3的取值范围内求和。能够将其简写为:

112233i i x x x x =++=x e e e e ( 2)

这即是求和约定, 亦即在数学表示式内同一项中, 有某个指标重复出现一次且仅一次( 如( 2) 式中的指标i ) , 就表示对该指标在其取值范围内取一切值, 并对所得到的对应项求和。该求和指标也称为哑标。

需要说明的是: 由于该指标仅表示在其取值范围内求和, 因此用其它拉丁字母代替亦可, 可是不能与后文提到的自由指标相重复。

例1: i ji j t n τ=

该例中, 同一项中指标j 有重复且只重复一次, 因此为哑标。 另一指标i 不参与求和约定, 称其为自由指标。 该式展开为:

i =1时, 11111212313j j t n n n n ττττ==++ i =2时, 22121222323j j t n n n n ττττ==++ i =3时, 33131232333j j t n n n n ττττ==++

自由指标的个数决定了简写方程代表实际方程的个数, 哑标的个数决定了

该项所代表的实际求和项的项数。

例1中, 由于只有一个自由指标i , 因此实际上它代表有133=个表示式; 右端项只有一个哑标j , 因此该项展开后是133=项的和。

例2: 112233ii A A A A =++ 例3: 1122S S S αα=+

需要说明的是: 教材中用拉丁字母书写的指标取值范围是1、 2、 3, 而用希腊字母书写的指标取值范围是1、 2( 如例3中的指标

) 。

针对指标记号的练习题:

练习1: 写出jk ij ik A B C = ( 23个方程, 每个方程右端有13个累加项)

练习2: 1

2

ij ij W e τ= ( 03个方程, 23个累加项)

二、 两个符号

1、 Kronecker 符号ij δ

1,0,ij i j i j δ=⎧=⎨≠⎩ 写成阵列的形式即为: ()100010001ij δ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

Kronecker 符号的特点: ( 1) ij ji δδ= (2) i j ij δ=e e

(3) 1122333ii δδδδ=++= (4) j ij i a a δ= (5) kj ik ij A A δ= (6) ik kj ij δδδ=

例4: 向量i i a =a e 和i i b =b e , 有:

()i i i a b ±=±a b e 注意: ±可作为求和约定中”同一项”的分隔符 i i j j i j i j i j ij i i a b a b a b a b δ====a b e e e e 注意: 点乘(包括叉乘符号)符号不能作为”同一项”的分隔符, 因此此例中将向量b 的下标换成了j 。

2i j ij i i a a a a a δ===a a 2、 排列符号( 置换符号) :

112311230ijk ijk e ijk ijk ⎧⎪

=-⎨⎪⎩

为的顺时针排列为的逆时针排列取值有重复时

因此1232313121e e e ===, 1323212131e e e ===-, 其余21个值为0. 还有: ijk jki kij kji jik ikj e e e e e e ===-=-=-

例5: 123231312,132,,,⨯=⨯=⨯=⨯=-e e e e e e e e e e e e

则有: i j ijk k e ⨯=e e e 例6: 向量i i a =a e 和i i b =b e , 有:

()()()i i j j i j i j ijk i j k a b a b e a b ⨯=⨯=⨯=a b e e e e e 则 ()ijk i j k e a b ⨯=a b

针对两个符号的练习题:

练习3: 已知ii e θ=, λ和μ为常数, 试将此式开展: 2ij ij ij e τλθδμ=+

§1.2 坐标变换

旧系: 123ox x x , 单位基向量: i e

新系: 123ox x x , 单位基向量: i e 坐标变换系数: ()cos ,ij i j i j β==e e e e

新旧坐标系下的单位基向量坐标变换规律: ,i ij j i ji j ββ==e e e e 新旧坐标系下的空间点坐标变换规律: ,i ij j i ji j x x x x ββ==

1 2

3

向量f , 在旧系下的分量i f , 新系下的分量为i f , 其坐标变换规律为: ,i ij j i ji j f x f f ββ==

向量的解析定义: 若有3个量, 它们在123ox x x 和123ox x x 的分量分别为i f 和

i f , 当两个坐标系之间的变换系数为ij β时, i f 与i f 之间按式,i ij j i ji j

f x f f ββ==变换, 则这3个量有序整体形成一个向量f , 此3个量为向量f 的分量。

§1.3 张量的定义 一、 张量的定义

1、 0阶张量( 标量) : 03个分量, 在旧系下为()123,,x x x ϕ, 新系下

()123,,x x x ϕ, 当进行坐标变换时满足()()123123,,,,x x x x x x ϕϕ=。

2、 一阶张量( 向量) : 13个有序分量, 满足,i ij l i ji j a a a a ββ==

3、 二阶张量: 23个有序分量, 满足 ,ij im jn mn ij mi nj mn T T T T ββββ==

记()ij T =T , 写成阵列形式为: ()111213212223313233ij T T T T T T T T T T ⎡⎤

⎢⎥==⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

T 4、 n 阶张量, 同上

练习4: 试证空间中任意两点间的距离对坐标变换来讲都是个不变量( P 8,例1.3-1) 。

练习5: P27,题1-5 练习6: P27,题1-6

二、 张量的表示方法

并向量表示法( 实体表示法) : i i a =a e ij i j T =T e e