高等数学课件：函数的连续性

1.7函数的连续性

教学目的：理解函数连续性的概念，会判断函数的连续性。掌握连续函数的四则运算，知道

反函数及复合函数的连续性，掌握初等函数的连续性, 知道间断点的概念及分类，会判断其类型。

教学重点：函数连续性的概念, 连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性. 教学内容：

1.6.1函数的连续性 1 函数在一点的连续性

定义1 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域0()U x 内有定义，自变量x 在点0x 处有增量

x ∆，相应地函数值的增量

00()()y f x x f x ∆=+∆-

如果0

lim 0x y ∆→∆=，就称函数()f x 在点0x 处连续，0x 称为函数()f x 的连续点。

函数()f x 在点0x 处连续还可以描述如下。

设函数()y f x =在点0x 的某个邻域0()U x 内有定义，如果0

0lim ()()x x f x f x →=，就称函数

()f x 在点0x 处连续。

左连续及右连续的概念。

如果0

0lim ()()x x f x f x -→=，称函数()f x 在点0x 处左连续；如果0

0lim ()()x x f x f x +→=，称函

数()f x 在点0x 处右连续。由于0

lim ()x x f x →存在的充要条件是0

lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→=，因此，根

据函数连续的定义有下述结论：若函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，则它在点0x 处连续的充分必要条件是在点0x 处左连续且右连续。 2 区间上的连续函数

如果函数在开区间上每一点都连续，我们称函数在开区间内连续，如果函数开区间内连续，在区间的左端点右连续，右端点左连续，就称函数在闭区间上连续。

例1 证明sin y x =在(,)-∞+∞内连续。

证明 (,)x ∀∈-∞+∞，当x 有增量x ∆时，对应的函数值的增量

sin()sin 2sin

cos 22x x y x x x x ∆∆⎛⎫∆=+∆-=+ ⎪⎝⎭

由于 cos 12x x ∆⎛

⎫

+

≤ ⎪⎝⎭

， sin 22x x ∆∆≤

所以 02sin

cos 2222x x x y x x ∆∆∆⎛

⎫≤∆=+≤=∆ ⎪⎝

⎭ 当0x ∆→时，由夹逼准则得0y ∆→，因此sin y x =在点x 处连续，由于x 的任 意性，sin y x =在(,)-∞+∞内连续。

例2 证明x

y a =（0a >1a ≠）在(,)-∞+∞内连续。

证明 (,)x ∀∈-∞+∞，当x 有增量x ∆时，对应的函数值的增量

(1)x x x x x y a a a a +∆∆∆=-=-

由于0x →时，1ln x

a x a -:，因此

lim lim (1)lim (ln )0x x x x x x y a a a x a ∆∆→∆→∆→∆=-=∆=

因此，x

y a =在点x 处连续，由于x 的任意性，x

y a =在(,)-∞+∞内连续。

1.6.2 函数的间断点

如果函数()y f x =在一点0x 处不连续，就称函数()y f x =在点0x 处间断，0x 称为函数

()f x 的一个间断点。而根据函数连续的定义，函数()y f x =在点0x 处连续必须满足以下三个

条件：

（1） 函数()f x 点0x 处有定义； （2） 0

lim ()x x f x →存在；

（3） 0

0lim ()()x x f x f x →=。

因此，如果上述条件有一个不能满足，则0x 就是函数()f x 的间断点。 下面分别给出上述至少有一条不满足时，函数间断的例子。

情形1 函数()f x 点0x 处无定义，0

lim ()x x f x →存在或不存在

例3 讨论函数sin x

y x

=

在0x =处的间断情况。 sin x y x =

在0x =处无定义，0x =是它的一个间断点。但0sin lim x x x →存在，若将0sin lim

x x

x

→补充为函数在0x =处的函数值，即

sin 0 1 0

x

x y x x ⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩

则函数在处就变成0x =连续的了。

例4 讨论函数tan y x =在2

x π

=

处的间断情况。

tan y x =在2

x π=处无定义，2

x π=

是它的一个间断点。2

lim tan x x π

→

不存在，但

2

lim tan x x π

→

=∞。

例5 讨论函数1

sin

y x

=在0x =处的间断情况。 1

sin y x

=在0x =处无定义，因此，0x =是函数的一个间断点。0x →时，函数值在1-与1

+之间无限次地振荡，因此01

limsin x x

→不存在。

图1.6.2

情形2 函数()f x 点0x 处有定义，但0

lim ()x x f x →不存在

例6 讨论函数 2 0()0 01 0 x x f x x x x ⎧<⎪

==⎨⎪+>⎩

的连续情况.

0lim ()0x f x -

→=，0

lim ()1x f x +

→=。该函数在0x =的左、右极限都存在，但不相等，因此0

lim ()x f x →不存在，0x =是它的一个间断点。

情形3 函数()f x 在点0x 处有定义，且0

lim ()x x f x →存在，但0

0lim ()()x x f x f x →≠。

例7 1sin 0() 2 0

x x f x x

x ⎧

≠⎪

=⎨⎪=⎩ 该函数在0x =有定义，且0

1

lim sin

x x x

→存在（=0），但不等于(0)f 。若将(0)f 改为其极限值，即

11sin 0

()0 0

x x f x x

x ⎧

≠⎪=⎨⎪=⎩ 则函数在0x =处就变成连续的了。

如果该函数在0x 点的左、右极限都存在，则称0x 是函数()y f x =的第一类间断点；否则称0x 是函数()y f x =的第二类间断点。在第一类间断点中，若左、右极限相等，则称该间断点为函数的可去间断点，如，例3和例7中0x =都是函数的可去间断点；若左、右极限不相等，则称该间断点为函数的跳跃间断点，如例6中的间断点是函数的跳跃间断点。在第二类间断点