最优风险资产组合(投资学,上海财经大学)

短期投资决策
• 第一年投资于风险组合， 第二年投资于无风险组合 。
结论：投资较小比例于风险资产组合并 持有较长时间要优于将较大比例资金投 资于短期风险资产，而后剩余期限将资 金投资于无风险资产。
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• 我们可以比较最优风险组合和其他组合的在险 价值与预期损失，如果某个组合的值比最优低 的话，我们可能倾向于这一组合。
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三、风险集合、风险共享与长期投资风险 （一）风险集合和保险原理
• 风险集合：互不相关的风险项目聚合在一起来 降低风险。 – 通过增加额外的不相关资产来增加风险投资 的规模。
• 保险原理：让风险增长速度低于不相关风险资 产数量的增长速度。
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（三）资本配置和分离特性
• 每个人都投资于P，而不考虑他们的风险厌恶 程度。
– 大多数风险厌恶者更多的投资于无风险资 产。
– 少数的风险厌恶者在P上投资的更多。
• 分离特性阐明组合决策问题可以分为两个独立 的步骤。
– 决定最优风险组合，这是完全技术性的工 作。
– 整个投资组合在无风险短期国库券和风险
2 P
12
n
n 1 Cov n
• 由于Cov=ρσ2，当ρ=0时，组合方差在n变大wk.baidu.com趋
于0；当ρ＞0时，组合方差为正；当ρ=1时，不
论n如何，组合方差=σ2 （说明此时分散化没有意
义）。
• （注意：所有证券之间不可能出现ρ都是-1 ）
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（五）最优组合和非正态收益
• 在肥尾分布下，在险价值和预期损失值会特别 高，我们应该适当减少风险组合的配置。
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（二）风险共享
• 随着风险资产增加到资产组合中, 一部分资产 需要被卖掉以保持固定的投资比例（风险投资 比例不变）。
投资于多种风险资产，但是风险资产比例保持不 变，这才是真正的分散化。（具体数学计算请 同学自学P142）
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（三）长期投资比短期投资更安全吗？
长期投资决策
• 投资于一项两年期的风险 组合 – 长期投资决策的风险更 大， “时间分散化” 并不是真正的分散化
第七章 最优风险资产组合
一、分散化和组合风险 （一）投资决策
• 决策过程可以划分为自上而下的3步： 1. 风险资产与无风险资产之间的资本配置 2. 各类资产间的配置 3. 每类资产内部的证券选择
2
（二）投资组合风险构成
• 市场风险 – 系统性风险或不可分散风险
• 公司特有风险 – 非系统风险或可分散风险
• 随着相关系数接近于-1，降低风险的可能性 也在增大。
– 如果 = +1.0，不会分散任何风险。. – 如果 = 0， σP 可能低于任何一个资产的标准差
。 – 如果 = -1.0， 可以出现完全对冲的情况。
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马科维茨关于 不同风险厌恶程度的最佳资产选择
无差异曲线
中度风险厌恶 P
有效边界
轻度风险厌恶 RA
2 p
w1212
w22
2 2
w32
2 3
2w1w21,2 2w1w31,3 2w2w3 2,3
10
图7.3 组合期望收益关于投资比例的函数 （根据教材P130表7-3的数据）
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图7.4 组合标准差关于投资比例的函数 （亦根据教材P130表7-3的数据）
12
图 7.5 组合期望收益关于标准差的函数
P128图7.1 组合风险关于股票数量的函数
3
图 7.2 组合分散化
4
（三）协方差和相关性
• 投资组合的风险取决于投资各组合中资产收 益率的相关性。
• 协方差和相关系数提供了衡量两种资产收益 变化的方式。
• 协方差被用于揭示一个由两种证券构成的资 产组合中这两种证券未来可能收益率之间的 相互关系。
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图 7.8 决定最优组合
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二、马科维茨资产组合选择模型
（一）证券选择 – 第一步是决定风险收益机会。 – 所有最小方差边界上最小方差组合上方的 点提供最优的风险和收益。
– 图7.10 风险资产的最小方差边界
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（二）寻找报酬-波动性比率最高的资本 配置线
图 7.11 风险资产有效边界和最优资本配置线
• 1、协方差计算公式
n
ij Covij Pt[Rit E(Ri )][Rjt E(Rj )] t 1
