《多元函数条件极值的应用》

n
, xn ) 的驻点.那么当二次型
g ( ) f xi x j ( x10 , x20 ,
i , j 1
, xn0 ) i j
, xn 0 ) 为极大值；当 g ( ) 不定时，
正定时， f ( x1 , x2 ,
0
0
, xn 0 ) 为极小值；当 g ( ) 负定时， f ( x10 , x20 ,
x2 y 2 z 2 1 下的最大值， a 2 b2 c 2
其中 x 0, y 0, z 0 ，拉格朗日函数为
L( x, y, z, ) xyz (
x2 y 2 z 2 1) a 2 b2 c 2
由
2 x L x yz a 2 0; L xz 2 y 0; b2 y L xy 2 z 0; z c2 2 2 2 x y z 1 a 2 b2 c 2
3.2 拉格朗日乘数法 [3]
拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法， 特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格 朗日乘数法更方便适用. 求目标函数 f ( x1, x2 , 若 f ( x1, x2 ,
xn ) 在条件函数 k ( x1, x2 ,
xn ) 0,(k 1, 2,
, m, m n) 组限制下的极值，
3.3 标准量代换法
求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量 ,称其余各量为
4
比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的 关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量. 例 4.3.1 [4] 设 x y z a ,求 u x2 y 2 z 2 的最小值. 解
x2 y 2 z 2 1 在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积. a 2 b2 c 2
解 此椭球在点 P( x0 , y0 , z0 ) 处的切平面为
2 x0 2y 2z ( x x0 ) 20 ( y y0 ) 20 ( z z0 ) 0 2 a b c
果对该邻域内任一异于 ( x1 , x2 ,
, xn 0 ) 的点 ( x1, x2
f ( x1 , x2
0
, xn ) f ( x10 , x20 ,
0
, xn 0 ) ) ， 则 称 函 数 在 点 ( x10 , x20 ,
, xn 0 ) 有 极 大 值 ( 或 极 小
值) f ( x1 , x2 ,
, an 和 b1, b2 , bn ，总有 (a1b1 a2b2
anbn )2
, xn 0 ) .极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.
1.2 函数的条件极值
定义 2.2.1
[3]
函数 z f ( x1 , x2 ,
, xn ) 在 m 个约束条件 i ( x1 , x2 ,
, xn ) 0 (i 1, 2,
, m; m n)
下的极值称为条件极值.
, m
m L f i i 0 (k 1, 2, 满足方程组 xk xk i 1 xk 0 l
, m) ，
则当方阵
2 L ( x0,1 , 2 , xk xl
, m ) nn
3
为正定（负定）矩阵时， x0 为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此 f ( x0 ) 为满足约束条件的条件 极小（大）值. 例 4.2.1 求椭球
在点 P1 处， A 0, B 2, C 0
=AC B 2 0 22 4 0 ，所以 P1 不是极值点
从而函数 f ( x, y, z ) 在相应点 (0, 0, 2) 处无极值； 在点 P 2 处， A
4 4 , B 2, C 3 3
2
4 4 2 4 AC B 2 ( )2 0 ， 3 3 3 3 4 又 A 0 ，所以 P 2 为极小值点 3 2 2 2 因而，函数 f ( x, y, z ) 在相应点 ( , , ) 处有极小值 3 3 3 2 2 2 8 极小值为 f ( , , ) . 3 3 3 27
x yz a 为标准量, 3 3 a a 令 x , y , 3 3 a 则 z ( , 为任意实数), 3 a a a 2 2 2 从而有 u ( ) ( ) ( ) 3 3 3
取

