动态系统-控制理论
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电感－电容－电阻系 统的状态方程(1)
9
基本概念
写成矩阵的形式
其中：x (t ) x1 (t )
R (t ) L x 1
1 1 LC x (t ) L u(t ) 0 0 x2 ( t )
T
1 如果选择x1 (t ) i (t )和x2 (t ) i (t )dt为状态变量 C 则有： 1 R 1 R 1 1 L x (t ) u (t ) (t ) L x L x ( t ) x ( t ) x ( t ) u ( t ) 1 2 1 1 0 L L L 0 1 C x 2 (t ) x1 (t ) T C 其中 x (t ) x1 (t ) x2 (t ) 其中：
边求Laplace变换，得到：
引入中间变量Z(s)，令：
Y ( s ) bm s m b1s b0 G( s) n s a1s a0 U ( s)
Z ( s) 1 n U ( s ) s a1s a0 Y ( s) bm s m b1s b0 Z ( s)
19
线性系统
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 (t ) x x (t ) u (t ) 0 0 0 1 0 1 a0 a1 a2 an 1 y (t ) bm b0 0 0x (t )
x
6
基本概念
状态变量：是确定系统状态的最小一组变量（不唯一），
满足：
在任何时刻t=t0，这组状态变量的值，xi(t0)，i=1,2,…n(设系统有n
个状态变量)，都表明系统在该时刻的状态值
当系统在tt0的输入和t0时刻（初始）状态确定时，状态变量应完
能够表征系统未来的行为 全能够表征系统未来的行为。
m+1个
单输入
对于离散系统可以类似地处理。
20
线性系统
例1，将下面系统用状态方程表示： 将下面系统用状态方程表示
y ( k 2) 2 y ( k 1) 3 y (k ) u (k ) 设：x1 ( k ) y ( k ) x2 ( k ) y ( k 1) x1 ( k 1) x2 ( k ) 从而 从而， x2 (k 1) 3x1 ( k ) 2 x2 (k ) u( k )
状态变量图
在状态变量分析中，常以状态变量图来表示各状态之间的关系。 在状态变量分析中，常以状态变量图来表示各状态之间的关系
这种图为系统提供一个直观的图象，有助于加深对状态分析概念 的理解。
状态方程
陈剑 清华大学经管学院
1
2
3
内容提要
基本概念 线性系统 状态变量图 传递函数与状态方程 小结
4
基本概念
196Байду номын сангаас‘s以前，控制理论以传递函数为基础，重点对单输入
、单输出的定常系统进行研究。 随着科技（特别的航空、航天技术）和社会的发展，计算 机的出现，需要控制的系统越来越复杂，促使人们探索其 它的研究工具－－状态变量法。 状态变量法：将系统的运动方程写成一阶微分（差分）方 状态变量法：将系统的运动方程写成 阶微分（差分）方 程组的形式加以分析、研究。 该方法有 该方法有一下特点： 下特点：
16
线性系统
那么，
1 (t ) x2 (t ) x x 2 (t ) x3 (t ) x n 1 (t ) xn (t ) n (t ) a0 x1 (t ) an 1 xn (t ) u(t ) x
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 (t ) x x (t ) u (t ) 0 0 1 0 0 1 a0 a1 a2 an 1 y (t ) 1 0 0 0x (t )
设在每年年终存入银行b(k)元 以y(k)表示第k年年初存款额 以表示银行的利率
y ( k 1) (1 ) y ( k ) b( k )
离散时间 模型
8
基本概念
例2：电感－电容－电阻系统
L：电感；R：电阻；C：电容
；y(t)：输出电压；u(t)：输入 电压
坐标构成的n维空间称为状态空间， 记作Rn。时刻 时刻t的状态X(t)，可以由 以由 Rn空间内以x1, x2, …, xn为坐标的点 或以从原点出发的箭头指向X的向量 表示。
状态方程：描述系统状态变量与输
n=3
入/输出之间的 输出之间的一阶微分 阶微分(差分)方程 称为状态方程。
例1：利息模型
(t ) Ax (t ) bu(t ) x T y (t ) c x (t )
u(t), y(t)为标量，b, c为向量。
14
线性系统
类似地，可以写出离散情况对应系统的状态方程
) u( k ), ) k) x ( k 1) f ( x ( k ), y ( k ) h( x ( k ), u( k ), k ) x ( k 1) A( k ) x ( k ) B( k )u ( k ) y (k ) C (k ) x(k ) A ( k ) Bu B (k ) x ( k 1) Ax y ( k ) Cx( k ) x ( k 1) Ax ( k ) bu( k ) T y ( k ) c x(k )
由微分方程理论知：如果y(0), y’(0), …, y(n-1)(0)及t 0 时的输
