结构力学几何组成分析

例6、 E
3、当体系杆件
D
数较多时，将刚
片选得分散些，
用链杆相连，
A
B
而不用单铰相连。
O13 O23
O12
F D
Ⅰ
F
Ⅱ
C A
C B
Ⅲ
22
（Ⅰ,Ⅱ） 例
Ⅰ
(Ⅰ,Ⅲ)
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
(Ⅰ,Ⅲ)
（Ⅱ，Ⅲ） （Ⅰ,Ⅱ）
（Ⅱ，Ⅲ）
如图示，三刚片以共线三铰相连 三刚片以三个无穷远处虚铰相连
几何瞬变体系
组成瞬变体系
S=（各部件自由度总数）－（非多余约束数） =（各部件自由度总数）－（全部约束数－多余约束数） =（各部件自由度总数）－（全部约束数）+（多余约束数）
所以：
S = WW + n
思考题2.16
由此可见：只有当体系上没有多余约束时，计算自由度才是
体系的实际自由度！
13
§2.3无多余约束几何不变体系的组成规则
5、由基础开始逐件组装
6、刚片的等效代换： (等效是指与外部连结等效）
a.可以将一个几何不变无多余约束的部分视为一个刚片。化零为整。 b.在不改变刚片与周围的连结方式的前提下，可以改变它的大小、形状及 内部组成。变化组成。 c.内部组成改变后，又可将该刚片视为一个由多个(新的)刚片(或链杆)组成 的几何不变体系，并进而各自发挥其连接或约束作用。化整为零。
m=7，n=9，r=3 W=3×m－2×n－r
=3×7－2×9－3 =0
10
本例中采用了无铰封闭框 的概念，课本中未介绍。其实 图示体系去掉全部支座后，剩 下的是一个有三个内部多余约 束的刚片。如果将封闭框在上 端截开，才能变成无内部多余 约束的刚片，可见截开处应视 为一个刚结点。
对于具有刚结点的体系， 计算自由度的计算公式为：
W = 0 实际约束数等于体系必须的约束数。不能断定体系
W < 0 体系有多余约束。
是否几何不变
由此可见:W ≤ 0 只是保证体系为几何不变的必要条件,而
不是充分条件。
(上述公式中计算自由度时是假设地球没有自由度，若包含地球的3个自由度，则W ≤3为体系几何不变的必要条件)
2、实际自由度S、计算自由度W和多余约束n之间的关系：
*****可将一个子体系视为一个复杂约束，并代换为若干个等效的简单约31束。
1 、 图示体系是（ C ） 去掉二元体
A 无多余约束的几何不变体系 B
C 常变体系
D 瞬变体系
有多余约束的几何不变体系
2 、图示体系是（ B ）代换为四根链杆
®
A 瞬变体系
A
B 有一个自由度的可变体系
C 无多余约束的几何不变体系
一个单刚结点可减少三个自 由度相当于三个约束。
刚结点将刚片连成整体（新刚片）。若是发散的，无多余约束, 若是闭合的，则每个无铰封闭框都有三个多余约束。
两个多余约束 一个多余约束
8
§2.2体系的计算自由度
一个平面体系通常都是由若干部件（刚片或结点）加入一些约束组
成。按照各部件都是自由的情况，算出各部件自由度总数，再算出所加 入的约束总数，将两者的差值定义为：
23
4、由一基本 刚片开始，逐 步增加二元体， 扩大刚片的范 围，将体系归 结为两个刚片 或三个刚片相 连，再用规 则判定。
例4、
(2,3)
Ⅱ
Ⅲ
(1,3)
Ⅰ
(1,2)
三刚片用不共线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。 24
5、由基础开始逐件组装
无多余约束几何不变体系
有一个多余约束的
几何不变体系
3、铰支座、定向支座相当于两个支承链杆，固定端相当于三于个支承 链杆。！
9
m-刚片数，n -单铰数，r -支座承链杆数 a －无铰封闭框，三个约束。
又固定端相当于三根链杆。
m=1，a=1，n=0 ， r=4+3×2＝10
则计算自由度为：
W=3m－2n － r －3×a =3×1－10 － 3×1 ＝ － 10
进 (Ⅰ,Ⅲ)
Ⅲ
Ⅱ
ⅡⅢ
(Ⅰ,Ⅲ )
瞬变体系
有一个多余约束的 几何不变体系
28
C
无多余约束的几何不变体系
G
B
A
D
F
H
E
无多余约束的几何不变体系
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
(Ⅰ,Ⅲ )
(Ⅰ,Ⅱ)
瞬变体系 动化演示2
(Ⅱ,Ⅲ )
29
瞬变体系
(选取中间部分为刚 片1，跟中间部分不 接触的其他部分与 大地共同组成刚片2， 由两刚片规则，进 一步分析可知体系 为瞬变体系 )
连接两个刚片的两链杆的延长线的交点O称为虚铰，O也称为两刚片
的相对转动瞬心。瞬心的位置会随着两刚片的相对位置变化而改变，
因此也称为瞬铰。
O 瞬铰
单铰
A
定轴转动
平面运动！
6
5、复铰（重铰） 联结三个或三个以上刚片的铰
A
x

