文柯一在加拿大的科研经历

我在加拿大的一些科研经历
——谨以此文纪念Bob Collin教授文舸一
Robert E. Collin 教授已经去世几个月了。

我是从伊琳诺工学院（Illinois Institute of Technology）教授Thomas T. Y. Wong处得知他逝世的消息的。

就在去年下半年，我还与他有电邮往来。

听到这一噩耗之后，内心深感惋惜与悲痛，久久难以平静！我过去十余年的科研工作经历与 Collin 教授有很大的关系。

现将部分经历过程写出来，以纪念这位国际应用电磁学领域的杰出先驱。

Collin教授生前是俄亥俄州凯斯西储大学（Case Western Reserve University）的荣休教授，美国工程院院士，国际公
认的应用电磁学奠基人；因病不幸于2010年11月29日逝世，享年 82岁。

我们这代人是从学习 Collin 的经典著作《导波场论》一书开始知道他的[1]。

二十九年前，我考入西安电子科技大学微波专业的八二级研究生，师从我国著名微波专家吴万春教授和吴鸿适教授。

第一学期的专业必修课程设有―导波场论"，用的教材就是 Collin 教授 1960 年版的―导波场论"中译本（侯元庆译）以及 R. Mittra和S.W. Lee合著的―导波理论中的解析方法"[2]。

这门课程内容十分广泛，包括各
种典型波导结构及其不连续性分析的解析技巧；用到的数学工具颇多，涉及到经典数学的各个领域。

作为刚入学的研究生，学起来非常吃力。

给我印象最深的是这门课程的期末考试。

主讲老师出了三道考题，实行开卷考试（即可以带参考书入考场）。

我们从上午 8点一直考到下午 3点多，用了7个多小时才陆续
交卷。

监考老师念我们没吃中饭，从家里带来些糖果给大家补充能量。

这是我所经历过的时间最长的马拉松考试。

凡是读过 Collin 教授书的人，对他在学术上的造诣和严谨都是十分佩服的。

除“导波场论”外，他还有另外两部经典著作：“微波工程基础”和“天线与无线电波传播”[3,4]。

这三部著作在电磁工程领域产生了深远影响，是从事应用电磁学研究的必读书籍。

国内外电磁场与微波技术学科的研究生大多采用它们作为教材或参考书。

没有读过这些书的人是很难胜任今后相关领域工作的。

在攻读学位期间，我花了大量时间和精力学习 Collin 的著作，为今后的科研打下了较为坚实的基础。

这段时间与 Collin 教授有过一次通信来往。

1987 年 9月博士毕业后，先后在东南大学和电子科技大学做博士后，得到著名微波专家章文勋教授，李嗣范教授和我国微波技术奠基人林为干院士的关心和指导。

在两次博士后流动期间，大部分时间用来研读近代数学和物理学经典著作。

1992 年 6月应邀前往加州大学伯克利分校（University of California at Berkeley）教授 K. K. Mei（梅冠香教授）处访问，从事吸收边界条件的研究。

访问即将结束时，电子科技大学校长刘盛纲院士写信要我回校参加破格教授答辩。

我提前一个月结束了访问，于 1993 年 5 月初匆匆赶回学校。

到校的第二天便参加答辩并顺利通过，之后留校工作。

1998 年3月到加拿大滑铁卢大学（University of Waterloo）W. P. Huang（黄卫平教授）的课题组做了三个月的客座教授，从事光纤传输算法研究。

1998年8月再次赴加拿大，在黑霉手机制造商 Research In Motion（RIM）从事手持终端天线设计工作，一做便是近十年。

刚进公司的头三个月，完成了论文―理想天线的福斯特定理和辐射 Q"[5]。

写这篇论文的原因还要从 Collin 教授的一篇文章谈起。

上个世纪六十年代后期，微波天线界的老前辈对天线的 Q 值进行过激烈的讨论。

Collin 在 1967 年题为―储能 Q 与平面口径天线的频率灵敏度"的论文中写道[6]："It is well known (Foster‘s reactance theorem) that for a pure reactive network the frequency derivative of the input reactance or susceptance is proportional to the total average stored magnetic and electric energy. However; this is generally not true for an arbitrary reactive network terminated in a resistive load. Hence, one should not expect to be able to prove that such a result is universally true for antennas. Indeed, the slope of the input reactance of an antenna can be negative."
Collin 教授认为福斯特定理对天线是不成立的，这基本上是天线行业当时的共识。

