反证法在初中数学中的应用

反证法在中学数学中的应用反证法是一种非常重要的证明方法，它不仅在初等数学中是必要的，而且在高等数学中也是常用的。它的“正难则反”与“非此即彼”的原理，不但在数学中应用广泛，而且在现实生活中也有非常重要的应用价值。

引言

反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况时可以考虑用反证法。反证法是数学中一种重要的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义。

反证法的定义、逻辑依据、种类及模式

定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。

逻辑依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。

模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：

（1）反设：作出与求证结论相反的假设；

（2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

（3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

反证法的适用范围

反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一

般用反证法来证比较方便。

3.1否定性命题

即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证

法一般不易入手，而反证法有希望成功。

例 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：∠A ，∠B ，∠C

是三角形ABC 的三个内角。求证：∠A ，∠B ，∠C 中不能有两个钝角。

证明：假如∠A ，∠B ，∠C 中有两个钝角，不妨设∠A ＞900,且∠B ＞900，则

∠A+∠B+∠C ＞1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。 故 ∠A ，

∠B 均大于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。

3.2限定式命题

即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。

例 已知方程4430x ax a +-+=2，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=中

至少有一个方程有实数值，求实数a 的取值范围。

分析：此题直接分情况用判别式求角就特别麻烦，可用反证法，假设三个方

程都无实数根，然后求满足条件a 的集合的补集即可。

证明：假设三个方程都无实根，则有：

222(4)(43)(1)48a a a a a ⎧--+⎪--⎨⎪+⎩

2＜0＜04a ＜0 解得 32-＜a ＜-1 ∴所求a 的范围为a ≤-3/2或a ≥-1.

3.3无穷性命题

即涉及各种“无限”结论的命题。

例 求证：2是无理数。[1]

分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步

都非 常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设2是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将2

表示为一个分数。

证明：假设2是有理数，则存在b a N b a ,.,且∈互质，使2222b a b

a =⇒=，从而，a 为偶数，记为c a 2=，∴224c a =，∴222

b

c =，则b 也是偶数。由a ,b 均为偶数与a 、b 互质矛盾，故2是无理数。

例 求证：质数有无穷多个。

证明：假设质数只有n 个： P 1、P 2……Pn ，取整数N=P 1·P 2……Pn+1，显然

N 不能被这几个数中的任何一个整除。因此，或者N 本身就是质数（显然N 不等于“P1、P2、……Pn 中任何一个），或者N 含有除这n 个质数以外的质数r ，这

些都与质数只有n 个的假定相矛盾，故质数个数不可能是有限的，即为无限的。

3.4逆命题

某些命题的逆命题，用反证法证明时可利用原命题的结论，

从而带来方便。

例 正命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等。

逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆。

[2]

逆命题的证明：如图，若AB+CD ＝AD+BC ……（1），设四边形ABCD 不能有一个内切圆，则可作⊙O 与其三边AD 、DC 、AB 相切，而BC 与⊙O 相离或相交，过C 作⊙O 的切线交AB 或延长线于点E,由正命题知：AE+CD ＝AD+CE ……（2）.当BC 与⊙O 相离时，（1）-（2）得AB-AE ＝BC －CE ⇒BC ＝CE+BE ，这与三角形两边之和大于第三边相矛盾；当BC 与⊙O 相交时，（2）-（1）得AE-AB ＝CE －BC ⇒BC ＝CE+BE ，同样推出矛盾，则BC 与⊙O 不能相交或离，BC 与⊙O 必相切，故四边形必有一个内切圆。

3.5某些存在性命题

例 设x ，y ∈(0,1),求证:对于a, b ∈R ,必存在满足条件的x, y,使|xy - ax

- by|≥3

1成立. 证明：假设对于一切x , y ∈〔0 , 1〕使|xy - ax- by| ＜3

1恒成立，令x = 0 , y = 1 ,则|b|＜31令x = 1 , y = 0 , 得| a| ＜3

1令x = y = 1 ,得| 1 - a