模糊数学评价方法
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... ... nm
3因素论域U上的每个单因素ui在所有因素中所起作用的大小不同， 用权重B来度量。
B b1, b2 , b3..., bn
Y B R
4 模糊综合评价模型为
例题：清江2000年7月水质监测结果为： DO=2.69mg/L,BOD=2.5mg/L;CODMn=7.73mg/L,酚 =0.0076mg/L，氰化物=0.0040mg/L,水质分级如下： Ⅰ DO 7.0 BOD 1.5 CODMn 2.0 Ⅱ 5.0 2.0 3.0 Ⅲ 3.0 3.0 5.0 Ⅳ 2.0 5.0 8.0 Ⅴ 1.0 8.0 10.0
2. 计算指标的熵值： k(j,1)=0; for j=1:p for i=1:n k(j,1)=s(j, i)*log(s(j, i))+k(j,1); end end for j=1:p h(j,1)=-k(j,1); end 4. 计算指标xj的权重： p=0; for j=1:p p=p+g(j,1); end for j=1:n w(j,1)=g(j,1)/p; end
(12)人均GDP
(13)GDP年均增长率
√
0.0845
8经济效率
(14)单位GDP能耗 (15)单位GDP水耗
√
0.0926
9经济结构 环境 10自然生态状况
(16)第三产业占GDP比重 (17)建成区绿化覆盖率 (18)人均水资源量
√ √
0.0836 0.0880
11人工环境状况
(19)城市污水集中处理率 (20)工业固体废物综合利用 率 (21)生活垃圾无害化处理率
0.3061,0.2615,0.4550,0.5330,0.5002,0.6086,0.6304,0.6481,0.7082,0.7267,0.8229,0.6946
0.9 0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
根据最大隶属度原则武汉城市生 态系统健康优劣排序结果为： 2003，2002，2001，2004， 20001999，1998，1996，1997， 1995，1993，1994。根据评价 结果，可以看出1993-2004年， 武汉城市生态系统健康除2004年 有所下降外，整体上是相对稳定 上升的。
0 ui vi 2 ui vi 2 第一级(k=1)：ik (ui ) vi1 ui vi 2 vi1 vi 2 ui vi1 1 ui vi 3 , ui vi1 0 ui vi1 第二级(k=2)：ik (ui ) vi1 ui vi 2 vi 2 vi1 ui vi 3 vi 2 ui vi 3 vi 2 vi 3
Ci
如对U集合中各指标进行计算，得到各指标权重为： B=(0.20, 0.19, 0.30, 0.18, 0.13);如U取n项，B为1×n矩阵
模型总结
1 环境质量因素集合： U u1 , u2 , u3 ,..., un
环境质量评价集合： V v1 , v2 , v3 ,..., vm
酚 CN
0.002 0.005 0.001 0.002
0.01 0.005
0.02 0.01
0.03 0.02
3 熵值权重法
熵值法赋权是一种客观赋权法，它根据来源于客观环境的原 始信息，通过分析各指标之间的联系程度及各指标所提供的 信息量来决定指标的权重，从而在一定程度上避免了主观因 素带来的偏差。 设xij（经无量纲化后，数据不能为0）表示样本i的第j个指标 的数值，（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，p），其中n和p 分别为样本个数和指标个数。 （1）对指标做比重变换： （2）计算指标的熵值： （3）将熵值逆向化：
2000
2002
2004
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
X Axis Title
1.0
经济要素
0.8
社会的最大隶属度1.000(2001)， 经济的最大隶属度0.9561(2004)， 环境的最大隶属度0.7526(1998)
Y Axis Title
0.6
0.4
0.2
0.0
1992
2文化教育
(4)万人高等学历在校学 生数
生态系统服务 3生活便利 功能 程度
(5)人均公共绿地面积
(6)居民人均住房面积 (7)人均道路面积
√
√
0.089
0.0544
社会
4生活质量
5社会公平
(8)恩格尔系数
(9)城市化水平 (10)基尼系数
√
0.0773
6社会安定
(11)城镇登记失业率
经济
7经济活力
2 U,V确定以后，因素论域(各环境因素)与评语论域(各评价标准) 之间的模糊关系用模糊矩阵R来表示
11 R 21 ... n1
12 22 n 2
... ...