y
C

B
先有刚片A,然后以单铰将 刚片B联于刚片A, 再以单铰 将刚片C联刚片于A上
1、平面内一点＿2＿个自由度；思考题2.4
2、平面内一刚片＿3＿个自由度；
y x
yX

yx 图a
o
y
x
图b
四、约束：在体系内部加入的减少自由度的装置思考题2.5
1、多余约束：不减少体系自由 度的约束称为多余约束思考题2.7
注意：多余约束将影响结构的 受力与变形。
a A
4
2、单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形 状和铰的位置如何。
1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。6、刚片的等效代换(高级)
G
依次去掉二元体AB
CDEFG后剩下大地，
F
E
故该体系为几何不变
A 体系且无多余约束。
DC
B
19
D
C F
A
D
A
依次去掉二元体A，B，C，D后 剩下大地。故该体系为无多余约 束的几何不变体系
B
C
G
2、如上部体系与基础 用满足要求三个约 束相联可去掉基础,
本例计算自由度为：
W=3m－(3g+2n+r) m-刚片数，n -单铰数，r -支承链杆数
W=3m－2n － r －3g =3×1－ 2×0 － 4×1 － 3×3 ＝ － 10
g－刚结点数，相当于三个约束。
11
对于铰接链杆体系也可将结点视为部件，链杆视为约束， 则：
W=2j－b－r 式中：j为结点数；b为链杆数；r支承链杆数
18
规则 连接对象 必要约束数 对约束的布置要求 瞬变体系
一 三刚片
二 两刚片
三
六个 三个
三铰(实或虚)不共线 链杆不过铰
三种 一种
三链杆不平行也不交于一点 两种
四 一点一刚片 两个
两链杆不共线
一种
1、去掉二元体
几种常用的分析途径
2、增加二元体并组合 3、去掉基础
4、通过基础组装刚片
5、杆多时选取分散刚片
无多余约束的几何 不变体系
30
几种常用的分析途径总结： 1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。
2、如上部体系与基础用满足要求的三个约束相联可去掉 基础，只分析上部。
3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，用链杆组成的 虚铰相连，而不用单铰相连。
4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范 围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。
图a为一无多余约束的几何不变体系： 将杆AC,AB,BC均看成刚片，就成为三刚
A
图a
片组成的无多余约束的几何不变体系
一、三刚片以不在一条直线上的三铰 C
B
相联，组成无多余约束的几何不
变体系。(基本原理：三角形的稳定性)
三铰共线瞬变体系
三刚片以三对平行链杆相联—瞬变体系
(无穷远处的虚铰是有方向的，平行于该方向的
杆通过铰 瞬变体系
B
三、两刚片以不互相平行，也不相交于一点的三根链杆相 联，组成无多余约束的几何不变体系。
瞬
瞬常
变
变变
体
体体
系
系系
15
Δ Δ Δ
Δ Δ Δ
16
将BC杆视为刚片, 该体系就成为一 刚片与一点相联
四、一点与一刚片用两根不共线
的链杆相联，组成无多余约束的几何
不变体系。
B
1 A2
A C
两根共线的链杆联一点 瞬变体系 两根不共线的链杆联结一点称为二元体。
B 只分析上部。
E
抛开基础，只分析上部， 上部体系由左右两刚片用一铰和一链杆相连。 故：该体系为无多余约束的几何不变体系。
20
①抛开基础,只分析上部。 ②在体系内确定三个刚片。 ③三刚片用三个不共线的
三铰相连。 ④该体系为无多余约束的
几何不变体系。
21
例5、
抛开基础，分析上部，去掉二元 如体图后示，，剩三下刚两片个用刚三片个用不两共根线杆的相 铰连相故连：，该故体：系该为体有系一为个无自多由余度约的 束的几何几不何变可体体系系.
体系的计算自由度W。即：
W=（各部件自由度总数）－（全部约束总数）
如刚片数m，单铰数n，支座链杆数r，则
W=3m－(2n+r)
（2 — 1）
注意：1、复连接要换算成单连接。
连四刚片 n=3
连三刚片 n=2
连两刚片 n=1
2、刚接在一起的各刚片作为一大刚片。如带有a个无铰封闭框，约束 数应加3a 个。
在一体系上增加（或减去）二元体不改变原体 系的机动性，也不改变原体系的自由度。
在一体系上增加（或减去）一个几何不变无多余约束的之体系，不
改变原体系的机动性，也不改变原体系的自由度。
17
（a）
（b）
（e）
（c）
（d）
四个规则可 归结为一个 三角形法则， 或归结为三 刚片规则。 (因没有三刚 片以上的规 则，因此三 个以上刚片 相联时需要 引入虚铰的 概念化为三 个及以下刚 片相联。)
直线认为与该无穷远虚铰共线，三个无穷远虚
铰可认为是共线的。)
两平行链杆与两铰连线平行, 瞬变体系
14
图b为一无多余约束的几何不变体系：
将杆AC、BC均看成刚片，就成为两 刚片组成的无多余约束几何不变体系
二、两刚片以一铰及不通过
C
该铰的一根链杆相联组成无多余
约束的几何不变体系(图c) 。
A
a
A 图b B 图c
也可以理解加复铰前三个刚 共有九个自由度 ， 加复铰后还 剩图示五个自由度。
所以联结三个刚片的复铰相当 于两个单铰，减少体系四个约束。
联结 n 个刚片的复铰相当于 n-1 个单铰，相当于 2(n-1)个约束！
7
6、单刚结点：将两刚片联结成一个整体的结点 图示两刚片有六个自由度 加刚联结后有三个自由度
¬
D 有两个多余约束的几何不变体系
题1 图
3 、图示体系是（ D （备选答案同上题）
A ）将铰接点换为两根链杆
4 、图示体系是（ B ） （备选答案同上题）
且有一个多余约束
题3 图
¬A
题2 图
A
¬
®
题4 图
32
® A ¬
题1 图
A
题3 图
B
¬A
题2 图
A
¬ ®
题4 图
33
温故知新
34
一根链杆可以减少
Ⅰ
体系一个自由度，相 当于一个约束。！
15
3
4
6
β
1、2、3、4是链杆， 5、6不是链杆。
α
加链杆前3个自由度
加链杆后2个自由度
5
3、单铰： 联结两个刚片的铰
加单铰前体系有六个自由度
加单铰后体系有四个自由度
1
C
单铰可减少体系两个 自由度相当于两个约束