大家知道，电路理论里有著名的福斯特定理，即任意单端口无耗网络的输入电抗的斜率是正的。

这个定理对一般的有耗电路并不成立。

由于天线存在能量辐射，故可看作有耗电路，因此有理由推测福斯特定理对天线不成立。

事实上，Collin教授做出上述判断还有其它依据：大量计算表明天线输入电抗的斜率可以是负的。

在同一期
杂志上还刊登了另一位著名天线专家，北卡罗来纳州立大学（North
Carolina State University）教授 D. R. Rhodes 的文章，他在文章中写道[7]：
"I agree also with Collin that one should not expect to be able to prove that an exact reciprocal relationship exists between the bandwidth and Q of antennas, anymore than that such an exact relationship exists for non-radiating systems. But I firmly believe that such an asymptotic relationship must exist for any complete radiating system, just as surely as it does for non-radiating systems. The fact that the slope of the input reactance can be negative at some frequencies is immaterial; it is always positive at the only frequency (resonance) for which bandwidth and Q are defined."
Rhodes 教授在上面提到了天线理论里的另一个问题，即天线带宽和天线 Q 值的关系问题。

众所周知，低频电路中带宽与 Q 值互为倒数。

人们发现这个关系很难推广到辐射系统。

因此 Rhodes 和 Collin 都认为这个关系是不可证明的。

然而Rhodes 坚信这个关系对天线辐射系统是存在的。

Rhodes 进一步认为，天线的输入电抗在某些频率点的斜率取负值并不是问题的关键，关键是它在谐振频率附近总是正的。

两年后（1969 年）另一位天线专家，前 IEEE会刊天线与传播主编 R.L. Fante博士发表了经典论文―一般理想天线的 Q值"[8]。

他在文中曾试图证明天线带宽与 Q 值互为倒数这一关系，但未能成功（见后面说明）。

事实上著名微波天线专家，美国工程院院士 Wheeler博士后来（1975年）在题为―小天线"的文章中说道[9]："The common expression for bandwidth in terms of 1/Q is neither logical nor helpful in clear exposition." 因此天线的带宽和Q 值之间的关系在当时的确是个没有搞清楚的问题。

