扩展卡尔曼滤波和粒子滤波算法比较

上海大学2013 ～2014学年秋季学期

研究生课程小论文

课程名称：随机信号导论课程编号：07SB17002

论文题目: 扩展卡尔曼滤波和粒子滤波算法比较

研究生姓名: 班孝坤（33%）学号: 13720843 研究生姓名: 倪晴燕（34%）学号: 13720842 研究生姓名: 许成（33%）学号: 13720840

论文评语:

成绩: 任课教师: 刘凯

评阅日期:

扩展卡尔曼滤波和粒子滤波算法比较

第一章绪论

在各种非线性滤波技术中, 扩展卡尔曼滤波是一种最简单的算法, 它将卡尔曼滤波局部线性化,适用于弱非线性、高斯环境下。卡尔曼滤波用一系列确定样本来逼近状态的后验概率密度, 适用于高斯环境下的任何非线性系统。粒子滤波用随机样本来近似状态的后验概率密度, 适用于任何非线性非高斯环境, 但有时选择的重要性分布函数与真实后验有较大差异, 从而导致滤波结果存在较大误差, 而粒子滤波正好克服了这一不足, 它先通过UKF产生重要性分布, 再运用PF 算法。通过仿真实验, 对其的性能进行比较。

严格说来,所有的系统都是非线性的,其中许多还是强非线性的。因此,非线性系统估计问题广泛存在于飞行器导航、目标跟踪及工业控制等领域中,具有重要的理论意义和广阔的应用前景。

系统的非线性往往成为困扰得到最优估计的重要因素，为此，人们提出了大量次优的近似估计方法。包括EKF,基于UT变换的卡尔曼滤波（UKF），粒子滤波，等等。

第二章 扩展卡尔曼滤波介绍

2.1 扩展卡尔曼滤波的理论（EKF ） 设非线性状态空间模型为：

11(,)(1)(,)

(2)

t t t t t t x f x v y h x n --==

式中t x R ∈和t y R ∈分别表示在t 时刻系统的状态和观测，t v R ∈和t n R ∈ 分别表示过程噪声和观测噪声，f 和h 表示非线性函数。

扩展卡尔曼滤波(Extended kalman filter,以下简称EKF)是传统非线性估计的代表,其基本思想是围绕状态估值对非线性模型进行一阶Taylor 展开,然后应用线性系统Kalman 滤波公式。

EKF 是用泰勒展开式中的一次项来对式（1）和 ( 2 ) 中的非线性函数f 和h 进行线性化处理, 即先计算f 和h 的雅克比矩阵, 然后再在标准卡尔曼滤波框架下进行递归滤波。t v 和t n 均为零均值的高斯白噪声。

2.2 扩展卡尔曼滤波的算法

EKF 的算法同KF 一样, 也可分为两步预测和更新。如图2.1所示

图2.1

2.3 扩展卡尔曼滤波的缺点

因为EKF 忽略了非线性函数泰勒展开的高阶项, 仅仅用了一阶项, 是非线性函数在局部线性化的结果, 这就给估计带来了很大误差, 所以只有当系统的状态方程和观测方程都接近线性且连续时,EKF的滤波结果才有可能接近真实值。

EKF滤波结果的好坏还与状态噪声和观测噪声的统计特性有关, 在EKF 的递推滤波过程中,状态噪声和观测噪声的协方差矩阵保持不变, 如果这两个噪声协方差矩阵估计的不够准确, 那就容易产生误差累计, 导致滤波器发散。EKF的另外一个缺点是初始状态不太好确定, 如果假设的初始状态和初始协方差误差较大, 也容易导致滤波器发散。

第三章 粒子滤波介绍

3.1 粒子滤波的理论

粒子滤波利用一系列带权值的空间随机采样的粒子来逼近后验概率密度函数，是一种基于Monte Carlo 的贝叶斯估计方法，因此它就独立于系统的模型，不受线性化误差或高斯噪声假定的限制，既可以解决EKF 因线性化带来的误差，也可以避免UKF 因非高斯的PDF 导致的误差，适用于任何环境下的任何状态和量测模型。

3.2 粒子滤波的算法

粒子滤波算法的基本步骤如下：

(1)从先验分布p(x)中采集样本z ，i 一1，⋯，N 。

(2)t 时刻，从参考分布1(,,)i i k q x x z -中采集样本i

t

x ，并计算归一化后的权

~

i

t

w

：

11

11

(|)(|)(|,)

~

i i i i i t t t t t t i i t t t i

i

t N i t

t

j p y x p x x w w q x x y w w

w ---===

∑

(3)进行重采样：用新的采样值代替，去除低权值的粒子，复制高权值的粒子。

(4)输出PDF ：1:1

1

(|)()N

i t t t

t

j p x y x x N

δ=≈

-∑

粒子滤波的两个关键问题是参考分布的选择和1(\,)k k k q x x z -重采样。 3.3 粒子滤波的缺点

粒子滤波对状态估计的好坏，在很大程度上取决于所选的参考分布与状态后验概率分布的接近程度。因此，最优的参考分布为1(\,)k k k q x x z -p(x I z 卜 ，)。但实际工程应用中，很难对其采样。

第五章实验仿真分析

为了在同种条件下比较粒子滤波和扩展卡尔曼算法性能，我们在这里共做了三组实验，并

设状态模型：

x = 0.5 * x + 25 * x / (1 + x^2) + 8 * cos(1.2*(k-1)) + w（t）观测方程：

y = x^2 / 20 +v（t）

w（t）、v（t）均服从高斯分布N（0,1）

其中x=0.1，粒子滤波的粒子数为N = 100

独立仿真次数为tf = 50

分别选取控制噪声方差Q=0.1，观测噪声方差R=0.1；Q=1，R=1；Q=10，R=10。仿真一次后，两种滤波器的估计结果的比较。

Q=0.1，R=0.1：

图5-1 EKF的估计值和真值图5-2 粒子滤波的估计值和真值

Q=1，R=1：

图5-3 EKF的估计值和真值图5-4 粒子滤波的估计值和真值