函数的零点问题(讲解)

函数零点问题

【教学目标】

知识与技能：

1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的

联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间.

2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点

个数和所在区间法.

3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围.

【教学重点】理解函数的零点与方程根的关系，形成用

函数观点处理问题的意识.

【教学难点】根据函数零点所在区间求参数的取值范围【教学方法】发现、合作、讲解、演练相结合.

一、引例 （1）．函数()e

2x

f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）．

A.()2,1--

B.()1,0-

C.()0,1

D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0

0e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->，

所以函数()e

2x

f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选

C.

二、 基础知识回顾

1．函数零点概念

对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.

问题2:函数2()68f x x x =-+在区间[][][]1,3, 0,1, 1,5有零点吗?

引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗?

解法二:几何解法

(1). ()e 2x

f x x =+- 可化为2x

e x =-+．

画出函数x

y e =和

2y x =-+的图象，可观察得出C 正确.

函数零点、方程的根与函数图像的关系(牢记) 函数()()()y F x f x g x ==-有零点

方程 ()()()0F x f x g x =-=有实数根

函数()()12,y f x y g x ==图像有交点.

变式2：若函数为()lg cos f x x x =-，则有 个零点.

解:由()lg cos 0f x x x =-=,可化为lg cos x x =,画出lg y x =和cos y x =的图像,可得出 B 正确. ()lg cos f x x x =-有4个零点,

()lg cos f x x x =-有

6个零点.

解:函数1

1

y x =

-与2sin y x π=的图像在[]2,4-有8个交点,因为图

像都关于()1,0点对称,故交点的横坐标之和为4.

（3）:若关于x 的方程2

a x x a =+()0>a 有两个不同的实数根,

求a 的取值范围.

解1:设2

,y a

x y x a ==+,分别画两函数的图像,两图像有两个

不同的交点即方程2

a x x a =+有两个不同的实数根. x a y 2=与

a x y +=的图像，当1=a 时，在第一象限平行，第二象限有一

个交点，当1a 时有两个交点，故1a >. 解2:设211,y x y x a a

==

+,分别画两函数的图像,,两图像有两

2.利用零点性质求参数的取值范围

探究：32()69f x x x x a =-++在x R ∈上有三个零点，求a 的取值范围.

解：由2

()312f x x x '=-令()0f x '>，得x >()0f x '<,得13x <<

()f x ∴在(,1)-∞，(3,+∞增，在(1,3)()=(1)4f x f ∴=极大值4a >-

()=(3)f x f a =<极小值40a ∴-<<.

变式1：方程3

2

6x

x -上有实数解，求a 解：由方程3269x x -+有实数解，即3

6x x -由()3

269f x x x x =-+的图像可得：04a ∴≤≤

变式2：3290x ax x -+=在[]2,4上有实数解，求a 的取值范围.

解1：由32

99

,[2,4]x x a x x x x

+==+∈，13[6,]2a ∈. 变式3：若不等式3290x ax x -+≥在[]2,4上恒成立，求a 的取值范围.

解：转化为[]9(),1,3a x x x ≤+∈恒成立问题，即[]min 9

(),1,3a x x x

≤+∈得](,6a ∈-∞.

四、课堂小结解决函数零点存在的区间或方程根的个数问题的主要方法有函数零点定理和应用函数图像进行判断;根据函数零点的性质求解参数的取值范围主要有分类讨论、数形结合、等价转换等方法，注重导数求出函数的单调区间和画出函数的图像的应用可以有效解决和零点相关的问题.