刚进公司，我便发现手持终端天线带宽受到某些因素的制约，于是开始关注天线带宽与Q值的关系并着手研究Fante的工作。

研究过程中发现其推导天线 Q值与带宽关系时用了一个错误的假定，即假定天线的端口（即参考面）的模式电流与频率无关（这个错误还经常出现在近期文献中）。

事实上微波频段的所有物理参量都是与频率有关的，天线端口的模式电压和模式电流也不例外。

要说明这一点只须给出一个算例即可。

图 1 为同轴口径天线，图 2(a)为该天线端口的模式电流幅值与频率的关系，图 2(b)为模式电压幅值与频率的关系。

可以看出，天线端口的电压和电流都是随频率而变化的。

发现了Fante的错误后，我开始思考如何严格证明天线Q值与带宽互为倒数的关系。

在
低频电路里证明 Q 值与带宽互为倒数最简单的方法是采用福斯特定理。

因此首先想到的是先证明福斯特定理对天线成立（哪怕是近似成立也行）。

这在当时是异想天开，是与天线领域的共识相违背的。

然而不难发现福斯特定理对某些有耗电路的确成立。

例如福斯特定理对简单的 RLC 级联电路是成立的。

由此可知无耗条件仅仅是福斯特定理成立的充分条件，而非必要条件。

认识到这一点后，我着手推导天线的 RLC 等效电路。

对于一个封闭的单端口系统，其 RLC等效电路的推导是十分简单的，大多数微波电路书籍都有介绍。

对于一个开放的天线系统，其推导过程则变得较为复杂。

由物理常识可知，等效 RLC 电路中的电阻 R 表示系统损耗，电感 L 表示系统磁储能，电容 C 表示系统电储能。

对于封闭的单端口系统，总电能和总磁能均为有限值，因此 L 和 C 都是有限的。

然而天线是个开放系统，周围的总电能和总磁能都是无穷大。

为了推导天线的 RLC等效电路，必须解决这个无穷大问题（物理学里的无穷大问题是令物理学家最头疼的问题）。

事实上天线的总能量和天线的总辐射能量都是无穷大，一个合理的做法是将天线周围的储能定义为总能量减去总辐射能量，两个无穷大相减得到一个有限值，即为天线周围的储能。

这个想法最早出现在 Counter 的 1948 年的文章中[9]。

Collin 和 Rothschild 于 1964 年发表了题为―天线 Q 的计算"的经典论文[11]，文中沿用了 Counter 的思想来计算天线周围的储能，但没有计及天线外切球内的能量。

1969年Fante在论文[8]中进一步推广了Collin和Rothschild的工作，但仍然没有考虑天线外切球内的储能。

值得指出的是当忽略了天线外切球内的储能时，算得的天线Q值远远小于实际Q值。

为了得到天线的RLC等效电路参数，必须考虑天线外切球内的储能，否则所得到的等效电路参数没有实用价值。

基于这一考虑，我从电磁理论出发，利用上述天线储能定义严格推导了发射天线的RLC 等效电路。

得到天线的 RLC 等效电路后，天线的福斯特定理以及 Q 与带宽的关系就呼之欲出了。

早在 1957 年，微波天线专家 Levis 就对天线的福斯特定理做过研究，发表了题为“天线的电抗定理”的论文[12]。

1977年，Rhodes 又对天线的福斯特定理做了进一步研究，发表了论文“电抗定理”[13]。

这两篇论文都错误地假定天线端口模式电流与频率无关，推得的输入电抗对频率导数的表达式过于复杂，从中得不出任何有意义的结果。

这导致人们普遍认为不管天线是否有欧姆损耗，福斯特定理对天线是不成立的。

前面我们用一个具体算例说明了天线端口的模式电压和电流都是与频率有关的。

其实还可从另外一个角度来认识这个问题。

实际情况中天线总是通过波导来馈电的，而波导通常都假定工作在单模状态。

当天线用来传递信号时，为了减少信号畸变，所有信号分量都必须限制在单模工作频率范围内。

分析这类问题的第一步是采用傅立叶变换将问题转换到频率域来研究。

因此所有物理量，包括端口模式电压和模式电流，都代表傅立叶变换。

除非输入信号是脉冲，否则它们都是频率的函数。

有趣的是 Rhodes 在1977年的文章中便假设端口电流是时间的函数。

众所周知，脉冲含有宽广的频率分量。

它在波导中将激发大量高次模，使波导变成多模传输线，输入阻抗的定义于是变得不确定。

这个错误的假设表明人们对波导的时域理论没有研究透彻，后面我们会回到这个问题上来。

要推导天线输入电抗对频率导数的表达式必须摆脱端口模式电流与频率无关的假定。

1960年，Fano，朱兰成和Adler 三人合作出版了一部优秀的著作―电磁能量传输与辐射"[14]。

该书利用复变函数论中的柯西-黎曼条件推导了封闭的单端口无耗网络的福斯特定理，整个过程都是在复频域中进行，没有用到端口模式电流与频率无关的假定，这对我启发很大。

通过采用复频域分析和Counter的储能计算方法，我最终证得福斯特定理对无耗的理想天线是成立的，而天线的 Q值与带宽互为倒数的关系只是福斯特定理用于 RLC 等效电路的一个简单推论[5]。

在论文[5]中，我们解决了天线理论中的四个难题：一是天线的等效RLC 电路推导；二是理想天线的福斯特定理；三是天线 Q 值与带宽互为倒数的证明；四是实际天线 Q 的计算，即天线实际 Q 值可由已知的天线输入阻抗计算而得。

此文发表后，我意外地收到了素未谋面的Fante 博士的来信。

他在信中说道："I enjoyed reading the paper by you and your co-authors in the March 2000 issue of the IEEE Transactions on Antennas and Propagation. For more than thirty years I had hoped that someone would tie up some of the loose ends in my 1969 paper. It seems you have done it. Good job!" Fante 在信中说他很欣赏我们的文章，并说三十多年来一直盼望有人能解决他1969年论文中 [8] 存在的问题。