入u(t)已知，则系统未来的运动状态由运动方程可以完全被确 定。因此，取y, y’, …, y(n-1)为系统的一组状态变量，即：
( n 1) x1 (t ) y (t ) ), x2 (t ) y (t ), ) , xn ( t ) y (t )
状态向量：描述系统的n个变量xi(t)，i=1,2,…n，组成的向
量称为状态向量
x1 (t ) x (t ) X (t ) 2 x ( t ) n
X (t ) x1 (t )
x2 ( t ) xn ( t )
T
7
基本概念
状态空间：以状态变量 状态空间 以状态变量x1, x2, …, xn为
12
线性系统
当系统为线性定常的，则有：
(t ) Ax (t ) Bu(t ) x y (t ) Cx (t ) Du (t )
一般系统没 有这 项 有这一项
注意：x(t), y(t), u(t)与A, B, C的维数要配合。
13
线性系统
对于单输入/单输出线性定常系统，其状态方程为：
离散系统
离散线性系统 离散线性定常系统
离散线性定常单输 入/单输出系统
15
线性系统
状态方程的确定
基本步骤：
建立系统的运动方程(机理，实验，…) 选择状态变量 运动方程 状态方程
设某系统的运动方程为：
a0 y u y ( n ) an 1 y ( n 1) a1 y
适用于MIMO、时变、非线性、随机、….系统 采用矩阵描述方式，形式简洁、运算方便 对系统进行分析时，可方便地将系统的初值包括进去 有助于采用 有助于采用一些新的控制方法，如：全状态反馈，最优控制等； 些新的控制方法，如：全状态反馈，最优控制等；
以及应用计算机进行控制。
5
基本概念
有关定义
系统描述
输入u(t)
一般地 般地，有： 有
X(t)
输出y(t)
(t ) f ( x (t ), u(t ), t ) x ) u(t ), ) t) y (t ) h( x (t ),
当系统为线性时，有： 当系统为线性时 有
状态方程（动态方程） 输出方程（代数方程）
(t ) A(t ) x (t ) B(t )u (t ) x y (t ) C (t ) x (t )
17
线性系统
通过Laplace L l 变换求状态方程
设系统的运动方程为(单输入单输出)：
a0 y bmu ( m ) b1u b0u y ( n ) an 1 y ( n 1) a1 y
对于上述系统，如果设系统的初始条件为零，对于系统两 对于上述系统 如果设系统的初始条件为零 对于系统两
状态：指系统在运动过程中的某种特征量。用于描述系统的主要
特征和态势。如：力学系统中的位移、速度、加速度；生产管理 系统中的库存水平、生产率、价格等。 x(t) 例：考虑一个质点作直线运动 例 考虑 个质点作直线运动 v(t)
0 显然，它的状态就是它每一时刻的位置和速度，即： x(t) ( )和v(t) ( )。它们反映了该质点运动的规律。 它们反映了该质点运动的规律 注意：仅考虑位置是不够的！！
u(t)
i
由克希霍夫定律：
y(t)
di (t ) 1 Ri (t ) L i (t )dt u(t ) dt C
则有：
现选择x1 (t ) i (t )和x2 (t ) i (t )dt d 为状态变量 1 1 R x1 (t ) x1 (t ) x2 ( t ) u ( t ) L LC L 2 (t ) x1 (t ) x
0 (t ) x 1 L 1 C x (t ) 1u(t ) 0 R L x2 ( t )
T
其中：x (t ) x1 (t )
* 注意：状态变量的选择是不唯一的，导致状态方
程不唯一，但状态变量的个数是唯一的。
11
线性系统
18
线性系统
由Laplace逆变换，有： 逆变换 有
a0 z u z ( n ) an 1 z ( n 1) a1 z y bm z
(m)
bm 1 z
( m 1)
b0 z b1 z
选择状态变量： x1 (t )
(t ), , xn (t ) z ( n 1) (t ) z (t ), x2 (t ) z
例2，将下面系统用状态方程表示： 将下面系统用状态方程表示
d 2 x (t ) m u(t ) 2 dt 设：x1 (t ) x (t ) (t ) x2 ( t ) x
则有， 1 (t ) x2 (t ) x u (t ) x 2 (t ) m
21
线性系统
1 (t ) x2 (t ) x x 2 (t ) x3 (t ) x n 1 (t ) xn (t ) n (t ) a0 x1 (t ) an 1 xn (t ) u(t ) x y (t ) b0 x1 (t ) bm xm 1 (t )
10
基本概念
如果选择x1 (t ) Li (t ) R i (t )dt 和x2 (t ) i (t )dt为状态变量 则有 则有： 1 x1 (t ) C x2 (t ) u(t ) 1 R x 2 (t ) x1 (t) x2 (t) L L
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基本概念
写成矩阵的形式
其中：x (t ) x1 (t )
R (t ) L x 1
1 1 LC x (t ) L u(t ) 0 0 x2 ( t )
T
