《高等数学》一元函数微分学.ppt

恒有 f (x) A .
A的邻域,
A
A
x0的空心 邻域A,
该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
的几何解释
0
x0 x0 xx00 x 0 x0 x0 x0 x0
f (x)
x
.
1. 函数的极限 lim f ( x) A x x
0, 0, 当 0 | x x0 | δ 时 ,
恒有 f (x) A .
lim f ( x) A 的几何解释
x x
y
A的邻域,
A A
A
x0的空心 邻域,
该邻域内所有点 x
的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x))
落在绿色区域内.
0
x0 x0 x0
§1 一元函数微分学
主 目 录（1 – 18）
1 函数极限的几何解释
3 x 时的极限
5 数列的极限 7 函数的连续性 9 微分的几何意义
2 函数的左极限
4 x+ 时的极限
6 无穷大 8 导数的几何意义
对函数进行全面讨论并画图：
10 y xex
11 y x
x
13
y
arccos
x x
16 y cos2x
落在绿色区域内.
y
f (x)
A+
A
A–
–N
0
N
x
3. x 趋于无穷大时的极限 lim f (x) A 的几何解释 x A的邻域, N > 0, 对满足 |x| > N 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
A–
0
x0
x0
x
2. 函数的左极限 lim f ( x) A 的几何解释 x x
A的邻域，
y
f (x)
x0的左半 邻域， A
该邻域内所有点x 对应的曲线上的点 A 落在绿色区域内.
A
0
x0
x0
x
.
2. 函数的左极限 lim f ( x) A 的几何解释 x x
A的邻域，
y
f (x)
0, 0, 当
y
0 | x x0 | δ 时 ,
恒有 f (x) A .
A的邻域,
A
A
x0的空心 邻域A,
该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
的几何解释
0
x0 x0 x0
f (x)
x
.
1. 函数的极限 lim f ( x) A x x
该邻域内所有点 x A–
的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
0
x0
x0
x0
f (x)
x
1.当
y
0 | x x0 | δ 时 , 恒有 f (x) A .
A
的几何解释
A的邻域,
恒有 f (x) A .
A的邻域,
A
A
x0的空心 邻域A,
该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
的几何解释
0
x0
x0
x0
f (x)
x
.
1. 函数的极限 lim f ( x) A x x
0, 0, 当
y
0 | x x0 | δ 时 ,
落在绿色区域内.
几何上：函数有极限
等价于这种 邻域与
空心 邻域之间
0
存在着无限的对应.
x0 x0 x 0 x0x0
x
因此，函数的极限定义也称函数极限的 — 定义 .
2. 函数的左极限 lim f ( x) A 的几何解释 x x
A的邻域，
y
f (x)
x0的左半 邻域， A+
该邻域内所有点x 对应的曲线上的点 A 落在绿色区域内.
A
A
A的邻域,
A
该 x邻0的域内空所心有点邻x域AAAA,
的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x))
落在绿色区域内.
的几何解释
0
x0
x0
x0
f (x)
x
.
1. 函数的极限 lim f ( x) A x x
0, 0, 当
y
0 | x x0 | δ 时 ,
cos x
14
y
x x
17 弧微分ds的几何意义
12
x y ( x )
15 y = x – 2arctan x
18 曲率
1. 函数的极限 lim f ( x) A x x
0, 0, 当
y
0 | x x0 | δ 时 , A+
恒有 f (x) A .
的几何解释
A的邻域,
A
x0的空心 邻域,
x0
x
.
2. 函数的左极限
A的邻域， x0的左半 邻域，
lim f ( x) A
x x
y
的几何解释
该邻域内所有点x
A
对应的曲线上的点 A
落在绿色区域内. A
几何上： 函数有左极限等价于
这种邻域与左半邻
域存在着无限的对应.
0
x0 x0x0xx00 x 0
f (x)
x
.
3. x 趋于无穷大时的极限 lim f (x) A 的几何解释 x A的邻域, N > 0, 对满足 |x| > N 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
x0的左半 邻域， AA
该邻域内所有点x
A
A
对应的曲线上的点 A
落在绿色区域内. A
A
AA
0
x0
x0
x
.
2. 函数的左极限 lim f ( x) A 的几何解释 x x
A的邻域，
y
f (x)
x0的左半 邻域，
该邻域内所有点x
A
对应的曲线上的点 A
落在绿色区域内. A
0
x0
f (x)
x
.
1. 函数的极限 lim f ( x) A 的几何解释 x x
0, 0, 当
y
f (x)
0 | x x0 | δ 时 ,
恒有 f (x) A .
A的邻域,
A A
A
x0的空心 邻域,
该邻域内所有点 x
的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x))
A
x0的空心 邻域,
该邻域内所有点 x A
的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
0
x0
x0
x0
f (x)
x
.
1. 函数的极限 lim f ( x) A x x
0, 0, 当
y
0 | x x0 | δ 时 ,
恒 有 f ( x) A . AA
0, 0, 当
y
0 | x x0 | δ 时 ,
恒有 f (x) A .
A
A
A的邻域,
A A
A
A
x0的空心 邻域A,
该邻域内所有点 x
的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x))
落在绿色区域内.
的几何解释
0
x0 x0 x0
f (x)
x
.
1. 函数的极限