螺旋锥齿轮真实齿面偏差修正研究
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螺旋锥齿轮真实齿面偏差修正研究
陈书涵 ① 严宏志 ② 贺尚红 ①
（ ①长沙理工大学汽车与机械工程学院 ， 湖南 长沙 410114 ； ， ②中南大学机电工程学院 湖南 长沙 410083 ） 摘
*
要： 根据传统机械式的机床结构， 运用 4 × 4 Denavit － Hartenberg 齐次变换矩阵、 齿轮啮合理论等建立 了成形法加工的螺旋锥齿轮齿面偏差识别方程 ， 提出采用截断奇异值分解法（ TSVD） 与 L 曲线法求 解识别方程， 得到机床的修正参数， 以指导六轴五联动数控螺旋锥齿轮机床的参数调整 ， 从而达到对 齿面偏差的修正。研究表明， 采用此方法修正齿面偏差效果显著， 这为提高螺旋锥齿轮的加工精度 提供了另一条有效途径。
［1 ］ 合影响 。1991 年 Litvin 教授提出了一种有别于 Gleason 公司的齿面误差补偿方法— — —函数法， 这种方法
2002 ， 18 （ 5 ） ： 13． 研究， 设计与 CAD 研究。
汽车用的准双曲面齿轮大轮采用成形法加工 ， 根 据加工原理建立如下坐标系（ 图 1 ） 来确定被加工大轮 和刀盘的相对位置： ① 固连于机床的固定坐标系 S m2 。 其原点 O m2 位于机床中心， 平面 X m2 O m2 Y m2 位于机床平 面内。加工过程中 S m2 各坐标轴的方向始终不变； ②固 连于刀盘的坐标系 S p2 。 其原点 O p2 位于铣刀盘中心， 平面 X p2 O p2 Y p2 位于刀尖平面 （ 与机床平面重合 ） 内。 V2 为垂直刀位。 此坐标系确定了 其中 H2 为水平刀位， 成形法加工时刀盘在机床中的位置； ③ 固连于被加工 大轮的坐标系 S2 。 它用来确定被加工大轮在加工机 床上的安装位置， 固连于坐标系 S m2 ， 其坐标轴 X2 ， 与 坐标系 S m2 的坐标轴 X m2 成 γ m2 角（ 齿坯安装角 ） ， γ m2 等 于大轮根锥角。通常， 准双曲面齿轮的大轮根锥顶点 和节锥顶点并不重合， 坐标系的原点 O2 和大轮的设计 交叉点是重合的。O2 O m2 = X g2 （ 轴向轮位） 。
M m2p2
3
TSVD 正则化方法及正则化参数的选取
设不适定方程 Ax = b， A ∈ R m ×n ， x ∈ Rn ， b ∈ Rm 式中的系数矩阵 A 的 TSVD 分解为
n
L m2 p2 分别是 M2m2 与 M m2 p2 去掉最 式（ 5 ） 中的 L2m2 、 后一行和最后一列而得到。 式（ 4 ） 和式（ 5 ） 是以 S 和 θ 为曲面坐标的大轮理 论齿面方程和单位法矢的矢量表达式 。 2． 2 齿面网格划分与偏差测量 在齿轮检测中心对齿面偏差进行测量， 首先要对 齿面划分网格， 对离散点进行测量。 为了使测量数据 更能全面地反映实际齿面偏离特征 ，这些离散点应均 布在齿面上。因此测量采样点要比较均匀地分布在齿 廓方向和齿长方向上。根据美国螺旋锥齿轮测量的有 ［4 ］ 关标准规定 ： 齿面网格的划分在齿长方向应小于齿 同时必须小 宽的 10% ； 在齿廓方向应小于齿宽的 5% ， 于或 等 于 0. 6 mm。 齿 面 测 量节点的密度可根据测量要 求先在齿面旋转投影面上划 分确 定， 一般是在齿长方向 取 9 列， 在齿廓方向取 5 行， 45 共 个 测 量 点。 图 4 给 出 了齿面采样点示意图。 2 ． 3 齿面偏差识别方程的建立 可以认为， 由机床制造误差等因素引起加工螺旋 锥齿轮的齿面偏差是由机床加工调整参数变化所造成 的。因此在对螺旋锥齿 轮 的 齿 面 偏 差 进 行 修 正 （ 反 可以只需对机床加工调整参数进行修正 。 调） 时， 因此， 对式（ 4 ） 进行全微分， 可得到： 4 r 2 r 2 r i （ 6） Δr i = Δθ + ΔS + ∑ Δd j θ S j = 1 d j 其中 d j （ j = 1 ～ 4 ） 分别表示机床的加工调整参数即 d1 = γ m2 、 d2 = － X g2 、 d 3 = H2 、 d4 = V2 ； 然后对式（ 6 ） 两边分 别点乘单位法向量 n2 ， 即：
［ 4］肖启敏， 肖启莉． 基于 AUTOCAD 的滚子链传动计算机辅助设计系 2006 （ 12 ） ： 79． 统［J］． 机械设计与制造， ［ 5］宋锦华， 马传琦． 用 VB 编程控制 AutoCAD 绘制模型［J］． 科技信息， 2008 （ 1 ） ： 66．
（ 编辑
孙德茂）
（ 收稿日期： 2010 － 09 － 02 ） 文章编号： 110324 如果您想发表对本文的看法， 请将文章编号填入读者意见调查表中的相应位置。