他这里所说的问题是指推导天线带宽与 Q值关系时用到了天线端口模式电流与频率无关的假定。

Fante博士是知道这个问题来龙去脉和症结所在的几位资深电磁科学家之一。

然而论文[5]发表后，引来很多质疑的声音。

A. Yaghjian 博士和S. Best 博士就是其中的代表。

2003年 7月
上旬，我在公司收到 Best 的电话留言，说他对论文[5]很感兴趣，并认为是很好的工作。

Best 当时是Cushcraft 天线公司总裁，现在美国军方工作。

在以后的一个月内，我们通过电邮就怎样计算天线输入阻抗交换了看法。

他给我寄来了用 NEC软件模拟的天线输入电抗曲线，显示出即便是理想天线也不满足福斯特定理。

这也是天线工程领域大多数专家认为福斯特定理对天线不成立的主要原因。

其实天线输入阻抗的计算要求对天线馈线即波导理论十分熟悉，这正是大多数天线教科书讨论天线时所忽略的地方。

几乎所有的教材都不将馈线看作天线的一部分，而是将馈线进行简化，其过程十分粗糙，使得天线输入阻抗的定义变得模糊不定。

天线输入阻抗应定义为馈线工作在单模状态时天线端口的模式电压和模式电流之比。

这里的单模假定是十分重要的，往往被天线工程师忽略。

常犯的错误是在计算天线输入阻抗时不管馈线是否工作在单模状态，或假定馈线工作在单模状态而最后阻抗计算结果的频率范围超出单模工作频率范围，馈线变成多模传输线。

当频率超出单模工作频率范围时，推导天线福斯特定理所做的单模假定不再成立，因此电抗曲线会出现负斜率。

一些资深的天线专家也经常犯同样的错误。

另一个常被天线工程师忽略的问题是天线输入端口位置的选择。

为使天线端口处只存在单模，天线端口要离开一切不连续性，否则天线在某些频率范围也不满足福斯特定理。

考虑图 3 所示的双线馈电的偶极子天线。

该天线的馈电线直接被偶极子天线照射，在靠近天线附近有大量的高次模，天线端口与天线的距离 L 必须大于天线单臂长度D。

IEEE 天线学会终身会士，丹麦Aalborg大学教授J. B. Andersen等在质疑论文[5]时用时域有限差分法计算了该天线的输入阻抗，如图 4（a）所示[15]。