a2 2 2 2 2 2 3
f ( x10 , x20 ,
, xn 0 ) 不是极值.
0 0
记 aij f xi x j ( x1 , x2 ,
, xn 0 ) ，并记
a11 a12 a a Ak 21 22 ak1 ak 2
a13 a23 ， akk
它称为 f 的 k 阶 Hesse 矩阵.对于二次型 g ( ) 正负定的判断有如下定理：
, n)
备注：使偏导数都为 0 的点称为驻点，但驻点不一定是极值点.
[3] 定理 2.2 （充分条件） 设 n (n 2) 元函数 f ( x1 , x2 ,
, xn ) 在 ( x10 , x20 ,
, xn 0 ) 附近具有二阶连续偏
导数，且 ( x1 , x2 ,
0
0
, xn 0 ) 为 z f ( x1, x2 ,
首先，构造拉格朗日函数
L( x1 , x2 ,
xn ,
, 1 ,
, m ) f ( x1 , x2 ,
xn ) kk ( x1 , x2 ,
k 1
m
xn )
L x 0, i 1, 2, , n i 然后，解方程组 L 0, k i, 2, m k
多元函数条件极值的应用
1.简单介绍多元函数极值与条件极值的有关概念
1.1 函数的极值
定义 2.1.1
[3]
设 n (n 2) 元函数 z f ( x1 , x2
0 0
, xn ) 在点 ( x10 , x2 0 , , xn ) 都有 f ( x1 , x2
, xn 0 ) 的某个邻域内有定义,如 , xn ) f (x10 , x 20 , ,xn 0 )(或
xn ) 及 k ( x1, x2 ,
1 x2 2 x2 m x2 1 xn 2 xn
xn ) 有连续的偏导数，且 Jacobi 矩阵
1 x 1 2 J x1 m x 1
的秩为 m ，则可以用拉格朗日乘数法求极值. m xn
解得 x
a b c ; ,y ,z 3 3 3
Vmin V (
a b c 3 , , ) abc 2 3 3 3
说明：以上介绍的两种方法为解多元函数条件极值的常用方法，但在实际解题过程中，我们还可以根据多 元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题，如标准量代换法、不等式法、二次方程判别式法、 梯度法、数形结合法.
4( x y z )
1 2
1 1 1 4( x y z) ( ) x y z 4(3 x y y z x z ) y x z y z x
5
4(3 2 2 2) 36
当且仅当 x y z 6 时，等号成立. 3.4.2 利用柯西不等式 柯西不等式：对于任意实数 a1 , a2 ,
令
A f xx ( x0 , y0 ) , B f xy ( x0 , y0 ) , C f yy ( x0 , y0 )
2 ①当 AC B 0 时，
则
A 0, 取极大值 A 0, 取极小值
.
2 ②当 AC B 0 时，没有极值.
2 ③当 AC B 0 时，不能确定，需另行讨论.
2. 多元函数普通极值存在的条件
定理 3.1（必要条件）若 n (n 2) 元函数 z f ( x1 , x2 , 在该点取得极值，则有 f xi ( x1 , x2 ,
0 0
, xn ) 在点 ( x10 , x20 ,
, xn 0 ) 存在偏导数，且
, xn0 ) 0 (i 1, 2,
3．介绍多元函数条件极值的若干解法
3.1 代入消元法
通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果， 将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单 的条件极值问题， 这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解， 有些条件极值很难化为无条件极值 来解决. 例 4.1.1 求函数 f ( x, y, z ) xyz 在 x y z 0 条件下的极值. 解 由x yz 0 解得， z 2 x y
1
定理 2.3 [3] 若 det Ak 0 (k 1, 2,
k 值；若 (1) det Ak 0 (k 1, 2,
, n) ，则二次型 g ( ) 是正定ห้องสมุดไป่ตู้，此时 f ( x10 , x20 ,
, xn 0 ) 为极小
, n) ，则二次型 g ( ) 是负定的，此时 f ( x10 , x20 ,
化简,得
x0 y0 z x 2 y 0 z 1 2 a b c2
此平面在三个坐标轴上的截距分别为：
a 2 b2 c2 , , x0 y0 z0
a 2b 2 c 2 则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 V 6 x0 y0 z0
由题意可知，体积存在最小值，要使 V 最小，则需 x0 y0 z0 最大； 即求目标函数 f ( x, y, z ) xyz 在条件
将上式代入函数 f ( x, y, z ) ，得 g(x,y)=xy(2-x+y)
2 g 'x 2y 2 xy y 0 2 y 2 x 2 xy x 0 g 2 2 P （ 1 0，0），P2 =（ ，- ） 3 3
解方程组
得驻点
g xx 2 y ， g xy 2 2 x 2 y ， g yy 2 x
, xn 0 ) 为极大值.
特殊地，当 n 2 时，有如下推论： 推 论 2.1 若 二 元 函 数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 的 某 领 域 内 具 有 一 阶 和 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0
a2 a2 ( )2 2 2 3 3
a 时成立， 3

等号当且仅当 0 , 即 x y z
a2 所以 u 的最小值为 . 3
3.4 不等式法 [4]
3.4.1 利用均值不等式 均值不等式是常用的不等式，其形式为 n a1a2 这里 ak 0, k 1, 2 例 4.4.1.1 已知
从此方程组中解出驻点的坐标 P i ( x1 , x2 , 步判断得出函数的极值. 定理 4.2.1（充分条件） 设点 x0 ( x1 , x2 ,
0 0
0 0
xn 0 ) (i 1, 2,
, k ) ，所得驻点是函数极值的可疑点，需进一
, xn 0 ) 及 m 个常数 1, 2 ,
, n; l 1, 2,
an
a1 a2 n
an
，
n ，且等号成立的充分条件是 a1 a2
an .
1 1 1 1 ， ( x 0, y 0, z 0) ，求 f ( x, y, z ) 2 x 2 y 2 z 的极小值. x y z 2
解
x 0, y 0, z 0, f ( x, y, z ) 2 x 2 y 2 z