1m i j 表示第i种因素的环境质量属于 第j类评价标准的隶属度 ... 2 m
1994
1996
1998
2000
2002
2004
X Axis Title
武汉市12a来的城市总体建设取得了很好的成绩，城市 生态系统相对健康程度逐年上升。评价要素如人类健康、 生态服务功能、社会和经济要素整体发展趋势较好，但 环境要素的相对健康状态令人担忧。2004年武汉城市生 态系统相对健康状态下降的原因是由于2004年人类健康、 社会、环境要素的相对健康隶属度均下降造成。
用隶属度刻化环境质量的分级界限
以DO为例， 若DO指标的一级标准为8mg/L,二级标准为 6mg/L.则DO属于一级水的隶属度可用隶属函数表示为：
1 1 (u ) (u 6) 2 0 u 8 6u 8 u6
求各项单项指标(i)对每级(k)隶属度函数并建立模糊关系矩阵R： U 作为各污染指标的集合；V为分级标准的集合； 如U取{BOD,DO,COD,酚,CN}，V取{Ⅰ级, Ⅱ级，Ⅲ级，Ⅳ级，Ⅴ级}， 根据隶属度计算公式，可得到5阶矩阵，即为模糊关系矩阵R(5×5)
A : U [0,1]
模糊集合理论简介 隶属度与隶属函数 隶属度：表示元素u属于模糊集合A的程度。 隶属函数：指在论域U到[0,1]上的映射u： : U [0,1] ，u完全属于模糊集合。 0，则u完全不属于模糊集合。 当 1 ， 例子：“年轻”和“年老”是两个模糊概念，取论域 U=[0,100](年龄)，设描述“年轻”和“年老”的两个隶属函 数uy和ux，或者两个模糊集分别为Y和X，年龄u分别属于这两 个模糊集的隶属度为： 0 u 25 1
√ √
0.0920 0.0909
熵值法赋权相关程序
1. 对指标做比重变换第一 步 j=1:p; m(j,1)=0; for i=1:n m(j,1)=m(j,1)+x(j, i); end 对指标做比重变换第二步 for j=1:p for i=1:n s(j, i)=x(j, i)/m(j,1); end end 3. 将熵值逆向化： for j=1:p g(j,1)=1-h(j,1); end
0 u v 第三级(k=3)：ik (ui ) i i 2 vi 3 vi 2 1
ui vi 2 vi 2 ui vi 3 ui vi 3
计算权重
Ci Wi Si
对于DO，W
1 CDO S DO
各单项权重值归一化：W
Si n Ci Si i 1
年轻：Y (u ) u 25 2 1 [1 ( )] 5 25 u 100
Y(23)=1,X(80)=0.97
0 u 50 0 年老：X(u) u 50 2 1 [1 ( ) ] 50 u 100 5
2 模糊评价数学模型
sij
n
xij
x
i 1
n
ij
h j sij lnsij
g j 1 hj
i 1
（4）计算指标xj的权重： j
gj
g
j 1
p
j
评价要素
人类健康
类别
1人群健康
原始指标
(1)人口自然增长率(%) (2)死亡率 (3)千人拥有医院床位数
评价指标
熵权
√ √ √
0.093 0.0885 0.0663
r 11 r 12 r22 L rm 2 L L L L r 1n r2 n L rmn r21 L rm1
x xmin xmin x xmax x xmax
相对隶属度矩阵：
Rh
rij uh ( x), i 1, 2,L , m;
j 1, 2,L , n
根据相对隶属度矩阵R和指标权重集W，得到模糊综合评价矩阵 即 B gR 武汉城市生态系统健康总评价结果(1994-2005)
模糊数学评价法
2009年10月
教学内容
1、模糊数学评价的基本概念 2、模糊评价数学模型 3、权重的客观确定方法——熵值赋权法 4、案例研究
1 模糊数学评价的基本概念
模糊集合理论简介
确定性数学模型、随机性数学模型和模糊性数学模型是环 境质量评价经常采用的数学模型。 随机性和模糊性都是不确定性。 所谓随机性：是指事件的发生与否而言，事件本身的含义是 确定的。由于条件的不充分，事件的发生与否有多种可能。 [0,1]概率分布函数； 所谓模糊性：是指元素对集合的隶属关系，事件本身的含义 是不确定的。事件的发生与否是可以确定的。 [0,1]隶属函数； 需要举例随机和模糊 模糊集合A
