机械臂模型及旋转矩阵探究

机械臂模型及旋转矩阵探究

杨桓

(济南大学机械工程学院，山东济南250022）

摘要：机械手臂是目前在机械人技术领域中得到最广泛实际应用的自动化机械装置，在工业制造、医学治疗、娱乐服务、军事以及太空探索等领域都能见到它的身影。尽管它们的形态各有不同，但它们都有一个共同的特点，就是能够接受指令，精确地定位到三维（或二维）空间上的某一点进行作业。

1机械臂研究近状

1.1几个发展方向：

1.1.1网络远程控制

网络远程控制是控制方法与网络结合成果，是控制领域崭新而非常有前景的发展方向和研究热点。

系统结构图

1.1.2车载机械臂

我国二期月球探测的科学目标之一是近距离、大比例尺形貌和地质构造研究。要完成这个科学目标，要求月球车携带一些能完成就位探测的有效载荷仪器。当月球车对目标月岩或月壤进行就位分析时，机械臂能够完成就位有效载荷仪器的放置、定位、操作及撤离等操作。

1.1.3空间柔性机械臂

太空作业机械臂的研究工作最早丌始于前苏联的hnakod／Luna空I’日J计划，此后，美国、同本、欧洲等各国相继丌展了空间机器人研究与丌发工作。当自订，舱外空间机械臂多安装于航天飞机、国际空间站、太空实验舱和实验卫星上，具有有代表性的空间机械臂如下：

1)航天飞机上机械臂

目前投入使用比较典型的是加拿大1号臂，如图卜1所示，加拿大臂山加拿大斯巴公司生产，安装于美国航天飞机上，目前仍有3套航天飞机机械臂在使用。加拿大1号臂由强度极高的碳纤维材料制造，长15．2m，直径38cm，总质量为410Kg，在无载荷条件下移动速度可达600m吣，有载荷时移动速度为60mm／s，无载荷时能移动到距目标点的精度范围为±152mm，操作载荷质量可达300looKg

2)国际空间站上机械臂

在空间站舱外机械臂系统中，最具代表性的是国际空问站美国舱段上的加拿大和美国航天局(NASA)联合研制的移动服务系统Mss(Mobileservicin2svstem）。

1.1.4柔性机械臂

1）、随着宇航业及机器人业的飞速发展，出现了越来越多地采用由若干个柔性构件组成的多柔体系统。柔性机械臂与刚性机械臂相比较，柔性机械臂具有结构轻、载重与自重比高等特性，因而具有较低的能耗、较大的操作空间和很高的效率，其响应快速而准确，有着很多潜在的优点，在工业、国防等应用领域中有十分重要的地位。

2）、由于柔性机械臂中包含有一些柔性单元(如柔性关节、柔性连杆等)，其在运行过程中会产生扭曲、弹性、剪切等变形，从而给这类柔性机械臂的分析和控制带来了许多困

难。

1.2柔性臂建模方法介绍

A 、Newton —Euler 法

B 、agrange 方程或Hamilton 原理

C 、Kane 方法和虚位移原理

D 、模型辨识的方法

2机械臂的模型

2.1自由度

如图只沿X 、Y 、Z 轴运动的机械臂是三自由度的。如果还能绕X 、Y 、Z 轴旋转那么就是六自由度的。

2.2旋转矩阵的一种理解

已知向量op ,⎪⎪⎭⎫

⎝⎛y x 有矩阵有⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-ϕϕϕϕcos sin sin cos

设op 的长度为r ,辐角为

P点在｛B｝系中为BP，｛B｝系原点在｛A｝系中可表示为A P B0

绕z轴旋转的旋转矩阵如下：

P点在｛A｝坐标系中的可表示为：

机械臂的工作是由控制器指挥的，关节在每个位置的参数是预先记录好的。当机械臂执行工作任务的时候，控制嚣给出记录好的位置数据，使机械臂按照预定的位置序列运动。机械臂的平动或转动是由关节电机控制关节的位移或转角，其间并不涉及到控制力或控制力矩的大小，这是机械臂控制的一种传统方法，我们也称之为运动学控制。在这里建立机械臂的运动学模型的目的是为动力学建模提供各臂之间的几何关系和运动关系。

3机器人运动学

建立各运动构件与末端执行器空间的位置、姿态之间的关系，为运动控制提供分析的手段和方法。机器人运动学包括两类问题：

3.1运动学正问题

给定机器人手臂、腕部等构件的几何参数及连接各构件运动的关节变量求机器人末端执行器对于参考坐标系的位姿。

3.2运动学逆问题

已知机器人各构件的几何参数和机器人末端执行器相对于参考坐标系的位置和姿态，求解是否存在实现这个位姿的关节变量。

DH坐标法

立坐标系时应使连杆变换矩阵的形式简单，一般将{0}系与{1}系重合，Z轴沿关节轴方向，X轴沿连杆方向。将各参数带入到一般式，可以得到以下的连杆变换矩阵

3.3求解各个关节角

如果对于一个给定的末端位姿，即要求机械臂的末端到达某一个位置时，要求各个关节的关节角的变量值。即运动学求反解。

由已知的连杆变换矩阵先计算中间结果：

64T=45T 65T 63T=43T 64T 31T=21T 32T 61T=31T 6

3T

其中n,a,p 代表的是多项式，即是矩阵相乘后的结果。

4求解及控制机械臂

对于求得的各关节角变量的表达式用MA TLAB 语言编写对应的程序，在已知末端要到达的位置时可以求出具体的数值。同常六自由度会有8组反解，在考虑机械结构的限制、关节奇异点、路径最短等情况下只选取一组解。再把这组解的表达式编入程序中。在给出要到达的位姿后，程序算出各关节角。得到关节角后就可以控制机械臂动作。

参考文献：

[1]韩建海.工业机器人[M]。武汉:华中科技大学出版社，2009.

[2]孙树栋.工业机器人技术基础[M]。西安：西北工业大学出版社，2006.

[3]王才东.六自由度教学机器人控制系统设计及实验研究[D]。哈尔滨：哈尔滨工程大学，2008.

[4]万志成.六自由度排爆机控制系统设计[D]。上海：上海交通大学，2008.