1961 年生， 第一作者： 杨松林， 男， 教授， 从事机械
* 国家自然科学基金资助项目（ 50975291 ）
· 87 ·
将齿面上 的 点 矢 量 看 作 是 机 床 调 整 参 数 的 函 数
［2 ］
。
误差识别和补偿计算是根据此矢量函数的微分表达式 来进行， 但采用最小二乘法求解， 容易使求解的机床调 整参数有可能超出机床的实际调整范围。 基于此不 足， 台湾的 Lin C Y 等提出了将机床调整参数的实际 范围作为约束条件， 采用优化的方法进行求解， 取得了 ［3 ］ 比较好的效果 。所以， 寻求齿面误差修正模型的算 法是高精度齿面偏差修正技术的关键 。 本文根据传统的机械式铣齿机， 运用 4 × 4 Denavit － Hartenberg 齐次变换矩阵、 齿轮啮合理论等建立了 螺旋锥齿轮齿面偏差识别方程， 采用截断奇异值分解 法求解， 这就避免了求解的机床调整参数有可能超出 机床的实际调整范围， 且勿须采用其他优化方法。
式中源自文库 正号对应外刀（ 大轮凹面 ） ， 负号对应内刀 （ 大轮 凸面） ； D G 为刀盘名义直径； P W 为刀顶距。
2
2． 1
齿面偏差识别方程的建立
大轮齿面理论方程的建立
②在坐标系 S2 中表示大轮刀具切削面方程： r2 （ S ， （ 4） θ） = M2m2 M m2p2 r p2
· 88 ·
关键词： 螺旋锥齿轮 齿面偏差 截断奇异值分解法 文献标识码： A 中图分类号： TH161 ； TG596
L 曲线法
修正
Research on real tooth surface deviation correction of spiral bevel gear
CHEN Shuhan ① ，YAN Hongzhi ② ， HE Shanghong ① （ ①School of Automotive and Mechanical Engineering，Changsha University of Science and Technology，Changsha 410114 ，CHN； ②School of Mechanical and Electronical Engineering，Central South University，Changsha 410083 ，CHN） Abstract： According to the structure of traditional mechanical machine，the tooth surface deviation identification model of forming method processing spiral bevel gear is established by the 4 × 4 Denavit － Hartenberg homogeneous transformation matrix，the gear meshing theory and so on． The interruption singular value resolution （ TSVD） and the L curve law are proposed to solve identification equation and the machine revision parameters are obtained to adjust the parameter of 6 － axis 5 － linkage numerical control spiral bevel gear machine，and the deviation of tooth surface is revised． The results show that the remarkable effect on revision deviation of tooth surface to use the method． This study offers another efficient path for improving machining precision of spiral bevel gear． Keywords： Spiral Bevel Gear； Tooth Surface’ s Deviation； TSVD； L Curve Law ； Revision 螺旋锥齿轮是一种重要的传动部件 。其齿面结构 极其复杂， 精度要求高。目前在螺旋锥齿轮的加工中， 通常是通过修正（ 反调） 技术来调整机床的加工参数， 以便提高齿面加工精度。 Gleason 公司先计算理论与 实际齿面之间的差曲面拟合方程的特征参数 ， 然后根 据特征参数来计算机床调整参数的修正量 。这种补偿 方法要考虑每一项特征参数修正对齿面形状的综合影 响， 而 Gleason 公司却没有对外公布如何处理这种综
