3.2有界线性算子

D(T ) 上是连续的（即在一点连续，则在定
义域上处处连续） 。
定理 3. 2. 4（连续性与有界性） 设 X , Y 是赋范空间， T : D(T ) X Y 是线性算 子，则 T 为连续的充分必要条件为 T 是有界 的。 证明（不要） 。
3.2.3 线性算子空间
定理 3.2.6（线性算子空间） 设 X , Y 是数域 K 上的赋范空 间， B( X , Y ) 是定义在全空间 X 上、值域在 Y 中的有界线性算 子的全体，若在 B( X , Y ) 上定义如下的代数运算：
举例：
1、恒等算子
2、零算子
微分算子
4、积分算子 5、矩阵
定理 3. 2. 2 （有限维空间上线性算子的有界性） 如果赋范空间 X 是有穷维的，则 X 上的每一个线性算子均是有界的。
定理 3. 2. 3（算子的连续性） 设 X , Y 是赋 范空间， T : D(T ) X Y 是线性算子， 若 T 在 某 一 点 x0 D(T ) 连 续 ， 则 T 在
3.2 有界线性算子
3. 2. 1 有界线性算子 定义 3. 2. 1（有界线性算子） 设 X ， Y 为同一数域 K 上的 赋范线性空间， T : D(T ) X Y 是线性算子。如果存在常数
C 0 ，使得对一切 x D(T ) 有
Tx
Y
C x
X
那么就称 T 为有界线性算子，否则称为无界的。
T B( X , Y )
则 B( X , Y ) 构成一赋范线性空间。
(T1 T2 ) x T1 x T2 x ， T1 , T2 B( X , Y ), x X
(T ) x Tx ， K , T B( X , Y ), x X
则 B( X , Y ) 为一线性空间。
若再定义 T 的范数为
T sup
xX x
Tx x