向量与三角形的五心 (1)

xy
10、已知点O为ABC的外心,且 | AC | 4,| AB | 2,
则AO BC等于(
)
A
A.2 B.4 C.6 D.8
O
C
D
B
解: 过O作OD BC于D,则D为BC中点,
AO BC (AD DO) BC AD BC
1
( AB
AC )( AC
AB)
1
(
2
AC
2
AB )
6.
2
2
N
M
G
x
y
B
C
设G为三角形的重心, AG 1 (AB AC) 1 AM 1 AN,
3
3x
3y
又 M、G、N共线, 1 1 1,即 1 1 3.
3x 3y
xy
(法3)设G为三角形的重心故AG 1 ( AB AC), A
3
MG AG AM 1 (AB AC) x AB
N
(1
A.9 B.6 C.4 D.3
解 : FA FB FC 0, F是ABC的重心,
y
D
A
B
oF
x
xA xB xC 1,
C
3
| FA | | FB | | FC |
1 xA 1 xB 1 xC 6.
B
13、在ABC中,已知A(x1, y1)、B(x2, y2 )、C(x3, y3),
P
C
O是ABC的外心,| OA || OB || OC |,即| a || b || c | .
(1) AM OM OA (a b c) a b c,
BC OC OB c b,
AM
BC
(b
c)(c
b)
2
c
2
b
|
c
|2
|
b
|2
0,
AM BC,即AM BC,同理BM AC,CM AB, 点M 是ABC的垂心.
x)
AB
1
3 AC,
M
G
B
C
3 GN
y
AC
3 AG
y
AC
1
(
AB
AC)
(
y
1)
AC
1
AB,
MG与GN共线,
MG
3
GN ,
3
3
(1 x)AB 1 AC [( y 1)AC 1 AB],
3
3
3
3
1
13 3
x 1
3
(y 1)
3
1x 3 1
3
y
1 3
1 3
x
y
3xy
0,
两边同时除以xy得 1 1 3.
则点O是ABC的( )
O•
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
A
D D B
(法2)由已知得 | OA |2 | OB |2 | CA |2 | BC |2,
过O作OD AB于D,过C作CD AB于D,
则(| OA |2 | OD |2 ) (| OB |2 | OD |2 )
(| CA |2 | CD |2 ) (| BC |2 | CD |2 ),
C
而两向量的夹角[0, ],
O在A的平分线上,
O
A
B
同理 :点O同时在ABC的三个内角平分线上,
即点O是ABC的内心.
7、设ABC的外心为O,取点M ,使OA OB OC OM ,求证 :
(1)点M 是ABC的垂心;
A
(2)此三角形的外心、重心、垂心在一直线上.
O
M G
证明: 如图,设OA a,OB b,OC c, B
同理可证 : BO平分ABC,CO平分ACB,
A
从而O是ABC的内心.
必要性, 若O为ABC的内心,
cF
E b
延长AO, BO,CO交对边于D, E, F, B 则 BD c , BF a ,
O Da C M
DC b FA b
过B作BM // OC交AD的延长线于点M ,
则 MO BF a , BM BD c ,
| BA | | BC |
(OC CA OC CB )2 0,则点O是ABC的
心.
| CA | | CB |
解 :由已知得(OA AB OA AC )2 | AB | | AC |
(OB BA OB BC )2 (OC CA OC CB )2 0,
| BA | | BC |
| CA | | CB |
C.AM BM MC
D.3AM CA
解 : 延长AM到点D使AD 3AM ,
则ABCD为平行四边形,
B
A M C
3AM AB AC,
D
AB 3AM CA.
D
6、已知点O在平面ABC内,
(OA AB OA AC )2 (OB BA OB BC )2
| AB | | AC |
3
15、已知O为ABC所在平面内一点, 满足
| OA |2 | BC |2 | OB |2 | CA |2 | OC |2 | AB |2, C
则点O是ABC的( )
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
A
O• B
解 : (法1)由已知得 | OA |2 | OB |2 | CA |2 | BC |2,
即BA (OA OB) BA(BC AC) 0,
BA(OA OB BC AC) 0.
BA 2OC 0, AB OC.
A
C
O B
A
9、已知点G为ABC的重心, 过G作直线与AB、AC
两边分别交于 M、N两点,且AM x AB, AN y AC,
则1 1
.
A
xy
M
N
G
B
C
解 : (法1)取MN平行于直线BC,
得x y 2 , 1 1 3. 3 xy
9、已知点G为ABC的重心, 过G作直线与AB、AC
两边分别交于 M、N两点,且AM x AB, AN y AC,
则1 1
.
xy
A
(法2) AM x AB, AN y AC,
AB 1 AM , AC 1 AN,
由定比分点的坐标公式可得G的 B o •G
x
坐标为x
x1
2
x2
2
x3
x1 x2 x3 ,
D
C
1 2
3
同理y y1 y2 y3 ,即点G的坐标为( x1 x2 x3 , y1 y2 y3 ).
3
3
3
(2)已知I 是ABC的内心, O是该平面内任一
点, 设a、b、c分别是A、B、C的对边,
则此三向量的终点在同一条直线上.