计算结果表明天线的输入电抗在频率为 1G 附近出现负斜率。

然而，他们的计算结果完全是由于计算误差和天线端口位置选择不当引起的。

图 4(b)给出了用矩量法（IE3D）算得的结果，显然双线馈电的偶极子天线输入电抗的斜率是正的。

更详细的讨论见[16]。

电磁计算软件 NEC 是基于线模型和矩量法，为了分析简单起见，它去掉了天线馈线，而代之以电压源。

天线馈线用电压源代替的前提是线天线的半径必须很小，理论上应为无穷小。

故计算有限半径的线天线输入阻抗时不能将频率算得太高。

而Best 的 NEC 计算结果都是将频率算得很高，违背了使用电压源的前提。

我将他送来的结果进行重新计算并将线天线半径变小，发现所有结果都满足福斯特定理。

因此 Best 的计算结果完全是由于忽视了电压源的使用前提所致。

类似的错误出现在很多经典教科书和大量的科技文献中。

例如 Balanis 的教材中就有这样的例子[17]。

该书图9.15给出了折叠振子的输入电抗，为方便起见示于图
5(a)。

显然电抗曲线出现负斜率，计算结果不满足福斯特定理，原因是导线的半径太粗或频率范围太广。

要在如此宽的频率范围内采用电压源计算天线输入阻抗，必须假定导线很细。

图 5(b)是利用同样公式重新计算所得结果，可看出福斯特定理是成立的。

与 Best 讨论的同时，我与 Collin 教授就天线输入阻抗的计算问题进行了广泛深入的探讨。

他当时已是 75岁高龄，还亲自使用 MININEC 软件做数值计算。

下面的文字和图片是从他给我寄来的PDF文件中摘录下来的："I also used MiniNEC to compute the current distribution on a dipole antenna 0.9 wavelengths long using both a localized source and for a uniform incident electric field acting along the whole dipole. For this case I found that the two current distributions were quite different and the polar patterns were also quite different. Thus the longer dipole antenna does not scatter with the same polar pattern as it has when used for transmission. For this case I believe it would be necessary to compute the scattered field from the short circuited antenna and then superimpose a transmitted field component in order to obtain the total scattered field and the correct scattered power. A knowledge of the port currents alone will not enable us to know the current distributions on the long dipole.
I have included a sketch of the current distribution on the long dipole antenna for the two excitations as well as sketches of the polar field patterns for the transmitting and scattering cases."
图 5 (a)折叠振子的输入电抗（引自[17]图9.15）. (b)折叠振子的输入电抗
图 6 Collin 教授用 MININEC 算得的偶极子天线电流分布和方向图
Collin 教授的上述见解对我们了解发射天线与接收天线的区别是很有帮助的。

接收天线的工作过程比发射天线复杂。

接收天线在入射波照射后会产生散射，散射场中包括接收天线的再次辐射场和接收天线短路后的散射场。

我在 RIM 公司做的第一个产品是电邮机的内置双馈收发天线。

由于难度较大，经常和技术员加班到深夜，亲自刻制调试天线和焊接匹配电路元件。

经过数年的努力积累了一定的实践经验，研发的天线由最初的单频段发展到双频段，三频段和四频段。

这些天线产品的性能都很不错，比国际同类产品好得多。

但当时深感天线理论知识贫乏，在教科书中找不到天线的一般性理论，于是决定自己探索。

2003年，IEEE会刊天线与传播第八期同时刊登了我的两篇文章，题目分别为“天线的物理限制”[18]和“电小天线的 Q 值计算”[19]。

第一篇文章回答的问题是当天线的最大尺寸给定后，能获得的最大可能天线增益带宽积是多少。

这个问题的研究最早可追溯到美籍华裔科学家朱兰成教授的工作。

朱兰成是为数不多的著名电磁理论权威之一，是早年的中央研究院院士，曾担任过麻省理工学院电机系系主任，有大家熟悉Stratton-朱公式，被称为天线工程理论的鼻祖，是我们华人的骄傲。

1948年，朱兰成在美国应用物理学报上发表了题为“全向天线的物理限制”的论文[20]。

该文利用球面波理论讨论了辐射TE模或TM模的全向天线的性能上限，是天线工程领域的经典文献之一。

朱兰成的工作是十分重要的，为今后的相关研究定下了基调。

但他的论文并没有回答一般全向天线（即同时辐射TE模和TM模的全向天线）的性能上限，更没有涉及定向天线的性能上限。

1960年著名电磁理论专家，美国 Syracuse大学教授 R. F. Harrington 曾试图得到定向天线增益的上限[21]。

应该指出对给定尺寸的天线，理论上增益并无上限。

Harrington 教授沿用了朱兰成的讨论方式，将球面波级数展开式截断而保留有限项（从而级数取值有限）后再去优化天线增益，获得的增益最大值只与截断级数的项数N有关，为N(N+2) 。

