最大公因式

摘要

多项式的最大公因式求解问题是一个代数问题又是在实际应用中充满活力的问题，它是代数学中最基本的对象之一他不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其它数学分支时也都会碰到。在中学代数中我们学过多项式，现在的讨论可以认为是中学所学知识的加深并且推广到更一般的情况。本文在叙论中介绍了多项式最大公因式求解的一般过程和一些以矩阵为载体，经过初等变换而求得最大公因式的简易解法，因此设计多项式最大公式的有效算法是十分必要的。本文首先给出了两类最基本的解多项式的最大公因式的方法，即探讨了用辗转相除法求解多项式最大公因式的迭代算法，算法将两个多项式相乘，相除等过程用矩阵方法来处理。当多项式次数较高时，计算较复杂，而推广到多个多项式的情形计算量更大提出了对给定的若干多项式采用系数矩阵表示的方法，通过引入矩阵的第一、第二斜消变换这样的新概念，给错出了用斜消变换（结合初等行变换）求解最大公因式的新思路，新方法。本章对此作了完整的理论推导并提供了具体的例题说

目录

摘要 (Ⅱ)

Abstract (Ⅲ)

关键词………………………………………………………………

第一章绪论…………………………………………………

1.1 引言………………………………………………

1.2 多项式最大公因式概念及问题研究进展………

1.2.1 多项式的最大公因式概念………………

1.2.2 多项式最大公因式问题研究进展………………第二章多项式最大公因式的基本解法………………………

2.1 矩阵的初等变换………………………

2.2 最大公因式为倍式和的方法………………

第三章多项式最大公因式求解的探索和研究……

4.1 矩阵的斜消变换………………………………

4.2 利用斜消变换求解多项式最大公因式……

4.3 应用举例……………………………………

第四章总结语………………………………………………

参考文献…………………………………………

第一章

1.1 引言

长期以来，多项式最大公因式的求解一直是数学界一个古老而又充满活力的研究内容。从其应用角度考虑，曲线求交及光滑拼接，求等高线以及参数曲面隐式化等是计算机辅助几何设计（CAGD ）中的基本问题，GAGD 中大量涉及曲线的相交，而最大公因式的求解计算在曲线求交问题方面起了相当重要的作用，因而对其求解算法的研究就一直是人们感兴趣的内容。

本文的第一部分主要讨论多项式最大公因式的概念及其基本解法，为了说明这些方法，本章在后面首先概要介绍一下多项式最大公因式相关知识，并简单介绍一下国内外同行的研究情况.

1.2 多项式最大公因式概念及问题研究进展

1.2.1 多项式的最大公因式概念

本文总是假定P[x]是某个数域，x 是一个符号

定义1.2.1 设n 是一个非负整数，形式表达式

110,1,0...,...,n n n n n n a x a x a a a a P ---+++∈

称为系数在数域P 中的一元多项式，或称数域P 上的一元多项式. 数域P 上所有一元多项式的集合记为P[x].用f(x),g(x)…等符号表示多项式

多项式中系数不等于0的最高次数的项称为多项式的首项，其系数称为首项系数，首项系数等于1的多项式称为首一多项式，首项的次数称为多项式的次数,多项式f(x)的次数记为(())f x ∂

所有系数都等于0的多项式称为零多项式，记为0.规定零多项式的次数为-∞

定义1.2.2设g(x)﹑f(x)∈ P[x]，是两个多项式，如果存在一个多项式h(x) ∈ P[x]，使得等式 f(x)= g(x) h(x) 成立，我们就说g(x)整除f(x) ，或f(x)被g(x)整除，

记为g(x)︱f(x)，并把g(x)称为f(x)的因式，f(x)称为g(x)的倍式. 定义1.2.3 设f(x)﹑g(x)是P[x]中的两个多项式. P[x]中多项式d(x)称为f(x)﹑g(x)的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件:

1) d(x) 是f(x)﹑g(x)的公因式；

2) f(x)﹑g(x)的公因式全是d(x)的因式；

定理1.2.1对于P[x]中的任意两个多项式f(x)﹑g(x)，在P[x]中一定存在最大公因式，且在f(x)﹑g(x)不全为0时，最大公因式不唯一，它们相差一个非零常数，此时

记（f(x)﹑g(x)）表示首项系数是1的那个最大公因式．

最大公因式可以被推广到有限个多项式的情形．

定义1.2.4 设有任意多个多项式()[](2),s f x P x s ∈≥如果多项式[][]d x P x ∈具有以下性质，就被称为1(),()s f x f x ⋯的一个最大公因式：

（1）()()i d x f x ⎥，i=1,2,…,s

(2) 如果()(),i h x f x ⎢i 1,2,,s =⋯，那么()()h x d x ⎢

仍用（1(),()s f x f x ⋯）表示最大公因式的首一多项式﹒

1.2.2 多项式最大公因式的研究进展﹒

辗转相除法的缺点是运算复杂，易错，从算法实现角度考虑，该方法存在存储量大，运算时间长，运算时间慢的等不足﹒

吴文俊教授建立的吴消元法是处理多项式方程组求解问题的著名方法，该法也是我国数

学机械化研究领域中的核心算法﹒目前该法已被广泛应用﹒

近年来，国内外不少著名研究者不断在最大公因式求解问题上提出新的论断﹒

张三元，汪国昭等在文献中给出了一种并行算法，比辗转相除法简单﹒

包桐桢，蒋忠樟等在文献中提出了用矩阵的初等变换来求多项式最大公因式的方法，其实是利用矩阵的初等行﹑列变换求多项式矩阵的一阶行列式因子，较辗转相除法简单，但在求解过程中，仍然是多项式的计算﹒

刘国琪通过引入给定多项式的系数矩阵表示，提出了一种利用矩阵的初等行变换求解多个多项式最大公因式的方法，该方法摆脱了求解过程中的多项式运算，而单纯运用数字矩阵的初等行变换，直观明了，简单易行.

本文在上述研究的基础上，进行了更进一步的探讨，引入第一，第二斜消变换，使问题变得更简易化﹒