1.0
生态服务功能
生态系统服务功能最大隶属度1.000 (2004)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
0.8
1.0
社会要素
Y Axis Title
0.7
0.8
0.6
0.6
0.5
0.4
环境要素
0.4
0.2
0.0
0.3
1992
1994
1996
1998
4 案例－城市生态系统健康评价
指标选取 从人群健康、生态系统服务功能、社会、经济、环境等五 种要素，11个类别，21个指标来描述武汉城市生态系统 健康状况 。 对原始指标进行相关性检验 ，避免指标之间存在重复性。 采用SPSS软件中的 Pearson相关系数 ，得到12个评价 指标。 权重计算 借助MATLAB7.0软件，利用熵值赋权法实现各评价指标 权重的计算
各指标相对健康隶属度计算 正指标相对健康隶属度：
1 x xmin uh xmax xmin 0
x xmax xmin x xmax x xmin
逆指标相对健康隶属度：
1 xmax x uh xmax xmin 0
1994 1996 1998 2000 2002 2004
武汉城市生态系统健康
0.2 1992
wenku.baidu.com
年份
0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 0.50 0.45 0.40 1992
人类健康
人类健康要素的最大隶属度 0.7627(2003)
1994
1996
1998
2000
2002
2004
3因素论域U上的每个单因素ui在所有因素中所起作用的大小不同， 用权重B来度量。
B b1, b2 , b3..., bn
Y B R
4 模糊综合评价模型为
例题：清江2000年7月水质监测结果为： DO=2.69mg/L,BOD=2.5mg/L;CODMn=7.73mg/L,酚 =0.0076mg/L，氰化物=0.0040mg/L,水质分级如下： Ⅰ DO 7.0 BOD 1.5 CODMn 2.0 Ⅱ 5.0 2.0 3.0 Ⅲ 3.0 3.0 5.0 Ⅳ 2.0 5.0 8.0 Ⅴ 1.0 8.0 10.0
2. 计算指标的熵值： k(j,1)=0; for j=1:p for i=1:n k(j,1)=s(j, i)*log(s(j, i))+k(j,1); end end for j=1:p h(j,1)=-k(j,1); end 4. 计算指标xj的权重： p=0; for j=1:p p=p+g(j,1); end for j=1:n w(j,1)=g(j,1)/p; end
(12)人均GDP
(13)GDP年均增长率
√
0.0845
8经济效率
(14)单位GDP能耗 (15)单位GDP水耗
√
0.0926
9经济结构 环境 10自然生态状况
(16)第三产业占GDP比重 (17)建成区绿化覆盖率 (18)人均水资源量
√ √
0.0836 0.0880
11人工环境状况
(19)城市污水集中处理率 (20)工业固体废物综合利用 率 (21)生活垃圾无害化处理率
0.3061,0.2615,0.4550,0.5330,0.5002,0.6086,0.6304,0.6481,0.7082,0.7267,0.8229,0.6946
0.9 0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
根据最大隶属度原则武汉城市生 态系统健康优劣排序结果为： 2003，2002，2001，2004， 20001999，1998，1996，1997， 1995，1993，1994。根据评价 结果，可以看出1993-2004年， 武汉城市生态系统健康除2004年 有所下降外，整体上是相对稳定 上升的。
0 ui vi 2 ui vi 2 第一级(k=1)：ik (ui ) vi1 ui vi 2 vi1 vi 2 ui vi1 1 ui vi 3 , ui vi1 0 ui vi1 第二级(k=2)：ik (ui ) vi1 ui vi 2 vi 2 vi1 ui vi 3 vi 2 ui vi 3 vi 2 vi 3
