高考题中的阿基米德三角形
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2
(1 )试证： x nsn 4 （n 1 ）;
Bn (sn , t n ).
x 4y上
A n (xn , y n )
2
证明：（Ⅰ）对任意固定的 n 1, 因为焦点F（0,1）,所以可设直线 An Bn
y kn x 1 2 由 2 , 得 x 4kn x 4 0 x 4 y
高考题中的阿基米德三角形
回顾：过抛物线x2=2py(p>0)上的点
x0 x P(x0，y0)处的切线方程？
y
p( y0 y)
P (x 0,y0) x
思考： 方程x0 x p( y0 x yx )还 =p(y
0
F O
0+y)
可以表示什么直线？
图1
结论：过抛物线x2=2py(p>0)外一点P(x0， y0)，分别作抛物线的切线PA、PB，A、B 分别是切点，则直线AB的方程 为 x0 x p( y0 y)．
图2
结论：直线AB的方程为 x0 x p( y0 y) ． 2 若 弦 AB过 抛 物线 x 2 y内 一 定点 探究1： (1 ,3 ), 则 阿 基米 德 三 角 形的 点 顶 P(x0 , y0 )
的 轨 迹是 否 为 一 条定 线 直 ？y 若 弦 AB 过 抛 探究2：
物线x 2py内一定 点 (a,b) (0 , c),则 阿 基 米 德 三 角 形 的 顶 点 P (x 0, y0 )
y B x 0x=p(y0+y) A F O P (x 0,y0) x
由抛物线的弦与过弦的端点 阿基米德 的两条切线所围成的三角形. 三角形
y
B
阿基米德是 伟大数学家与力 学家,并享有“数 学之神”的称号。
A
F O
x
P
结论：直线AB的方程为 x0 x p( y0 y) ． 2 若 弦 AB过 抛 物线 x 2 y内 一 定点 探究1： (1 ,3 ), 则 阿 基米 德 三 角 形的 点 顶 P(x0 , y0 )
的 轨 迹是 否 为 一 条定 线 直 ？y 若 弦 AB 过 抛 探究2：
物线x 2py内一定 点 (a,b) (0 , c),则 阿 基 米 德 三 角 形 的 顶 点 P (x 0, y0 )
2
(1,3)
A F O
B
x 0x=p(y0+y)
x P (x 0,y0)
的 轨 迹 是 否 为 一 条 定线 直？
的 中 点 ， 求 证Q ： A
A x
O
2
两 点 ， 一 条 垂 直 于 x轴 的直线，分别与线
B
为此抛物线的切线； （ 2 ） 试 问 （ 1 ） 的命 逆题 是否成立？说明理由。
M
Q(M)
性质 4： ：在阿基米德三角形 探究 4 2 2 | | PF | | FA | | FB ABP ，则 |FA||FB|与|P F| 的 关 系？
2
(1,3)
A F O
B
x 0x=p(y0+y)
x P (x 0,y0)
的 轨 迹 是 否 为 一 条 定线 直？
图2
结论：直线AB的方程为 x0 x p( y0 y) ． 2 若 弦 AB过 抛 物线 x 2 y内 一 定点 探究1： (1 ,3 ), 则 阿 基米 德 三 角 形的 点 顶 P(x0 , y0 )
y F N B
O
A
x
P
练习1.动点P是圆( x 4) y 9上
2 2
任意一点，过点P作抛 物线y 4x的
2
两条切线，切点为A, B, 弦AB的中点为 M。则直线PM与x轴 的位置关系 ( B ) A.相交 C.垂直
P
B
y
A O M
B.平行 D.无法判断
x
练 习 2 ： (0 7 .江 苏 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 x o y中 ， 过 y轴 正 方 向 上 一 点 C (0 ， c) 任 作 一 直 线 ， 与 抛 物y 线 x 相 交 于 A, B 段 AB 和 直 线:l y -c交 于 点 PQ , . y （ 1 )若 P为 线 段 AB C P
x 0x=p(y0+y)
性质2：若直线l与抛物线没有 公共点，以l上的点为顶点的 阿基米德三角形ABP的底边AB 过定点。 y
C A F
O
B x
P
例 1 ： (0 8 .山 东 如 ) 图 ， 抛 物 线 x 2 p y (p 0 ),M 为 直 线 l : y 2 p 上 任 意 一 点
源自文库
图2
性质1：若阿基米德三角形ABP 的边AB即弦AB过抛物线内定点C， 则另一顶点P的轨迹为一条直线。
y
C
A F
O
B x
P
探究3：若抛物线 x 2 py上的阿
2
基米德三角形的顶点P 在定直线 y x 1(与x 2py无公共点), 则弦AB是否过定点？
y
2
B A F O P (x 0,y0) x
由一元二次方程根与系数的关系得
的方程为 y 1 kn x,
x A( x1 , ) 2p
2 2 2 1
p y (0, ) 2F
A
x 2 py
2
B
x B( x2 , )( x1 x2 ) 2p
B
O
x
P
x1 x2 x1 x2 ( , ) 2 2p
例 2 ： (0 6 重 . 庆 .2 2 ) 如 图 .对 每 个 正 整 数 ,n A n (xn , y n )是 抛 物 线x 4y上的点，过焦点 的 F直 线 FA n 交 抛 物 线 与 另 一 点n B (sn , t n ).
