反证法在初中数学中的应用

反证法在中学数学中的应用反证法是一种非常重要的证明方法，它不仅在初等数学中是必要的，而且在高等数学中也是常用的。

它的“正难则反”与“非此即彼”的原理，不但在数学中应用广泛，而且在现实生活中也有非常重要的应用价值。

引言
反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况时可以考虑用反证法。

反证法是数学中一种重要的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。

它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义。

反证法的定义、逻辑依据、种类及模式
定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。

逻辑依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。

根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。

模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：
（1）反设：作出与求证结论相反的假设；
（2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
（3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

反证法的适用范围
反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。

那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一
般用反证法来证比较方便。

3.1否定性命题
即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证
法一般不易入手，而反证法有希望成功。

例 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。

已知：∠A ，∠B ，∠C
是三角形ABC 的三个内角。

求证：∠A ，∠B ，∠C 中不能有两个钝角。

证明：假如∠A ，∠B ，∠C 中有两个钝角，不妨设∠A ＞900,且∠B ＞900，则
∠A+∠B+∠C ＞1800。

这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。

故 ∠A ，
∠B 均大于900不成立。

所以，一个三角形不可能有两个钝角。

3.2限定式命题
即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。

例 已知方程4430x ax a +-+=2，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=中
至少有一个方程有实数值，求实数a 的取值范围。

分析：此题直接分情况用判别式求角就特别麻烦，可用反证法，假设三个方
程都无实数根，然后求满足条件a 的集合的补集即可。

证明：假设三个方程都无实根，则有：
222(4)(43)(1)48a a a a a ⎧--+⎪--⎨⎪+⎩
2＜0＜04a ＜0 解得 32-＜a ＜-1 ∴所求a 的范围为a ≤-3/2或a ≥-1.
3.3无穷性命题
即涉及各种“无限”结论的命题。

例 求证：2是无理数。

[1]
分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步
都非 常困难。

而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。

当反设2是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将2
表示为一个分数。

证明：假设2是有理数，则存在b a N b a ,.,且∈互质，使2222b a b
a =⇒=，从而，a 为偶数，记为c a 2=，∴224c a =，∴222
b
c =，则b 也是偶数。

由a ,b 均为偶数与a 、b 互质矛盾，故2是无理数。

例 求证：质数有无穷多个。

证明：假设质数只有n 个： P 1、P 2……Pn ，取整数N=P 1·P 2……Pn+1，显然
N 不能被这几个数中的任何一个整除。

因此，或者N 本身就是质数（显然N 不等于“P1、P2、……Pn 中任何一个），或者N 含有除这n 个质数以外的质数r ，这
些都与质数只有n 个的假定相矛盾，故质数个数不可能是有限的，即为无限的。

3.4逆命题
某些命题的逆命题，用反证法证明时可利用原命题的结论，
从而带来方便。

例 正命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等。

逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆。

[2]
逆命题的证明：如图，若AB+CD ＝AD+BC ……（1），设四边形ABCD 不能有一个内切圆，则可作⊙O 与其三边AD 、DC 、AB 相切，而BC 与⊙O 相离或相交，过C 作⊙O 的切线交AB 或延长线于点E,由正命题知：AE+CD ＝AD+CE ……（2）.当BC 与⊙O 相离时，（1）-（2）得AB-AE ＝BC －CE ⇒BC ＝CE+BE ，这与三角形两边之和大于第三边相矛盾；当BC 与⊙O 相交时，（2）-（1）得AE-AB ＝CE －BC ⇒BC ＝CE+BE ，同样推出矛盾，则BC 与⊙O 不能相交或离，BC 与⊙O 必相切，故四边形必有一个内切圆。

3.5某些存在性命题
例 设x ，y ∈(0,1),求证:对于a, b ∈R ,必存在满足条件的x, y,使|xy - ax
- by|≥3
1成立. 证明：假设对于一切x , y ∈〔0 , 1〕使|xy - ax- by| ＜3
1恒成立，令x = 0 , y = 1 ,则|b|＜31令x = 1 , y = 0 , 得| a| ＜3
1令x = y = 1 ,得| 1 - a
- b| ＜31但| 1 - a - b| ≥1 - | a| - | b| ＞ 1 -31-31=3
1产生矛盾,故欲证结论正确。

