变形预测常用方法(研究生)

确定变形体的变形大小和规律与变形原因之间的关 系的基本方法为：统计分析法、确定函数法和混 合模型法。 统计分析法依赖于数学处理，主要包括回归分析法、 时间序列分析模型、灰色系统分析模型、人工神 经网络模型、Kalmam滤波模型、频谱分析法等 方法。 确定函数法和混合模型法是以有限元法等计算不同 荷载下的效应量，并研究计算效应量与实测值的 拟合问题。
（2）当样本 n 30 时，如果置信度100（1-a）%，则置信区 间为： ˆ t c0 S y ˆ t c0 S ) (y
2 2
§3.5
时间序列分析模型
无论是按时间序列排列的观测数据还是按空间位置 顺序排列的观测数据，变形的数据之间都或多或少 地存在统计自相关现象。然而长期以来，变形数据 分析与处理的方法都是假设观测数据是统计上独立 或互不相关的，如回归分析法等。这类统计方法是 一种静态的数据处理方法，从严格意义上说，它不 能直接应用于所考虑的数据是统计相关的情况。
3.3

线性回归模型的பைடு நூலகம்计分布和统计性质
2 2 0 0
四、 ˆ 是 的无偏估计量 已知
vT v

2 0
~ x 2 (n (m 1))
2
vT v 2 ˆ 0 ) E( E ( ) 0 n (m 1)
3.4
回归模型检验
回归模型建立后，能否用模型进行预测，还需要进行模型 检验。常用的统计检验方法有：标准离差检验、相关系数 检验、显著性检验和随机性检验。 1、标准离差检验 标准离差S用来检验回归模型的精度，其计算公式如下：
§3.5
时间序列分析模型
时间序列分析是20世纪20年代后期开始出现的一种 现代数据处理方法，是系统辨识与系统分析的重 要方法之一，是一种动态的数据处理方法。 时间序列分析的特点在于：逐次的观测值通常是不 独立的，且分析必须考虑到观测资料的时间顺序， 当逐次观测值相关时，未来数值可以由过去的观 测资料来预测，可以利用观测数据之间的自相关 性建立相应的数学模型来描述客观现象的动态特 征。
T T
T T T T
F T x GT

这是无偏性条件方程
3.3

线性回归模型的统计分布和统计性质
T

ˆ 的方差为：D(G ˆ ) F D( y ) F F F 线性函数 G ˆ 是无偏的而具有方差最小性，就必须在满 如果 ˆ 的方差最小，即求条 足无偏条件 F x G 下， G 件极值的问题。 式中变量为F，故有 F F 2K (F x G ) min
上式是点预测，下面介绍区间预测。 1、计算标准差 1 n 2 S ( yi yi ) n 2 i 1 2、确定置信区间
3.4
回归模型检验
（1）当样本 n 30 时，如果置信度100（1-a）%，则置信 区间为： ˆ t S y ˆ t S ) (y
2 2
i
多项式趋势模型应用： 任一连续函数都可以用分段的多项式来逼近，所以 在实际问题中，不论变量与其它变量的关系如何， 在相当宽的范围内，总可以用多项式的模型来拟 合比较复杂的曲线。 采用多项式模型进行拟合，多项式中的阶数n其实 事先并不知道。很多具体应用时，为图省事有直 接取n=4或n=5。比较科学的方法采用对n添项增 加的建模法。 一般情况下，模型刚添项时，模型误差有显著的下 降，但添加到一定的阶数后，模型的残差平方和 已无显著的变化，表明拟合的多项式已基本接近 需要的阶数。
x12 x 22 xN 2
x1 p x2 p x Np
回归系数为
( 0 , 1 , 2 ,, p )T
3.2
回归分析法
多元线性回归模型
ˆ 由最小二乘法可求得回归系数的估值
T 1 T ˆ ( x x) x y
由回归系数的估值可求得回归方程：
T 1 T
( x x ) x x
T 1 T
3.3