5
2、两个资产构成的资产组合: 收益
w r w r rp
DD
EE
rP Portfolio Return 资产组合的收益率
wD Bond Weight 债券的权重
rD Bond Return 债券的收益率 wE Equity Weight 股票的权重
2 A
x2 2 BB
• 若ρ=-1（完全负相关），则：
p x A A xB B
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• 第一种情况下投资组合风险是A、B两种股票风险 的加权平均，没有增减风险。
• 第二种情况减少了风险，因为从公式看开方后其 值小于第一种情况。
• 第三种情况大大降低了风险，甚至完全回避，只 要有XA/ XB=σB/ σA。
组合之间的配置，取决于个人偏好。
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（四）分散化的威力
• 回忆:
nn
2 P
wiwjCov(ri , rj )
i1 j1
• 如果我们定义平均方差和平均协方差为（假设等权
重）:
2
1 n
n
2 i
i 1
Cov 1 n
n(n 1) j1
n
Cov(ri , rj )
i 1
ji
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• 可以得出组合的方差:
rE Equity Return 股票的收益率
E(rp ) wD E(rD ) wE E(rE )
6
3、两个资产构成的资产组合: 风险
2 p
wD2
2 D
wE2
2 E
2wDwECov
rD, rE
2 D
= 资产D的方差
2 E
=资产E的方差
CovrD , rE =资产D和资产E收益率的协方差
组合方差的另一种表达方式:
2 P
wDwDCov(rD , rD )
wEwECov(rE , rE )
2wDwECov(rD , rE )
7
4、协方差用相关系数的表达 Cov(rD,rE) = DEDE D,E = 收益率的相关系数
D =资产D收益率的标准差 E =资产E收益率的标准差
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5、相关系数可能的值
• 当相关系数是 -1时， 最小方差组合的标准差可 以是0.
（下面补充资料说明这一问题：）
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• 若有两个股票A、B的投资组合，其风险为：
2 p
xA2
2 A
xB2
2 B
2xAxB AB A B
• 若ρ=1（完全正相关），则：
p xA A xB B
• 若ρ=0（完全不相关），则：
p
2
x A2
预期价格变动
1,2值的范围
+ 1.0 > > -1.0
时间
如果 = 1.0, 资产间完全正 相关，即不受相关性影响， 组合风险是加权平均值。
如果 = - 1.0, 资产间完全 负相关，可以对冲，后面证 明。
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（四）三种资产的组合
E(rp ) w1E(r1) w2E(r2 ) w3E(r3)
高度风险厌恶Q
0
B
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（六）股票和债券的资产配置
图 7.6 债券和股权基金的投资可行集和两条资本 配置线（显然，B比A好）
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（七）夏普比率
• 使资本组合P的资本配置线的斜率最大化。
• 斜率的目标方程是:
SP
E(rP )
P
rf
• 这个斜率就是夏普比率。
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图 7.7 债券和股权基金的投资可行集、 最优资本配置线和最优风险资产组合
• 以上分析说明：（1）投资组合有风险分散效应； （2）可行集形状（如图，解释见下页）。
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• 若有A、B两个股票，则可行组合在其连线 上，并视ρ的值而为直线、折线或曲线。若 有A、B、C三个股票，则可行组合一般为 一区域。
•
ρ=1
•
ρ= -1
A
•
A
•
Z
C
•
B
•
B
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相关效应的结论：
• 资产相关性越小，分散化就更有效，组合风 险也就越低。
• 对于任意一对投资比例w股和w债，可以从图 7.3得到期望收益，从图7.4得到标准差，将 两者结合起来，得到图7.5。
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（五）最小方差组合
• w股=1和w债=1是两个未分散化的点（即全股和 全债），最小方差组合的标准差可以小于全股 和全债的标准差。这显示了分散化的效果。
• 当相关系数小于 +1时， 资产组合的标准差可以 是任何单个组合资产标准差最小的。