3.6全称肯定性命题
即结论以“……总是……”、“……都……”、“……全……”等出现的，这类肯定性命题可以用反证法试试。

例 求证:无论n 是什么自然数，
214143n n ++总是最简分数。

证明：假设214143
n n ++不是最简分数，令214n ka +=（1），143n kb +=（2）（,,,1k a b N k ∈），且a b
为最简分数，由（2）×3-（1）×2得132132kb ka b a k -=⇒-=，因32b a -为整数，1k 为分数，则132b a k
-=不成立，故假设不成立，分数214143
n n ++是最简的。

3.7一些不等量命题的证明
如：不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法。

例 已知a 、b 、c 、d ∈R ，且ad-bc ＝1，求证：a 2+b 2+c 2+d 2+ab+cd ≠1。

证明：假设a 2+b 2+c 2+d 2+ab+cd ＝1，把ad －bc ＝1代入前式得：a 2+b 2+c 2+d 2+ab+bc-ad+cd ＝0 即（a+b ）2+（b+c ）2+（c+d ）2+（a-d ）2＝0 ∵a 、b 、c 、d ∈R ∴a+b ＝b+c ＝c+d ＝a-d ＝0 ∵a ＝b ＝c ＝d ，从而ad-bc ＝0与ad-bc ＝1矛盾.故假设不成立，原命题成立.
例 在△ABC 中，∠C ＞∠B,求证：AB ＞AC.
分析：此题看似简单，不用反证法，用平面几何的知识也能解决，也可以用反证法加以证明。

证明：假设AB 不大于AC ，即AB ≤AC ，下面就AB ＜AC 或AB ＝AC 两种情况加以证明，若说明这两种情况都不成立，则假设错误，即原命题成立.
（1） 若AB ＝AC ，则△ABC 为等腰三角形，∴∠B ＝∠C ，与
已知∠C ＞∠B 矛盾.
（2） 若AB ＜AC ，在AB 延长线上取一点D ，使得AD=AC ，连
接DC. ∵AD=AC ∴△ADC 为等腰三角形 ∴∠ADC ＝∠ACD ，又∵∠
ABC为△ABD的一个外角∴∠ABC＞∠BDC＝∠ACD 而∠ACD＞∠ACB＝∠C ∴∠ABC＞∠C 即∠B＞∠C，与已知矛盾. ∴假设不成立，原命题成立.
3.8基本命题
即学科中的起始性命题，此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。

如：平面几何在按照公理化方法建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。

因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜用反证法来证明。

例已知：如图 AB⊥EF于M。

CD⊥EF 于N。

求证：AB∥
CD
证明:假设AB,CD不平行，即AB,CD交于点P ，则过P点
有AB⊥EF ，且CD⊥EF，与“过直线外一点，有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾。

∴假设错误，则AB∥CD。

[3]
例求证：两条相交直线只有一个交点。

已知：如图，直
线a、b相交于点P,求证：a、b只有一个交点。

证明：假定a，b相交不只有一个交点P，那么a, b至少有
两个交点P、Q。

于是直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b
也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a, b。

与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a, b不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。

3.9整除性问题
例设a、b都是整数，a2+b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除.
证明：假设a、b不都能被3整除，分三种情况讨论：（1）a、b都不能被3整除，因a不能被3整除，故a2不能被3整除，同理，b2不能被3整除，所以a2+b2也不能被3整除，矛盾.（2）a能被3整除，b不能被3整除，可得a2能被3整除，b2不能被3整除，故a2+b2也不能被3整除，矛盾.同理可证第三种情况.由（1）（2）（3）得，原命题成立.
4. 运用反证法应注意的问题
4.1必须正确否定结论。

正确否定结论是运用反证法的首要问题。

4.2必须明确推理特点
否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不能预测的，也没有一个机械的标准,有的甚至是捉摸不定的. 一般总是在命题的相关领域里考虑（例如,平面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等），这正是反证法推理的特点。

因此，在推理前不必要也不可能事先规定要得出什么样的矛盾。

只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一经出现，证明即告结束。

4.3了解矛盾种类
反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相矛盾，可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等。

反证法是数学中一种重要的证明方法, 是“数学家的最精良的武器之一”，在许多方面都有着不可替代的作用. 它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义。

反证法不仅可以单独使用,也可以与其他方法结合使用,并且可以在论证一道命题中多次使用,只要我们正确熟练运用,就能做到:精巧、直接、巧解难题、说理清楚、论证严谨,提高数学解题能力.。