1 如果选择x1 (t ) i (t )和x2 (t ) i (t )dt为状态变量 C 则有： 1 R 1 R 1 1 L x (t ) u (t ) (t ) L x L x ( t ) x ( t ) x ( t ) u ( t ) 1 2 1 1 0 L L L 0 1 C x 2 (t ) x1 (t ) T C 其中 x (t ) x1 (t ) x2 (t ) 其中：
边求Laplace变换，得到：
引入中间变量Z(s)，令：
Y ( s ) bm s m b1s b0 G( s) n s a1s a0 U ( s)
Z ( s) 1 n U ( s ) s a1s a0 Y ( s) bm s m b1s b0 Z ( s)
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线性系统
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 (t ) x x (t ) u (t ) 0 0 0 1 0 1 a0 a1 a2 an 1 y (t ) bm b0 0 0x (t )
x
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基本概念
状态变量：是确定系统状态的最小一组变量（不唯一），
满足：
在任何时刻t=t0，这组状态变量的值，xi(t0)，i=1,2,…n(设系统有n
个状态变量)，都表明系统在该时刻的状态值
当系统在tt0的输入和t0时刻（初始）状态确定时，状态变量应完
能够表征系统未来的行为 全能够表征系统未来的行为。
m+1个
单输入
对于离散系统可以类似地处理。
20
线性系统
例1，将下面系统用状态方程表示： 将下面系统用状态方程表示
y ( k 2) 2 y ( k 1) 3 y (k ) u (k ) 设：x1 ( k ) y ( k ) x2 ( k ) y ( k 1) x1 ( k 1) x2 ( k ) 从而 从而， x2 (k 1) 3x1 ( k ) 2 x2 (k ) u( k )
状态变量图
在状态变量分析中，常以状态变量图来表示各状态之间的关系。 在状态变量分析中，常以状态变量图来表示各状态之间的关系
这种图为系统提供一个直观的图象，有助于加深对状态分析概念 的理解。
状态方程
陈剑 清华大学经管学院
1
2
3
内容提要
基本概念 线性系统 状态变量图 传递函数与状态方程 小结
4
基本概念
196Байду номын сангаас‘s以前，控制理论以传递函数为基础，重点对单输入
、单输出的定常系统进行研究。 随着科技（特别的航空、航天技术）和社会的发展，计算 机的出现，需要控制的系统越来越复杂，促使人们探索其 它的研究工具－－状态变量法。 状态变量法：将系统的运动方程写成一阶微分（差分）方 状态变量法：将系统的运动方程写成 阶微分（差分）方 程组的形式加以分析、研究。 该方法有 该方法有一下特点： 下特点：
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线性系统
那么，
1 (t ) x2 (t ) x x 2 (t ) x3 (t ) x n 1 (t ) xn (t ) n (t ) a0 x1 (t ) an 1 xn (t ) u(t ) x
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 (t ) x x (t ) u (t ) 0 0 1 0 0 1 a0 a1 a2 an 1 y (t ) 1 0 0 0x (t )
设在每年年终存入银行b(k)元 以y(k)表示第k年年初存款额 以表示银行的利率
y ( k 1) (1 ) y ( k ) b( k )
离散时间 模型
8
基本概念
例2：电感－电容－电阻系统
L：电感；R：电阻；C：电容
；y(t)：输出电压；u(t)：输入 电压
坐标构成的n维空间称为状态空间， 记作Rn。时刻 时刻t的状态X(t)，可以由 以由 Rn空间内以x1, x2, …, xn为坐标的点 或以从原点出发的箭头指向X的向量 表示。
状态方程：描述系统状态变量与输
n=3
入/输出之间的 输出之间的一阶微分 阶微分(差分)方程 称为状态方程。
例1：利息模型
(t ) Ax (t ) bu(t ) x T y (t ) c x (t )
u(t), y(t)为标量，b, c为向量。
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线性系统
类似地，可以写出离散情况对应系统的状态方程
) u( k ), ) k) x ( k 1) f ( x ( k ), y ( k ) h( x ( k ), u( k ), k ) x ( k 1) A( k ) x ( k ) B( k )u ( k ) y (k ) C (k ) x(k ) A ( k ) Bu B (k ) x ( k 1) Ax y ( k ) Cx( k ) x ( k 1) Ax ( k ) bu( k ) T y ( k ) c x(k )