大轮 齿 面 是 由 刀 具 的 切 削 面 经 过 Denavit － Hartenberg 齐次变换矩阵转换而成。 在成形法加工过 程中， 刀盘绕自身的轴线 Z p2 旋转， 形成两个切削锥面， 在图 1 所示的坐标系模型下可转换出大轮的齿面方 程。大轮的齿面方程及法线建立如下所示 ： ①在坐标系 S p2 中建立大轮刀具切削面 （ 锥面 ） 方 程及其法线方程， 如图 2 所示。 （ r c + S·sinα） cosθ （ r + S·sinα） sinθ r p2 （ S， θ） = c － S · cos α 1 刀具表面的单位法线矢量为： T n p2 = ［－ cosαcosθ － cosαsinθ － sinα］
4
（ m ≥ n） （ 9 ）
［5 ］
A = U∑ V T =
T σi ui vi ∑ i =1
（ 5）
由于齿面的法向偏差应该等于由测量系统所测量 的偏差， 即可得到一组超定线性方程组， 这就是齿面偏 如式（ 8 ） 所示。 差识别方程， 4 r i （ Δd ） ·n i = Δb i ∑ dj j j =1
M2m2
（ 8）
此方程也为不适定方程组。 通过求解上述方程， 得到机床调整参数的变化量， 从而达到对齿面偏差的 修正。
n2 = L2m2 L m2p2 n p2 式（ 4 ） 中： cosγ m2 0 = － sinγ m2 0 1 0 = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 sinγ m2 0 cosγ m2 0 H2 V2 0 1 － X g2 0 0 1
（ 1）
（ 2）
1
成形法加工大轮坐标系的建立
S 和 θ 是曲面坐标； α 为刀盘齿形角， 这里， 对于内刀 （ 加工大轮的凸面 ） 取为正值； 对于外刀 （ 加工大轮凹 面） 取为负值。 按照这样的规定， 大轮齿面法线的方 ； 向为由空间指向大轮的实体 刀尖半径 r c （ 在 X p2 O p2 Y p2 平面内度量） ， 见图 3 所示： rc = 0 ． 5 DG ± 0 ． 5 PW （ 3）
陈书涵 ① 严宏志 ② 贺尚红 ①
（ ①长沙理工大学汽车与机械工程学院 ， 湖南 长沙 410114 ； ， ②中南大学机电工程学院 湖南 长沙 410083 ） 摘
*
要： 根据传统机械式的机床结构， 运用 4 × 4 Denavit － Hartenberg 齐次变换矩阵、 齿轮啮合理论等建立 了成形法加工的螺旋锥齿轮齿面偏差识别方程 ， 提出采用截断奇异值分解法（ TSVD） 与 L 曲线法求 解识别方程， 得到机床的修正参数， 以指导六轴五联动数控螺旋锥齿轮机床的参数调整 ， 从而达到对 齿面偏差的修正。研究表明， 采用此方法修正齿面偏差效果显著， 这为提高螺旋锥齿轮的加工精度 提供了另一条有效途径。
［1 ］ 合影响 。1991 年 Litvin 教授提出了一种有别于 Gleason 公司的齿面误差补偿方法— — —函数法， 这种方法
2002 ， 18 （ 5 ） ： 13． 研究， 设计与 CAD 研究。
汽车用的准双曲面齿轮大轮采用成形法加工 ， 根 据加工原理建立如下坐标系（ 图 1 ） 来确定被加工大轮 和刀盘的相对位置： ① 固连于机床的固定坐标系 S m2 。 其原点 O m2 位于机床中心， 平面 X m2 O m2 Y m2 位于机床平 面内。加工过程中 S m2 各坐标轴的方向始终不变； ②固 连于刀盘的坐标系 S p2 。 其原点 O p2 位于铣刀盘中心， 平面 X p2 O p2 Y p2 位于刀尖平面 （ 与机床平面重合 ） 内。 V2 为垂直刀位。 此坐标系确定了 其中 H2 为水平刀位， 成形法加工时刀盘在机床中的位置； ③ 固连于被加工 大轮的坐标系 S2 。 它用来确定被加工大轮在加工机 床上的安装位置， 固连于坐标系 S m2 ， 其坐标轴 X2 ， 与 坐标系 S m2 的坐标轴 X m2 成 γ m2 角（ 齿坯安装角 ） ， γ m2 等 于大轮根锥角。通常， 准双曲面齿轮的大轮根锥顶点 和节锥顶点并不重合， 坐标系的原点 O2 和大轮的设计 交叉点是重合的。O2 O m2 = X g2 （ 轴向轮位） 。
M m2p2
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TSVD 正则化方法及正则化参数的选取
设不适定方程 Ax = b， A ∈ R m ×n ， x ∈ Rn ， b ∈ Rm 式中的系数矩阵 A 的 TSVD 分解为
n