8、已知O是ABC所在平面内一点, 且满足
BAOA | BC |2 AB OB | AC |2,则点O(
)
A.在AB边的高所在直线上 B.在C平分线所在的直线上
C.在AB边中线所在的直线上 D.是ABC的外心
解 : BAOA | BC |2 AB OB | AC |2, BA (OA OB) (BC AC)(BC AC) 0,
OA FA b OC DC b
MO a OA, BM c OC.
b
b
在OBM中,OB BM MO 0,
OB c OC a OA 0,aOA bOB cOC 0.
b
b
12、设F为抛物线y2 4x的焦点, A, B,C为该抛物线上
三点,若FA FB FC 0,则 | FA | | FB | | FC | ( )
AG 1 AM 2 AO (1 2)AM 2 AO.
3
3
3
3
点O、G、M 三点共线,
即: 三角形的外心、重心、垂心在一条直线上(欧拉线).
注: OP (1 t)OA tOB(t R) 是三点A、B、P共线的充要条件.
即: 有公共起点的三向量a、b、c,
若c a b,且 1,
(OA OB) (OA OB) (AC BC) (AC BC),
BA (OA OB AC BC) 0, BA (2OC) 0, BAOC 0,即OC AB.
同理OA BC,OB AC. O是ABC的垂心.
15、已知O为ABC所在平面内一点, 满足
| OA |2 | BC |2 | OB |2 | CA |2 | OC |2 | AB |2, C
AI BA c b c ,
A
ID BD ca a
O
bc
I
故AI b c ID.
B
D
C
a
由向量公式OI
OA b c OD a
1 bc
aOA (b c)OD abc
,
a
将①式代入得OI aOA bOB cOC . abc
14、已知G为ABC的重心, P为平面上任一点,
求证 : PG 1 (PA PB PC). 3
即: OA AB OA AC OB BA OB BC OC CA OC CB 0, | AB | | AC | | BA| | BC | | CA| | CB |
6、已知点O在平面ABC内,
(OA AB OA AC )2 (OB BA OB BC )2
| AB | | AC |
A
求证 : OI aOA bOB cOC .
O
abc
I
证明: 连AI交BC于D,
B
D
C
AD平分BAC, BD c , (长度之比), DC b
BD c DC,
b
由定比分点向量公式知OD
OB c OC b
1 c
bOB cOC bc
①,
b
同理 : BI平分ABC,且BD ca ,
bc
即| AD |2 | BD |2 | AD |2 | BD |2,
(| AD | | BD |)(| AD | | BD |) (| AD | | BD |)(| AD | | BD |),
| AD | | BD || AD | | BD |,
5、若M 是ABC的重心, 则下列各向量中与AB共线
的是(
)
A.AB BC AC
B.AM MB BC
C.AM BM CM
D.3AM AC
解: AM BM CM 0, 应排除A、B、D.选C.
C
6、若M 是ABC的重心, 则下列各向量中与AB共线
的是(
)
A.AB BC AC
B.AM MB BC
C
11、设O为ABC所在平面内一点, A, B,C所对的 边长分别为a,b, c,则O为ABC内心的充要条件是
aOA bOB cOC 0.
A
证明:充分性:若aOA bOB cOC 0, OB OA AB,OC OA AC,
cF
B
(a b c)OA bAB c AC 0,
(1)求重心G;
yA
(2)求内心I ; (3)求外心O.
B o O•IG
x
D
C
在ABC中,已知A(x1, y1)、B(x2, y2 )、C(x3, y3), (1)求重心G;
(1)解 : D是BC的中点, D点的坐标为( x2 x3 , y2 y3 ),
2
2
AG 2, AG 2GD.
yA
GD
(2)设G为重心, 延长AG交BC于P, 连接OP,
由三角形重心的性质知: P为BC的中点, A
OP 1 (OB OC) 1 (b c),
2
2
又 G是ABC的重心,
B
O
M G
P
C
AG 2 AP 2 (OP OA) 1 (b c) 2 a,
3
3
3
3
又 AO a, AM b c,
| BA | | BC |
(OC CA OC CB )2 0,则点O是ABC的
心.
| CA | | CB |
(法1)由OA AB OA AC 0,得OA( AB AC ) 0,
| AB | | AC |
| AB | | AC |
即OA垂直于菱形的对角线EF ,
C
O在A的平分线上,
E
O
同理 :点O同时在ABC的
பைடு நூலகம்
AF
B
三个内角平分线上,即点O是ABC的内心.
(法2)由OA AB OA AC 0,得 AO AB AO AC ,
| AB | | AC |
| AB | | AC |
即AO在AB与AC方向上的投影相等, C
可知O到AB、AC的距离相等,
E O
O在ABC的平分线上,
AD
B
同理 :点O同时在ABC的三个内角平分线上, 即点O是ABC的内心.
(法3)由OA AB OA AC 0,得 AO AB AO AC ,
| AB | | AC |
| AB | | AC |
| AO | | AB | cos AO, AB | AO | | AC | cos AO, AC ,
| AB |
| AC |
cos AO, AB cos AO, AC,
证明:由力学知识可知AG GB GC
A
L
K
G
3PG PG PG PG
B
M
C
(PA AG) (PB BG) (PC CG)
(PA PB PC) ( AG BG CG)
PA PB PC 0, PG 1 (PA PB PC).
3
注 : 此命题的逆命题成立.即若G为ABC内一点, 若对平面 上任一点P,均有PG 1 (PA PB PC),则G为ABC的重心.
E b
O Da C
AO 1 (bAB c AC) bc [ AB AC ]
abc
a b c | AB | | AC |
AB 与 AC 分别为AB和AC方向上的单位向量,
| AB | | AC |
设AP AB AC ,则AP平分BAC. | AB | | AC |
又AO与AP共线, AO平分BAC.