Ci
如对U集合中各指标进行计算，得到各指标权重为： B=(0.20, 0.19, 0.30, 0.18, 0.13);如U取n项，B为1×n矩阵
模型总结
1 环境质量因素集合： U u1 , u2 , u3 ,..., un
环境质量评价集合： V v1 , v2 , v3 ,..., vm
酚 CN
0.002 0.005 0.001 0.002
0.01 0.005
0.02 0.01
0.03 0.02
3 熵值权重法
熵值法赋权是一种客观赋权法，它根据来源于客观环境的原 始信息，通过分析各指标之间的联系程度及各指标所提供的 信息量来决定指标的权重，从而在一定程度上避免了主观因 素带来的偏差。 设xij（经无量纲化后，数据不能为0）表示样本i的第j个指标 的数值，（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，p），其中n和p 分别为样本个数和指标个数。 （1）对指标做比重变换： （2）计算指标的熵值： （3）将熵值逆向化：
2000
2002
2004
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
X Axis Title
1.0
经济要素
0.8
社会的最大隶属度1.000(2001)， 经济的最大隶属度0.9561(2004)， 环境的最大隶属度0.7526(1998)
Y Axis Title
0.6
0.4
0.2
0.0
1992
2文化教育
(4)万人高等学历在校学 生数
生态系统服务 3生活便利 功能 程度
(5)人均公共绿地面积
(6)居民人均住房面积 (7)人均道路面积
√
√
0.089
0.0544
社会
4生活质量
5社会公平
(8)恩格尔系数
(9)城市化水平 (10)基尼系数
√
0.0773
6社会安定
(11)城镇登记失业率
经济
7经济活力
2 U,V确定以后，因素论域(各环境因素)与评语论域(各评价标准) 之间的模糊关系用模糊矩阵R来表示
11 R 21 ... n1
12 22 n 2
... ...
1m i j 表示第i种因素的环境质量属于 第j类评价标准的隶属度 ... 2 m
1994
1996
1998
2000
2002
2004
X Axis Title
武汉市12a来的城市总体建设取得了很好的成绩，城市 生态系统相对健康程度逐年上升。评价要素如人类健康、 生态服务功能、社会和经济要素整体发展趋势较好，但 环境要素的相对健康状态令人担忧。2004年武汉城市生 态系统相对健康状态下降的原因是由于2004年人类健康、 社会、环境要素的相对健康隶属度均下降造成。
用隶属度刻化环境质量的分级界限
以DO为例， 若DO指标的一级标准为8mg/L,二级标准为 6mg/L.则DO属于一级水的隶属度可用隶属函数表示为：
1 1 (u ) (u 6) 2 0 u 8 6u 8 u6
求各项单项指标(i)对每级(k)隶属度函数并建立模糊关系矩阵R： U 作为各污染指标的集合；V为分级标准的集合； 如U取{BOD,DO,COD,酚,CN}，V取{Ⅰ级, Ⅱ级，Ⅲ级，Ⅳ级，Ⅴ级}， 根据隶属度计算公式，可得到5阶矩阵，即为模糊关系矩阵R(5×5)
A : U [0,1]
模糊集合理论简介 隶属度与隶属函数 隶属度：表示元素u属于模糊集合A的程度。 隶属函数：指在论域U到[0,1]上的映射u： : U [0,1] ，u完全属于模糊集合。 0，则u完全不属于模糊集合。 当 1 ， 例子：“年轻”和“年老”是两个模糊概念，取论域 U=[0,100](年龄)，设描述“年轻”和“年老”的两个隶属函 数uy和ux，或者两个模糊集分别为Y和X，年龄u分别属于这两 个模糊集的隶属度为： 0 u 25 1
√ √
0.0920 0.0909
熵值法赋权相关程序