L m2 p2 分别是 M2m2 与 M m2 p2 去掉最 式（ 5 ） 中的 L2m2 、 后一行和最后一列而得到。 式（ 4 ） 和式（ 5 ） 是以 S 和 θ 为曲面坐标的大轮理 论齿面方程和单位法矢的矢量表达式 。 2． 2 齿面网格划分与偏差测量 在齿轮检测中心对齿面偏差进行测量， 首先要对 齿面划分网格， 对离散点进行测量。 为了使测量数据 更能全面地反映实际齿面偏离特征 ，这些离散点应均 布在齿面上。因此测量采样点要比较均匀地分布在齿 廓方向和齿长方向上。根据美国螺旋锥齿轮测量的有 ［4 ］ 关标准规定 ： 齿面网格的划分在齿长方向应小于齿 同时必须小 宽的 10% ； 在齿廓方向应小于齿宽的 5% ， 于或 等 于 0. 6 mm。 齿 面 测 量节点的密度可根据测量要 求先在齿面旋转投影面上划 分确 定， 一般是在齿长方向 取 9 列， 在齿廓方向取 5 行， 45 共 个 测 量 点。 图 4 给 出 了齿面采样点示意图。 2 ． 3 齿面偏差识别方程的建立 可以认为， 由机床制造误差等因素引起加工螺旋 锥齿轮的齿面偏差是由机床加工调整参数变化所造成 的。因此在对螺旋锥齿 轮 的 齿 面 偏 差 进 行 修 正 （ 反 可以只需对机床加工调整参数进行修正 。 调） 时， 因此， 对式（ 4 ） 进行全微分， 可得到： 4 r 2 r 2 r i （ 6） Δr i = Δθ + ΔS + ∑ Δd j θ S j = 1 d j 其中 d j （ j = 1 ～ 4 ） 分别表示机床的加工调整参数即 d1 = γ m2 、 d2 = － X g2 、 d 3 = H2 、 d4 = V2 ； 然后对式（ 6 ） 两边分 别点乘单位法向量 n2 ， 即：
［ 4］肖启敏， 肖启莉． 基于 AUTOCAD 的滚子链传动计算机辅助设计系 2006 （ 12 ） ： 79． 统［J］． 机械设计与制造， ［ 5］宋锦华， 马传琦． 用 VB 编程控制 AutoCAD 绘制模型［J］． 科技信息， 2008 （ 1 ） ： 66．
（ 编辑
孙德茂）
（ 收稿日期： 2010 － 09 － 02 ） 文章编号： 110324 如果您想发表对本文的看法， 请将文章编号填入读者意见调查表中的相应位置。
1961 年生， 第一作者： 杨松林， 男， 教授， 从事机械
* 国家自然科学基金资助项目（ 50975291 ）
· 87 ·
将齿面上 的 点 矢 量 看 作 是 机 床 调 整 参 数 的 函 数
［2 ］
。
误差识别和补偿计算是根据此矢量函数的微分表达式 来进行， 但采用最小二乘法求解， 容易使求解的机床调 整参数有可能超出机床的实际调整范围。 基于此不 足， 台湾的 Lin C Y 等提出了将机床调整参数的实际 范围作为约束条件， 采用优化的方法进行求解， 取得了 ［3 ］ 比较好的效果 。所以， 寻求齿面误差修正模型的算 法是高精度齿面偏差修正技术的关键 。 本文根据传统的机械式铣齿机， 运用 4 × 4 Denavit － Hartenberg 齐次变换矩阵、 齿轮啮合理论等建立了 螺旋锥齿轮齿面偏差识别方程， 采用截断奇异值分解 法求解， 这就避免了求解的机床调整参数有可能超出 机床的实际调整范围， 且勿须采用其他优化方法。
式中源自文库 正号对应外刀（ 大轮凹面 ） ， 负号对应内刀 （ 大轮 凸面） ； D G 为刀盘名义直径； P W 为刀顶距。
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2． 1
齿面偏差识别方程的建立
大轮齿面理论方程的建立
②在坐标系 S2 中表示大轮刀具切削面方程： r2 （ S ， （ 4） θ） = M2m2 M m2p2 r p2
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关键词： 螺旋锥齿轮 齿面偏差 截断奇异值分解法 文献标识码： A 中图分类号： TH161 ； TG596
L 曲线法
修正
Research on real tooth surface deviation correction of spiral bevel gear
