复数的几何意义(公开课)

A |a| = |OA|
O
x
z=a+bi Z(a,b)
y
a(a ≥ 0) a(a 0)
O
|z|=|OZ|
2
x
a b
2
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
注意
成点Z或说成向量 OZ 且规定相等的向量 表示同一个复数.
为了方便起见，我们常把复数z=a+bi说
向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模，记作
|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a, 它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可 知： |z|= |a+bi|=r=
a +b 0, r ∈ R ).
2 2(r
例3 求下列复数的模：
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考： (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？ 这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
m (3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想
变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0 上，求实数m的值.
小结
y
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？ –5 设z=x+yi(x,y∈R)
| z | x y 5
2 2
5
5 O x
–5
图形: 以原点为圆心, 半径为5的圆.
满足3<|z|<5(z∈C) 的复数z对应的点在复 平面上将构成怎样的图 形？
–5 –3
实部!
虚部!
…
一个复数 由什么唯 一确定？
思考1 ： 复数与点的对应 Y
（１） ２+５i ；
（２） －３+２i； （３） ２－４i； （４） －３－５i； （５） ５；
２
O ５
１
（６） －３i；
X
６ ４
３
思考2：点与复数的对应(每个小正方格的边长为1) Y
G
A C F O E
X
D H
B
由此可知，复数集C和复平面内所 有的点所成的集合是一一对应的. 复数的几何意义之一是： 记住！
5
y
3
O
5
3
5 x
设z=x+yi(x,y∈R)
3 x y 5
2 2
9 x y 25
2 2
–3
–5
图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
例5 已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)| 点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
3.实轴上的点都表示实数；除了原点外， 虚轴上的点都表示纯虚数； 4.复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.复平面 内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a, bi)；
5.复数的两个几何意义： 复数z=a+bi
一一对应
复平面内的点Z(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 平面向量 OZ
6.复平面内任意一点 Z(a,b)可以 与以原点为起点，点 Z(a,b) 为终 点的向量 OZ 对应； 7.复数的模通过向量的模来定义；
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯 A 虚数”的（ ）. (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 3．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的（ ）. (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
；
3. a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要但不充分 条件.
实数的几何意义
在几何上， 我们用什么 来表示实数? 实数可以用数轴 上的点来表示.
一一对应
实数 (数 )
数轴上的点 (形 )
类比实数的 表示，可以 用什么来表 示复数？
想 一 想 ？
回 忆
复数的 一般形 式？
Z=a+bi(a, b∈R)
练一练
•复平面内的原点(0,0)表示( 实数0); •实轴上的点(2,0)表示(实数2)； •虚轴上的点(0,-1)表示( 纯虚数-i ); •点(-2,3)表示( 复数-2+3i).
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
3 m 2 m 2 m 6 0 得 解：由 2 m 2 或 m 1 m m 2 0
复数 z=a+bi
一一对应
复平面内 的点Z(a,b)
复数的几何意义（一）
有序实数对(a,b) 复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
a
b
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) （形） 建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x
y
o
x轴------实轴 y轴------虚轴
.
课前复习
1. 对 虚数单位i 的规定 ① i 2=-1； ②可以与实数一起进行四则运算. 2. 复数z=a+bi(其中a、bR)中a叫z 的 实部、 b叫z的 虚部 . a 0 z为实数 b=0 、z为纯虚数 b 0 .
练习:把下列运算的结果都化为 a+bi（a、bR）的形式. 2 -i = ；-2i = ；5= ；0=
观察
实百度文库上的点都表示实数；虚 轴上的点都表示纯虚数，除原点
外，因为原点表示实数0.
复数z=a+bi用点Z(a,b)表示. 复平面内的点Z的坐标是(a,b),而 不是(a, bi),即复平面内的纵坐标
轴上的单位长度是1，而不是i.
例1.辨析： 1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数.
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离
(4)|z+2i| 点A到点(0, －2)的距离
已知复数m=2－3i,若复数z满足等式
|z－m|=1,则z所对应的点的集合是什么 图形?
以点(2, －3)为圆心,1为半径的圆.
课堂小结
1.复数的实质是一对有序实数对；
2.用平面直角坐标系表示复平面，其 中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴；
解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2）， ∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，
∴m=1或m=-2.
复数的几何意义（二）
复数z=a+bi
一一对应 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量 OZ
y
z=a+bi Z(a,b)
小结:
复数的几何意 义是什么？
复数的几何意义
复数z=a+bi
一一对应
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量 OZ
比 一 比 ？
复数还有哪 些特征能和 平面向量类 比?
a
b
o
x
小结
复数的绝对值 (复数的模) 的几何意义: 对应平面向量 OZ 的模| OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离.
z =a +b i Z (a,b)
O
y
x
2 2 | z | = | OZ | a b
小结
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义: 复数 z=a+bi在复平 实数a在数轴上所 对应的点 A 到原点 O 的 面上对应的点Z(a,b)到 原点的距离 . 距离. a
教学重难点
重点
•对复数几何意义的理解以及复数的向 量表示.
难点
•由于理解复数是一对有序实数不习惯，对 于复数几何意义理解有一定困难.
•对于复数向量表示的掌握有一定困难.
想一想 练一练
5 4.已知x、yR， (1)若(2x-1)+i=y-(3-y)i ，则x= 2 、 y= 4 ； 4 3 (2) 若(3x-4)+(2y+3)i=0，则x= 3 、y= 2 =b= 0 . 特别地，a+bi=0 ａ