的 轨 迹是 否 为 一 条定 线 直 ？y 若 弦 AB 过 抛 探究2：
物线x 2py内一定 点 (a,b) (0 , c),则 阿 基 米 德 三 角 形 的 顶 点 P (x 0, y0 )
2
(1,3)
A F O
B
x 0x=p(y0+y)
x P (x 0,y0)
的 轨 迹 是 否 为 一 条 定线 直？
2
过 M 引 抛 物 线 的 两 条线 切， 切 点 分 别 为 成等差数列.
y N
B
A O
A、 B 两 点 .求 证 ：,A M ,B 三 点 的 横 坐 标
思考：把M改 成抛物线外任 意一点，结论 仍然成立吗？
x
M
-2p
性质3：如图, ABP是阿基米德 三角形，N为抛物线弦AB中点， 则直线PN平行于抛物线的对称 轴. 2 x 2 py
(1 )试证： x nsn 4 （n 1 ）;
Bn (sn , t n ).
x 4y上
A n (xn , y n )
2
证明：（Ⅰ）对任意固定的 n 1, 因为焦点F（0,1）,所以可设直线 An Bn
y kn x 1 2 由 2 , 得 x 4kn x 4 0 x 4 y
高考题中的阿基米德三角形
回顾：过抛物线x2=2py(p>0)上的点
x0 x P(x0，y0)处的切线方程？
y
p( y0 y)
P (x 0,y0) x
思考： 方程x0 x p( y0 x yx )还 =p(y
0
F O
0+y)
可以表示什么直线？
图1
结论：过抛物线x2=2py(p>0)外一点P(x0， y0)，分别作抛物线的切线PA、PB，A、B 分别是切点，则直线AB的方程 为 x0 x p( y0 y)．
图2
结论：直线AB的方程为 x0 x p( y0 y) ． 2 若 弦 AB过 抛 物线 x 2 y内 一 定点 探究1： (1 ,3 ), 则 阿 基米 德 三 角 形的 点 顶 P(x0 , y0 )
的 轨 迹是 否 为 一 条定 线 直 ？y 若 弦 AB 过 抛 探究2：
物线x 2py内一定 点 (a,b) (0 , c),则 阿 基 米 德 三 角 形 的 顶 点 P (x 0, y0 )
y B x 0x=p(y0+y) A F O P (x 0,y0) x
由抛物线的弦与过弦的端点 阿基米德 的两条切线所围成的三角形. 三角形
y
B
阿基米德是 伟大数学家与力 学家,并享有“数 学之神”的称号。
A
F O
x
P
结论：直线AB的方程为 x0 x p( y0 y) ． 2 若 弦 AB过 抛 物线 x 2 y内 一 定点 探究1： (1 ,3 ), 则 阿 基米 德 三 角 形的 点 顶 P(x0 , y0 )
的 轨 迹是 否 为 一 条定 线 直 ？y 若 弦 AB 过 抛 探究2：
物线x 2py内一定 点 (a,b) (0 , c),则 阿 基 米 德 三 角 形 的 顶 点 P (x 0, y0 )
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(1,3)
A F O
B
x 0x=p(y0+y)
x P (x 0,y0)
的 轨 迹 是 否 为 一 条 定线 直？
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A x
O
2
两 点 ， 一 条 垂 直 于 x轴 的直线，分别与线
B
为此抛物线的切线； （ 2 ） 试 问 （ 1 ） 的命 逆题 是否成立？说明理由。
M
Q(M)