线性回归模型的统计分布和统计性质

ˆ 的最优线性无偏估计 三、是 ˆ 的任意线 设线性回归模型的最优线性无偏估计 ˆ 是 的无偏估计，必 ˆ F y 。如果 性函数为 G 有 ˆ ) F E ( y ) F x G E (G 则下列等式必须成立：
§3.5
时间序列分析模型
时间序列分析模型与回归分析模型的根本区别在于：
回归模型可以描述随机变量与其他变量之间的相关关系。但 是，对于一组随机观测数据，即一个时间序列的观测值， 它却不能描述其内部的相关关系；另一方面，实际上，某 些随机过程与另一些变量的取值之间的随机关系往往根本 无法用任何函数关系式来描述。这时，需要采用这个随机 过程本身的观测数据之间的依赖关系来揭示这个随机过程 的规律性。 后续观测值与前期的时间序列观测值是序列中不同时刻的随 机变量，彼此相互关联，带有记忆性和继续性，是一种动 态的数据模型。
ˆx ˆ y
3.3

线性回归模型的统计分布和统计性质
一、y, ˆ, y ˆ , v 均为正态分布 在线性回归模型中，观测值 y 服从正态分布即： ˆ, y ˆ , v 都是 y 的线性函数，故 y ~ N ( E( y), D( y)) 由于 ˆ, y ˆ , v 也都是服从正态分布。即有
ˆ ~ N ( E ( ˆ ), D( ˆ )) ˆ ~ N (E( y ˆ ), D( y ˆ )) y v ~ N ( E (v), D(v))

式中
E(v) 0
3.3
线性回归模型的统计分布和统计性质
ˆ 是 的无偏估计 二、
E ( y ) E ( x ) E ( ) x T 1 T ˆ E ( ) E[( x x ) x y ] ( x x) x E ( y )
3.2
回归分析法
一、线性回归分析
实际中， 变形值与变形因素之间的关系并非
都是线性的， 常呈现曲线关系， 另外，影响变形 值的因素是多方面的。 为此，需要解决一个变量 与多个因子之间的相关关系，而且，许多因子对
变量的影响还是非线性关系。
3.2
回归分析法
对于非线性关系，我们可以通过变量的变换转化
为线性问题。例如，多项式关系
1 n 2 S ( yi yi ) n 2 i 1 从上式可以看到，S反映了回归模型所得到的估值与实际值之 差的平均误差，所以希望的值越小越好，一般要求
S 10 % ~ 15 % y
3.4
回归模型检验
2、相关系数检验 相关系数r用来检验两个变量之间的线性相关的显著程度，其计 n 算公式为 ( x x )( y y )
§3.5
时间序列分析模型
一、平稳时间序列分析模型 时间序列分析的基本思想是对于平稳、正态、零均值的时间 x (t ) ) 序列 x(t，若 的取值不仅与其前 n步的各个取值 x(t 1) 、x(t 2) 、 x(t 3) x(t n ) 有关，而且还与 m步的各个干 a(t 1) 、 a(t 2) 、 a(t 3)a(t 有关，则按多元线性回归的思 m) 扰 想，可得到自回归滑动平均模型（ARMA）
Yi f (t， ) i
f ( t， ) i Y 式中， 为预测对象； 预测误差； 根据不同 情况和假设，可取不同的形式，而其中的 代表 某些待定的参数，为时间。 t
i
3.1 曲线拟合 几类典型的趋势模型： 多项式趋势模型 Yi a0 a1t a2t 2 ant n Yi a b ln t 对数趋势模型 幂函数趋势模型 Yi atb bt Y ae 指数趋势模型 i 双曲线趋势模型 Yi a b / t Yi L aebt 修正指数模型 L Y i 逻辑斯蒂（Logistic）模型 (1 e bt ) 龚伯茨（Gompertz）模型 Y L exp[e t ], 0, 0
回归分析是变形分析中应用最多的一种方法，广泛 应用于变形测量数据处理的数理统计中。 回归分析法中主要有曲线拟合、多元线性回归分析、 逐步回归计算等方法。
3.1 曲线拟合
曲线拟合是趋势分析方法中的一种，又称曲线回归、 趋势外推或趋势曲线分析，是迄今为止研究最多， 也最为流行的定量预测方法。 可用各种光滑曲线来近似描述事物发展的基本趋势， 即：
3.4
回归模型检验
3、显著性检验（方差分析法） F检验用来检验y与x之间是否存在显著性线性相关。F的计算 公式为：
S回 r2 F S残 (1 r 2 ) /(n 2) n2
其中：
ˆi y)2 S回 ( y
i 1 n
n
ˆi )2 S 残 ( yi y
i 1
第三章 变形预测常用方法
1、监测曲线形态判断法 2、监测数据线性回归分析法 3、监测数据非线性曲线预测模型 4、监测数据时间序列预测模型 5、监测数据的灰色系统预测方法 6、监测预测的神经网络模型
变形预测常用方法
随着现代科学技术的发展和计算机应用水平的提高， 各种理论和方法为变形分析和变形预报提供了广 泛的研究途径。 因变形体变形机理的复杂性和多样性，对变形分析 与建模理论和方法的研究，需结合地质、力学和 水文等相关学科的信息和方法，引入数学、数字 信号处理、系统科学及非线性科学的理论，采用 数学模型来逼近、模拟和揭示变形体的变形规律 和动态特征，为工程设计和灾害防治提供科学的 依据。
DW