CHEN Shuhan ① ，YAN Hongzhi ② ， HE Shanghong ① （ ①School of Automotive and Mechanical Engineering，Changsha University of Science and Technology，Changsha 410114 ，CHN； ②School of Mechanical and Electronical Engineering，Central South University，Changsha 410083 ，CHN） Abstract： According to the structure of traditional mechanical machine，the tooth surface deviation identification model of forming method processing spiral bevel gear is established by the 4 × 4 Denavit － Hartenberg homogeneous transformation matrix，the gear meshing theory and so on． The interruption singular value resolution （ TSVD） and the L curve law are proposed to solve identification equation and the machine revision parameters are obtained to adjust the parameter of 6 － axis 5 － linkage numerical control spiral bevel gear machine，and the deviation of tooth surface is revised． The results show that the remarkable effect on revision deviation of tooth surface to use the method． This study offers another efficient path for improving machining precision of spiral bevel gear． Keywords： Spiral Bevel Gear； Tooth Surface’ s Deviation； TSVD； L Curve Law ； Revision 螺旋锥齿轮是一种重要的传动部件 。其齿面结构 极其复杂， 精度要求高。目前在螺旋锥齿轮的加工中， 通常是通过修正（ 反调） 技术来调整机床的加工参数， 以便提高齿面加工精度。 Gleason 公司先计算理论与 实际齿面之间的差曲面拟合方程的特征参数 ， 然后根 据特征参数来计算机床调整参数的修正量 。这种补偿 方法要考虑每一项特征参数修正对齿面形状的综合影 响， 而 Gleason 公司却没有对外公布如何处理这种综
大轮 齿 面 是 由 刀 具 的 切 削 面 经 过 Denavit － Hartenberg 齐次变换矩阵转换而成。 在成形法加工过 程中， 刀盘绕自身的轴线 Z p2 旋转， 形成两个切削锥面， 在图 1 所示的坐标系模型下可转换出大轮的齿面方 程。大轮的齿面方程及法线建立如下所示 ： ①在坐标系 S p2 中建立大轮刀具切削面 （ 锥面 ） 方 程及其法线方程， 如图 2 所示。 （ r c + S·sinα） cosθ （ r + S·sinα） sinθ r p2 （ S， θ） = c － S · cos α 1 刀具表面的单位法线矢量为： T n p2 = ［－ cosαcosθ － cosαsinθ － sinα］
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（ m ≥ n） （ 9 ）
［5 ］
A = U∑ V T =
T σi ui vi ∑ i =1
（ 5）
由于齿面的法向偏差应该等于由测量系统所测量 的偏差， 即可得到一组超定线性方程组， 这就是齿面偏 如式（ 8 ） 所示。 差识别方程， 4 r i （ Δd ） ·n i = Δb i ∑ dj j j =1
M2m2
（ 8）
此方程也为不适定方程组。 通过求解上述方程， 得到机床调整参数的变化量， 从而达到对齿面偏差的 修正。
n2 = L2m2 L m2p2 n p2 式（ 4 ） 中： cosγ m2 0 = － sinγ m2 0 1 0 = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 sinγ m2 0 cosγ m2 0 H2 V2 0 1 － X g2 0 0 1
（ 1）
（ 2）
1
成形法加工大轮坐标系的建立
S 和 θ 是曲面坐标； α 为刀盘齿形角， 这里， 对于内刀 （ 加工大轮的凸面 ） 取为正值； 对于外刀 （ 加工大轮凹 面） 取为负值。 按照这样的规定， 大轮齿面法线的方 ； 向为由空间指向大轮的实体 刀尖半径 r c （ 在 X p2 O p2 Y p2 平面内度量） ， 见图 3 所示： rc = 0 ． 5 DG ± 0 ． 5 PW （ 3）