由微分方程理论知：如果y(0), y’(0), …, y(n-1)(0)及t 0 时的输
入u(t)已知，则系统未来的运动状态由运动方程可以完全被确 定。因此，取y, y’, …, y(n-1)为系统的一组状态变量，即：
( n 1) x1 (t ) y (t ) ), x2 (t ) y (t ), ) , xn ( t ) y (t )
状态向量：描述系统的n个变量xi(t)，i=1,2,…n，组成的向
量称为状态向量
x1 (t ) x (t ) X (t ) 2 x ( t ) n
X (t ) x1 (t )
x2 ( t ) xn ( t )
T
7
基本概念
状态空间：以状态变量 状态空间 以状态变量x1, x2, …, xn为
12
线性系统
当系统为线性定常的，则有：
(t ) Ax (t ) Bu(t ) x y (t ) Cx (t ) Du (t )
一般系统没 有这 项 有这一项
注意：x(t), y(t), u(t)与A, B, C的维数要配合。
13
线性系统
对于单输入/单输出线性定常系统，其状态方程为：
离散系统
离散线性系统 离散线性定常系统
离散线性定常单输 入/单输出系统
15
线性系统
状态方程的确定
基本步骤：
建立系统的运动方程(机理，实验，…) 选择状态变量 运动方程 状态方程
设某系统的运动方程为：
a0 y u y ( n ) an 1 y ( n 1) a1 y
适用于MIMO、时变、非线性、随机、….系统 采用矩阵描述方式，形式简洁、运算方便 对系统进行分析时，可方便地将系统的初值包括进去 有助于采用 有助于采用一些新的控制方法，如：全状态反馈，最优控制等； 些新的控制方法，如：全状态反馈，最优控制等；
以及应用计算机进行控制。
5
基本概念
有关定义
系统描述
输入u(t)
一般地 般地，有： 有
X(t)
输出y(t)
(t ) f ( x (t ), u(t ), t ) x ) u(t ), ) t) y (t ) h( x (t ),
当系统为线性时，有： 当系统为线性时 有
状态方程（动态方程） 输出方程（代数方程）
(t ) A(t ) x (t ) B(t )u (t ) x y (t ) C (t ) x (t )
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线性系统
通过Laplace L l 变换求状态方程
设系统的运动方程为(单输入单输出)：
a0 y bmu ( m ) b1u b0u y ( n ) an 1 y ( n 1) a1 y
对于上述系统，如果设系统的初始条件为零，对于系统两 对于上述系统 如果设系统的初始条件为零 对于系统两
状态：指系统在运动过程中的某种特征量。用于描述系统的主要
特征和态势。如：力学系统中的位移、速度、加速度；生产管理 系统中的库存水平、生产率、价格等。 x(t) 例：考虑一个质点作直线运动 例 考虑 个质点作直线运动 v(t)
0 显然，它的状态就是它每一时刻的位置和速度，即： x(t) ( )和v(t) ( )。它们反映了该质点运动的规律。 它们反映了该质点运动的规律 注意：仅考虑位置是不够的！！
u(t)
i
由克希霍夫定律：
y(t)
di (t ) 1 Ri (t ) L i (t )dt u(t ) dt C
则有：
现选择x1 (t ) i (t )和x2 (t ) i (t )dt d 为状态变量 1 1 R x1 (t ) x1 (t ) x2 ( t ) u ( t ) L LC L 2 (t ) x1 (t ) x
0 (t ) x 1 L 1 C x (t ) 1u(t ) 0 R L x2 ( t )
T
其中：x (t ) x1 (t )
* 注意：状态变量的选择是不唯一的，导致状态方
程不唯一，但状态变量的个数是唯一的。
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线性系统
18
线性系统
由Laplace逆变换，有： 逆变换 有
a0 z u z ( n ) an 1 z ( n 1) a1 z y bm z
(m)
bm 1 z
( m 1)
b0 z b1 z
选择状态变量： x1 (t )
(t ), , xn (t ) z ( n 1) (t ) z (t ), x2 (t ) z
例2，将下面系统用状态方程表示： 将下面系统用状态方程表示
d 2 x (t ) m u(t ) 2 dt 设：x1 (t ) x (t ) (t ) x2 ( t ) x
则有， 1 (t ) x2 (t ) x u (t ) x 2 (t ) m
21
线性系统
1 (t ) x2 (t ) x x 2 (t ) x3 (t ) x n 1 (t ) xn (t ) n (t ) a0 x1 (t ) an 1 xn (t ) u(t ) x y (t ) b0 x1 (t ) bm xm 1 (t )
10
基本概念
如果选择x1 (t ) Li (t ) R i (t )dt 和x2 (t ) i (t )dt为状态变量 则有 则有： 1 x1 (t ) C x2 (t ) u(t ) 1 R x 2 (t ) x1 (t) x2 (t) L L