i 2
i
i 1

i 1
n
2 i
（2）选择显著水平，查DW检验表 （3）判断。
3.4
回归模型检验
5、回归模型的预测和置信区间的计算 模型经过以上的检验并通过后，即可预测。在例【5-1】中 x01 2.0和x02 2.5 ，当变量 时，因变量分别为：
ˆ 01 27 .6870 24 .862 2 22 .04 y ˆ 02 27 .6870 24 .862 2.5 34 .47 y
y a0 a1 x a2 x an x
2
n
应用变量变换
z1 x, z 2 x ,, z n x
2
n
转化成线性关系
y a0 a1 z1 a2 z 2 an z n
3.2
回归分析法
由于许多非线性问题转化线性问题来解决，
因此，我们所需解决的问题可看成是一个变量与
r

i 1
i
i
( x x) ( y y)
2 i 1 i i 1 i
n
n

M xy
2
M xx M yy
当 r 1时，实际值完全落在回归直线上，y与x有完全的线性关系 当 0 r 1 时，y与x有一定的线性正相关关系。 当 1 r 0 时， y与x有一定的线性负相关关系。 当 r 0 时，说明y与x之间不存在线性关关系。 也就是说，只有当 r 接近1时，才能用一元线性回归预测模型描 述y与x之间的关系。
3.4
回归模型检验
4、随机性检验 随机性检验即序列相关检验，序列相关是指同一变量前后期 之间的相关关系。对于一元回归模型
i 为随机误差，回归模型的统计特征有一个假设，即是互不 i 相关。如果这个假设不能满足，就称 是相关的，反之独 n 立（1）计算DW值 ( ) 2
yi a bx i
T T 2 T
T
T
T
T
T
T
T
2 F T 2 K T x T 0 K T x T x G T K ( x T x) 1 G 则有 F T T T 1 T T T T 1 F G ( x x ) x G G ( x x ) x T T T F K x ˆ ( x T x) 1 x T y ˆ 是 的最优估计量 所以
多个变量之间的线性相关问题，即多元线性回归
问题。
多元线性回归的中心问题是：
确定对变量影响的因子及它们之间的关系
运用最小二乘法求回归方程中的回归系数
3.2
回归分析法
多元线性回归模型
y x
其中，设有N个变形量： y ( y1 , y2 ,, y N )T 有p个影响因子：
1 x11 1 x 21 x 1 x N 1