为使增益最大值与天线尺寸和工作频率发生关系，他引入了标称增益（Normal gain）的概念，定义为ka(ka+2) （为波数，天线最大半径）。

标称增益是在N(N+2) 中令N-ka 得到的。

这样做的理由是认定指标n大于ka 球面波展开项的贡献很小，可以忽略不计。

由于没有考虑天线带宽和增益的相互制约，这样的讨论方式是值得商榷的，在逻辑上也有缺陷。

1992年 Fante 讨论了定向天线的最大增益带宽积的上限[22]，但讨论过程忽略了一个重要的约束条件，得到的结论是错误的。

在论文[18]中，我们给出了任意全向天线和任意定向天线的增益带宽积上限，讨论中不需要截断级数，
所得的结果是严格的解析解。

对于全向小天线，新的增益带宽积上限是朱兰成结果的两倍；关于定向天线的性能上限则是全新的。

这些理论结果可看作是天线理论中的Shannon 定理。

在天线最大尺寸给定后，由它们可确定天线的最好性能，也可用来平衡天线的增益和带宽以获得所要求的性能。

天线性能上限给工程实践指明了努力方向在电小天线设计中显得尤为重要。

第二篇文章[19]与Collin 教授的工作有着密切的联系。

自朱兰成的经典文章[20]发表后，天线 Q 值的计算问题一直没有解决好。

Collin 与 Rothschild 在论文[11]中写道：
"To date there does not appear to have been any particular effort devoted to the evaluation of antenna Q beyond the classical work of Chu. First considerations indicate that a general method for evaluating antenna Q may be difficult to find for the following two reasons. The field radiated by an antenna consists of a radiation field carrying power to infinity and a localized reactive field. However, for the purpose of evaluating the energy stored in the reactive field, the field cannot be separated into a radiation field and a reactive field and treated separately due to nonzero interaction terms. Secondly, the electric or magnetic energy stored in the total field is infinite, since this field pervades all space. The use of the
complex Poynting vector does not overcome these difficulties either, sinc e an integration of the complex Poynting vector over a closed surface immedi ately adjacent to and surrounding the antenna yields
which only evaluates the total radiated power P and the difference between the total average magnetic and electric energy stored in the field." Collin 和Rothschild 在上面指出了计算天线Q 的困难所在。

天线辐射场中含有远区辐射场和近区感应场，两者不能截然分开。

频域 Poynting 定理(1)中的电储能e W 和磁储能m W 都是无穷大，只能用来计算电储能和磁储能的差。

当时另一个他们没有提及的问题是计算天线 Q 时都忽略了天线外切球内的储能，故算得的 Q 值远远小于实际值。

因此有必要研究天线实际 Q 值的计算方法，即计及天线外切球内的能量。

Collin 和 Rothschild 提到的困难已在我们 2000 年的论文[5]中解决。

事实上只要知道电能和磁能之差就可由文[5]中的公式求得天线的实际 Q 值。

但该公式涉及天线输入电抗对频率的导数，而输入电抗对频率的导数在某些点十分敏感（例如图 5(b)所示1GHz 附近），导致较大的计算误差。

为摆脱电抗对频率的求导，在论文[19]中我们提出用频域Poynting 定理和时域 Poynting 定理联合求解天线周围的电能和磁能。

该论文的关键点在于意识到这两个定理是独立的，这是第一次通过场的方法获得天线的实际 Q 值。

文中还给出了一些典型天线的 Q 值解析公式。

后来国外同行利用数值计算对这些解析公式进行了验证
[23-24]，被认为是最准确的结果。

2003年与其他同行频繁讨论的同时，我还在研究接收天线的等效电路问题。

该问题的缘起是著名电磁理论专家，比利时Ghent 大学教授 J. V. Bladel （K. K.Mei 的导师，原美国Wisconsin 大学教授）于2002 年发表在 IEEE 天线与传播杂志上的一篇题为“关于接收天线的等效电路”的文章[25]。

论文发表后，立即得到一些老前辈的回应并引发激烈的讨论，其中包括当时已是87岁高龄的A.W. Love 博士和75岁高龄的Collin 教授。

Love 提出了接收天线的一个悖论，即任何接收天线的接收效率都不会超过 50%[26]。

为了解决这个悖论，他提出了同时含有电压源和电流源的等效电路来表示接收天线。

Collin 教授对此有不同的看法，并发表了题为“Thévenin 和 Norton 等效电路用于接收天线时的限制”[27]。

看到他们的讨论之后，我立即着手考虑如何从电磁理论出发严格推导接收天线的等效电路。

在几十年的学习和工作过程中，我比较关注场与路的关系。

由于有推导发射天线等效电路的经验，在很短的时间内便完成了这一工作，并将结果整理后与另一篇论文送给了Love 和Collin ，请他们审阅。

一个星期后我收到了Love 博士的电邮。

他在信中说这段时间以来一直努力想弄清两篇论文所讨论的内容，但因年事已高，视力退化。