2
x

y
4、虚铰（瞬铰）思考题2.6
几个基本概念 体系的计算自由度 无多余约束的几何不 变体系的组成规则 分析举例
1
§2.1几何组成分析的几个基本概念
一、几何组成分析的目的思考题2.3 1、研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构能承受荷载，维持平
衡，不至于发生刚体运动。
2、在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适当的计算方法；分
PA
∑Y=0，N=0.5P/sinβ→∞
由于瞬变体系能产生很大 的内力, 故几何常变体系和几 何瞬变体系不能作为建筑结 构使用.
只有几何不变体系才 能作为建筑结构使用！！
P
N
N
A
β
PA
β
Δ是微量
P N
N
3
三、自由度：所谓体系的自由度是指体系运动时，可以 独立改变的几何参数的数目；即确定体系位置所需独立坐 标的数目。刚片-----在平面内可看作刚体的物体，它的几何形状和尺寸是不变的。
25
有一个多余约束的几何不变体系
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系
6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式 的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个 等效（与外部连结等效）刚片代替它。
26
(选取左上部分为刚片1，右下单个杆为刚片2，大地为刚片3)，
将右上部分视为约束，并代换为三杆组成的三角形，其对三个刚片的约束效果不变。
例a：j=6；b=9；r=3。所以：W=2×6－9－3=0
E② D
F
① ⑤⑥
③ ⑧⑨
C
⑦
④
A
B
①
②
⑥
⑨
⑤
③
⑦
⑧
④
例b：j=6；b=9；r=3。所以：W=2×6－9－3=0
12
注意：1、W并不一定代表体系的实际自由度，仅说明了体系
必须的约束数够不够。即：
W > 0 体系缺少足够的约束，一定是几何可变体系。
析其组成顺序，寻找简便的解题途径。
二、体系的分类：在忽略变形的前提下，体系可分为两类： 1、几何不变体系：在任何外力作用下，其形状和位置都不会改变。 2、几何可变体系：在外力作用下，其形状或位置会改变。思考题2.1
图a
图b
2
几何可变体系又可分为两种：
（1）几何常变体系：受力后可发生有限位移。 （2）几何瞬变体系：受力后可发生微量位移。