性质 4： ：在阿基米德三角形 探究 4 2 2 | | PF | | FA | | FB ABP ，则 |FA||FB|与|P F| 的 关 系？
2
(1,3)
A F O
B
x 0x=p(y0+y)
x P (x 0,y0)
的 轨 迹 是 否 为 一 条 定线 直？
图2
结论：直线AB的方程为 x0 x p( y0 y) ． 2 若 弦 AB过 抛 物线 x 2 y内 一 定点 探究1： (1 ,3 ), 则 阿 基米 德 三 角 形的 点 顶 P(x0 , y0 )
y F N B
O
A
x
P
练习1.动点P是圆( x 4) y 9上
2 2
任意一点，过点P作抛 物线y 4x的
2
两条切线，切点为A, B, 弦AB的中点为 M。则直线PM与x轴 的位置关系 ( B ) A.相交 C.垂直
P
B
y
A O M
B.平行 D.无法判断
x
练 习 2 ： (0 7 .江 苏 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 x o y中 ， 过 y轴 正 方 向 上 一 点 C (0 ， c) 任 作 一 直 线 ， 与 抛 物y 线 x 相 交 于 A, B 段 AB 和 直 线:l y -c交 于 点 PQ , . y （ 1 )若 P为 线 段 AB C P
x 0x=p(y0+y)
性质2：若直线l与抛物线没有 公共点，以l上的点为顶点的 阿基米德三角形ABP的底边AB 过定点。 y
C A F
O
B x
P
例 1 ： (0 8 .山 东 如 ) 图 ， 抛 物 线 x 2 p y (p 0 ),M 为 直 线 l : y 2 p 上 任 意 一 点
源自文库
图2
性质1：若阿基米德三角形ABP 的边AB即弦AB过抛物线内定点C， 则另一顶点P的轨迹为一条直线。
y
C
A F
O
B x
P
探究3：若抛物线 x 2 py上的阿
2
基米德三角形的顶点P 在定直线 y x 1(与x 2py无公共点), 则弦AB是否过定点？
y
2
B A F O P (x 0,y0) x
由一元二次方程根与系数的关系得
的方程为 y 1 kn x,
x A( x1 , ) 2p
2 2 2 1
p y (0, ) 2F
A
x 2 py
2
B
x B( x2 , )( x1 x2 ) 2p
B
O
x
P
x1 x2 x1 x2 ( , ) 2 2p
例 2 ： (0 6 重 . 庆 .2 2 ) 如 图 .对 每 个 正 整 数 ,n A n (xn , y n )是 抛 物 线x 4y上的点，过焦点 的 F直 线 FA n 交 抛 物 线 与 另 一 点n B (sn , t n ).
的 轨 迹是 否 为 一 条定 线 直 ？y 若 弦 AB 过 抛 探究2：
物线x 2py内一定 点 (a,b) (0 , c),则 阿 基 米 德 三 角 形 的 顶 点 P (x 0, y0 )
2
(1,3)
A F O
B
x 0x=p(y0+y)
x P (x 0,y0)
的 轨 迹 是 否 为 一 条 定线 直？
2
过 M 引 抛 物 线 的 两 条线 切， 切 点 分 别 为 成等差数列.
y N
B
A O
A、 B 两 点 .求 证 ：,A M ,B 三 点 的 横 坐 标
思考：把M改 成抛物线外任 意一点，结论 仍然成立吗？
x
M
-2p
性质3：如图, ABP是阿基米德 三角形，N为抛物线弦AB中点， 则直线PN平行于抛物线的对称 轴. 2 x 2 py