矩阵理论第四章 矩阵函数及其应用

)
1 2
0
a
f
(
b2
f
2
(
x
)dx
)
1 2
f
a
三角不等性：
闵可夫斯基(Minkowski)不等式：
f g f g
(
b
f
(x)
g(
x)
2
1
dx) 2
(
b
f
2(
x)dx)
1 2
(
b
g
2
(
x)dx
)
1 2
a
a
a
性质1 向量范数的性质：
① x, y V x y x y
② 是x
(的xn元1 ,连x续2函,数. xn )
第四章 矩阵函数及其应用
§1、向量范数和矩阵范数
定义1 向量范数（/*Vector Norm*/）
V R 设 是数域 上的线性空间，若对
x 存在非负实数 与之对应，且满足
x V
正定性： x 0, x Rn 且 x 0 x 0
❖齐次性： x x , x Rn , R
三角不等性： x y x y , x, y Rn
A m m1
,n A (aij )nn
lim
m
Am
A
Am A
1
Am
m
1
1 1
m
sin
2
m
em
0 0
Am
1
0
定理2 （矩阵序列收敛的等价条件）
lim
A P 则称 为 中矩阵 的n范n数。
A
定义3 相容性（/*Compatibility*/）
设 A P , x P A ，nn是任意一种矩n阵范数
x 如果存在向量范数 ，满足
则称矩阵范数
Ax A x
A 与向量范数 是相容的。
x
A P 性质2 设 是 中的任意一种n矩阵n 范数，在
x 上至少存在一种向量范数 ，使得 和 是
••
, xn )T
n
x ( p
xi p ) 1 p
1 p
i 1
➢两个重要不等式
闵可夫斯基(Minkowski)不等式：
n
(
xi yi p ) 1 p ( n
xi p ) 1 p ( n
yi p ) 1 p
i 1
i 1
i 1
❖ 柯西-许瓦滋(Cauchy-Schwartz)不等式：
( x, y)2 ( x, x)( y, y) x, y Rn
k
k
其中的范数为任意向量范数。
lim
k
x(k) x 0 lim
k
x(k) i
xi
0
c1
x(k) x
x(k) x
c2
x(k) x
定义2 （矩阵序列的收敛性） 给定矩阵序列 ：
A 若
则称矩阵序列 m
(a ) (m)
收敛i于j 矩阵
C
nn
,
m
1, 2,
(m)
记为
lim
m
aij
或 aij , i,。j 1, 2,
③ （ 等价性/*Equivalence Property*/）
V 设
和•
是
上定• 义的两种范数，如果存在正数
c1, c2 满足 c1 x x c2 x
V 则称
和•
是
上等•价的向量范数。
④向量范数的等价性具有传递性。
x V
V ⑤ 有限维线性 的不同向量范数是彼此等价的。
定义2 矩阵范数（/*Matrix Norm*/）
R x x 则称 为 中向量 的n范数。
非负实值函数
R ➢ 上n常用的几种向量范数： n
设 x ( x1, x2 ,
-1 范数：
x 1
xi
❖ -2 范数：
i 1
n
x ( 2
xi2
)
1 2
(x, x)
i 1
-范数：
xБайду номын сангаас
max
1 i n
xi
- 上述3种向量范数统称为P 范数(或者Holder范数)
i 1 j1 r 1
n
nn
(
n
air 2 )(
2
brj )
i 1 j1 r 1
r 1
nn
(
air 2 )
i 1 r 1
n n
2
(
brj )
j 1 r 1
A2 B2
F
F
矩阵的2-范数和F-范数的一个重要性质：
A C 设
,则对任n意的n酉矩阵 和 ,有
UV
UA AV A
2
2
2
UA AV A
P A P 对于线性空间 ，若对 nn ，都存在
nn
A 非负实数 与之对应，且满足
正定性： A 0, A P nn且 A 0 A O
❖齐次性： A A , A P nn , P
三角不等性：
A B A B , A, B P nn
相容性: AB A B A, B P nn
相容的。
A
Pn x
注意：矩阵范数具有向量范数类似的等价性质。
➢常用的几种矩阵范数：
记 A (aij )nn n
列范数：
A
1
max
1 jn
i 1
aij
谱半径
❖行范数：
n
A
max
1i n
j 1
aij
(
A)
max
1 i n
i
谱范数：
1
A 2
1 ( AT A) 2
A A 其中 是 的最大特T 征值 1
例2：设
A ( a ) A，证明(：aij )nn nn F
Frobenius范数
2
1 2 是一种矩阵范数。
ij
i 1 j1
证明： 只需验证范数的4个条件成立即可。
简称F-范数
n 上述范数可以看成是 维向量的2-范数2 ，故只需验证
记 B (bij )nn
nn n
2
AB 2 F
air brj
0 1 2
0 1 2
A 求矩阵 的1、2、 范数。
A 3 1
A 3 2
A 3
A 矩阵 的特征值为
0, 2,3
A 若 是实对称矩阵，则
(A) A 2
§2、向量和矩阵序列的极限
定义1 （向量序列的收敛性） 给定向量序列 ：
x ( x , x , 若 (m)
则称向量序列
(m)
(m)
1 收敛2于向量
,
(m)
xn
)
C
n
,
m
1,
2,
(m)
记为
lim
m
xi
或 xi , i。 1, 2,
x(m)
m 1
,n x ( x1, x2 , , xn )
(m)
(m)
lim x x x x
m
(m)
x
1 2m
2m m 1
e
m
(m)
x
0
2
0
定理1 （向量序列收敛的等价条件）
lim x(k) x lim x(k) x 0
F
F
F
Ux 2 (Ux)H (Ux) xHU HUx x 2
2
2
设 A [a1, a2 , , an ] UA [Ua1,Ua2 ,
A 2 F
n
2
aj 2
n
Ua j
2 2
UA 2 F
j 1
j 1
,Uan ]
例4：给定矩阵
2 1 0
2 1 0
A 1 1 1 AT 1 1 1 A
或者
n
n
xi yi (
xi
2
)
1 2
(
n
yi
2
)
1 2
i 1
i 1
i 1
例1：证明
f
(
b
f
2
(
x
)dx
)
1 2
a
是线性空间 上的C一[种a范, b数]。
证明：
只需验证范数的3个条件成立即可。
f ( x) C[a, b]
f 2
非负性： ❖ 齐次性：
f ( x) 0
f
(
b
f
2
(
x
)dx