二维离散型随机变量独立性判别定理及应用

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收稿日期：０００．６２１ —２１
作者简介：彭
刚（９５，男，湖南常德人，广东岭南职业技术学院讲师．要研究方向：不确定性理论１６一）主
２４
湖南理Ｔ学院学报（自然科学版）
第２３卷
＝（ｉｌ，２…，ｐ，＝（１２…，ｊ…）ＰＰ，ｐ， …），，Ｐ，，Ｐｐ
Ｖ０．３ＮＯ２１．２
Ｊｎ２１ｕ．００
二维离散型随机变量独立性判别定理及应用
彭刚，禹辉煌２
（．广东岭南职业技术学院，广州５０６；．湖南理工学院数学学院，湖南岳阳４４０）１１６３２１０６摘要：给出了二维离散型随机变量相互独立与否的判定定理及几个推论，并对推论进行了简单应用
１二维离散型随机变量相互独立的命题及推论
引理设是非零向量，与线性相关，则可由线性表出．
定理
若（Ｙ～则Ｘ和ｙ，）Ａ，相互独立的充要条件是联合概率矩阵的任意两个行向量（或两个列向
量）性相关．线
证明若与ｙ相互独立，由Ｐ＝ＰＰ，则Ａ中任意的两个行向量可写为：ｉ
ＰＥＮＧｎＹＵｉｈａ２Ｇａｇ，Ｈｕ．ｕｎｇ
（．ａｇｏｇＬｎｎｎＶｃｔｎｌｅｈｉａＣｏｌｇ，ａｇｈｕ５１６３Ｃｈｎ；１ＧｕｎｄｎｉｇａｏａｉａｃｎｃｌｌｅＧｕｎｚｏ６，ｉａｏＴｅ０２ＣｏｌｇｆｔｅｔｓＨｕａｎｔｕｅｏｃｅｃｎｅｈｏｏｙＹｅａｇ４１０６Ｃｈｎ）．ｌｅｏｈｍａｉ，ｎｎＩｓｉｔｆＳｉｎｅａｄＴｃｎｌｇ，ｕｙｎ０，ｉａｅＭａｃｔ４
ＡｂｔａｔＴｉａｅｉｔｏｕｅｔｅｈｏｅｓｒｃ：ｈｓｐｐｒｎｒｄｃｓｈｔｅｒｍｔｄｃｄｗｈｔｅｂｖｒｔｄｓｒｔｒｎｏｏｅｉｅｅｈｒｉａｉｅｉｃｅｅａｄｍｖｒｂｅｓａｅａａｉｌｓｈｒｍｕｔｌａｌｐｅｉｉｄｐｎｅｃｎｅｅａｔｅｕｔｎ，ｓｌａｅｓｍｐｅａｐｉａｉｎｏｅｄｄｃｉｎ．ｎｅｅｄｎｅａｄｒｌｖｎｄｃｉｓａｌｓｔｉｌｐｌｔｆｈｅｕｔｓｄｏｗｅｈｃｏｔｏ
设（ｙ是二维离散随机变量，其联合概率分布Ｐ｛ｉ，）ｘ＝Ｘ，Ｙ＝Ｙ）（＝ｌ，可以用下表所示：，＝ｆ，， …）２
ｌ … …
ＸＩ
ｌ＿
ｐｌ２
…
ｐｌ，
…
Ｘ２
● ● ●
ｐｎ
ｐｎ
…
ｐ２
…
，
～
．
Ｋｙｗｒｓｖｃｒｒｕ；ｉｅｒｏｒｌｉｎｌｅｒｎｅｅｄｎｅｊｉｔｉｒｕｉ；ｄｐｎｅｃｆａｄｍｖｒｂｅｅｏｄ：ｅｔｏｐｌａｒａｏ；ｉａｉｄｐｎｅｃ；ｏｎｓｉｔｎｉｅｅｄｎｅｏｎｏａｉｌｏｇｎｃｅｔｎｄｔｂｏｎｒａ
文献标识码：Ａ文章编号：６２５９（０００．０３０１７．２８２１）２０２．３
关键词：向量组；线性相关；线性无关；联合分布；随机变量独立性中图分类号：１Ｏ２ｌ
ＩｎｄｅｎｄｅｅｏｖｒａｅＤｉｃｅｅＲａｐｅｎｃｆＢｉａｉｔｓｒｔｎｄｏＶａｉｂｌｓａｍｒａｅｎｄＩｓＡｐｐｌｃｔｏｔｉａｉｎ
ａ＝ｉ（＝ｌ，．ｋ＝，Ａ可写成ｉ， …）取ｌ１则２
毛２
ｋＰＩ２１
…
：
ｋｐｌｋｐ１，１ｉ２
这＝ｐ（＝，…，里。ｆｌ，）且∑ＥＰ＝，２ ∑∑ ∑ 。１ｐ： ∑Ｐ＝．
＝ｐ（１２…，，（≠ ．ｐ，， …）ｆ）ｐ
显然与线性相关．
若Ａ中任意的两个行向量线性相关，由联合概率分布性质，Ａ中至少有一个元素不为零，即至少有一
个非零行向量，不妨设是非零向量，由引理知，，，都可以由 …， … 线性表出．
ｆ
● ● ●
ｐｔ｜
ｐ２｜
…
ｐＨ
…
２ＰｔＰｌＩＰ２Ｐ２１２
且Ｐ ≥ ，０ ∑Ｚｐ＝，１矩阵Ａ＝
ｉＪ
称为（ｙ联合概率分布矩阵，，）其行向量记为
ｐｌ２ … ｐｉｉ
ｐｌ、
＝源自文库
（，，，（ｌ，．（】的联合分布律为（ｙ～。 …， …）， …）记，）２，，）Ａ．
第２３卷第２期
２１００年６月
湖南理１院学报（ ’ 学自然科学版）
ＪｕｎｌｆｕａｓｔｔｏｃｎｅｎｅｈｏｏｙＮｔｒｌｃｅｃｓｏｒａｎｎＩｔｕｅｆｉｃｄｃｎｌｇ（ａｕａＳｉｅ）ｏＨｎｉＳｅａＴｎ