1. 对指标做比重变换第一 步 j=1:p; m(j,1)=0; for i=1:n m(j,1)=m(j,1)+x(j, i); end 对指标做比重变换第二步 for j=1:p for i=1:n s(j, i)=x(j, i)/m(j,1); end end 3. 将熵值逆向化： for j=1:p g(j,1)=1-h(j,1); end
0 u v 第三级(k=3)：ik (ui ) i i 2 vi 3 vi 2 1
ui vi 2 vi 2 ui vi 3 ui vi 3
计算权重
Ci Wi Si
对于DO，W
1 CDO S DO
各单项权重值归一化：W
Si n Ci Si i 1
年轻：Y (u ) u 25 2 1 [1 ( )] 5 25 u 100
Y(23)=1,X(80)=0.97
0 u 50 0 年老：X(u) u 50 2 1 [1 ( ) ] 50 u 100 5
2 模糊评价数学模型
sij
n
xij
x
i 1
n
ij
h j sij lnsij
g j 1 hj
i 1
（4）计算指标xj的权重： j
gj
g
j 1
p
j
评价要素
人类健康
类别
1人群健康
原始指标
(1)人口自然增长率(%) (2)死亡率 (3)千人拥有医院床位数
评价指标
熵权
√ √ √
0.093 0.0885 0.0663
r 11 r 12 r22 L rm 2 L L L L r 1n r2 n L rmn r21 L rm1
x xmin xmin x xmax x xmax
相对隶属度矩阵：
Rh
rij uh ( x), i 1, 2,L , m;
j 1, 2,L , n
根据相对隶属度矩阵R和指标权重集W，得到模糊综合评价矩阵 即 B gR 武汉城市生态系统健康总评价结果(1994-2005)
模糊数学评价法
2009年10月
教学内容
1、模糊数学评价的基本概念 2、模糊评价数学模型 3、权重的客观确定方法——熵值赋权法 4、案例研究
1 模糊数学评价的基本概念
模糊集合理论简介
确定性数学模型、随机性数学模型和模糊性数学模型是环 境质量评价经常采用的数学模型。 随机性和模糊性都是不确定性。 所谓随机性：是指事件的发生与否而言，事件本身的含义是 确定的。由于条件的不充分，事件的发生与否有多种可能。 [0,1]概率分布函数； 所谓模糊性：是指元素对集合的隶属关系，事件本身的含义 是不确定的。事件的发生与否是可以确定的。 [0,1]隶属函数； 需要举例随机和模糊 模糊集合A
1.0
生态服务功能
生态系统服务功能最大隶属度1.000 (2004)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
0.8
1.0
社会要素
Y Axis Title
0.7
0.8
0.6
0.6
0.5
0.4
环境要素
0.4
0.2
0.0
0.3
1992
1994
1996
1998
4 案例－城市生态系统健康评价
指标选取 从人群健康、生态系统服务功能、社会、经济、环境等五 种要素，11个类别，21个指标来描述武汉城市生态系统 健康状况 。 对原始指标进行相关性检验 ，避免指标之间存在重复性。 采用SPSS软件中的 Pearson相关系数 ，得到12个评价 指标。 权重计算 借助MATLAB7.0软件，利用熵值赋权法实现各评价指标 权重的计算
各指标相对健康隶属度计算 正指标相对健康隶属度：
1 x xmin uh xmax xmin 0
x xmax xmin x xmax x xmin
逆指标相对健康隶属度：
1 xmax x uh xmax xmin 0
1994 1996 1998 2000 2002 2004
武汉城市生态系统健康
0.2 1992
wenku.baidu.com
年份
0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 0.50 0.45 0.40 1992
人类健康
人类健康要素的最大隶属度 0.7627(2003)
1994
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2002
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