第6章条件异方差模型

[例6.1]上证综指日收盘价波动性的ARCH效应检验 6.1]上证综指日收盘价波动性的 上证综指日收盘价波动性的ARCH效应检验 样本期：2000年1月4日~2005年12月7日 ~2005年12月 样本期：2000年 样本容量：1523 样本容量： 处理方式：价格序列取对数；求对数收益率 处理方式：价格序列取对数； 结论： 结论： （1）对数价格序列为一单位根过程： 对数价格序列为一单位根过程： ln(sp)t = γln(sp)t-1+ ut γln(sp) （2）残差序列ut存在ARCH效应。 残差序列u 存在ARCH效应 效应。 （3）对数收益率序列ret=ln(spt/spt-1)为一平稳过程 对数收益率序列re rt = µt + νt （4）残差序列νt亦存在ARCH效应 残差序列ν 亦存在ARCH效应
u t = σ t ε t , ε t ~ N ( 0 ,1)
σ
2 t
=ω+
∑α
j =1
p
j
u
2 t− j
ω > 0 , α j ≥ 0 , ( j = 1,... p )
• ARCH模型的意义： ARCH模型的意义 模型的意义： • 通过对过去p期非预期的回报(µt)的平方的移 通过对过去p期非预期的回报( 动平均来捕获回报序列的条件异方差性。 动平均来捕获回报序列的条件异方差性。 • 如果在今天之前的的第m期（m≤p），无论 如果在今天之前的的第m ≤p）， ），无论 市场向哪个方向作了大幅度的运动， 市场向哪个方向作了大幅度的运动，都会使 得今天的条件方差增加， 得今天的条件方差增加，意味着今天的市场 更有可能出现大幅度的运动。 更有可能出现大幅度的运动。 • ARCH模型的局限性： ARCH模型的局限性 模型的局限性： 在实际应用中为得到较好的拟合效果 常需要很大的阶数p 导致： 常需要很大的阶数p，导致： • 增大待估计参数的个数； 增大待估计参数的个数； • 引起多重共线等问题。 引起多重共线等问题。
模 型 特 点
σ = ω + αu
2 t
2 t −1
+ βσ
2 t −1
回报系数<0.25 回报系数<0.25
滞后系数>0.7 滞后系数>0.7
☆ 参数α和β的大小决定了波动序列的形状： 参数α 的大小决定了波动序列 形状： 波动序列的
(1)大的滞后系数β意味着对条件方差 冲击经过相 (1)大的滞后系数β意味着对条件方差的冲击经过相 大的滞后系数 条件方差的 波动是 当长一段时间才会消失，因此波动 持续的 当长一段时间才会消失，因此波动是持续的； (2)大的回报系数α意味着波动性对市场运动反应 (2)大的回报系数α意味着波动性对市场运动反应迅 大的回报系数 波动性对市场运动反应迅 因此波动性 长而尖的 波动性是 速，因此波动性是长而尖的。
§6-1 自回归条件异方差模型
• 异方差的定义
– 如果随机误差序列的方差会随着时间的变化 而变化，这种情况被称作为异方差。 而变化，这种情况被称作为异方差。
Var (ε t ) = σ = h(t )
2 t
• 异方差的影响
– 忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严 忽视异方差的存在会导致残差的方差 方差会被严 低估，继而参数显著性检验容易犯纳伪 参数显著性检验容易犯纳伪错 重低估，继而参数显著性检验容易犯纳伪错 这使得参数的显著性检验失去意义， 误，这使得参数的显著性检验失去意义，最 终导致模型的拟合精度受影响。 拟合精度受影响 终导致模型的拟合精度受影响。
6.1.2 GARCH模型 GARCH模型
(Bollerslev1987年提出 (Bollerslev1987年提出) 年提出)
一、使用场合
– ARCH模型适用于异方差函数短期自相关过程 ARCH模型适用于异方差函数短期自相关过程 – GARCH模型适用于异方差函数长期自相关过程 GARCH模型适用于异方差函数长期自相关过程
检验回归式： ˆ 检验回归式： u
2 t
= β 0 + ( ∑ β s u t2− s ) + ε t
i =1
p
输出结果： 输出结果：
F 统计量：检验残差平方滞后项的联合显著性。 统计量：检验残差平方滞后项的联合显著性。 T×R2统计量~χ2(p） 统计量~ (p）
2. 残差平方相关图（ACF、PACF） 残差平方相关图 ACF、PACF） 相关图（
二、GARCH模型结构 GARCH模型结构
y t = γ 1 x1t + γ 2 x 2 t , ⋯ + γ k x kt + u t 或： y t = x t γ + u t
——均值方程 ——均值方程
σ t2 = ω + ∑ α i u t2− i + ∑ β jσ t2− j
i =1 j =1
p
q
—条件方差方程
ARCH项 ARCH项
GARCH项 GARCH项
• GARCH(p,q)模型等价于ARCH(∞)模型，但待估 GARCH(p,q)模型等价于 模型等价于ARCH(∞)模型 模型， 计参数大幅度减少。 计参数大幅度减少。 • GARCH(1,1)是实际中最常见的模型，它只有一个 GARCH(1,1)是实际中最常见的模型， 是实际中最常见的模型 滞后的非预期回报平方项和一个自回归项。 滞后的非预期回报平方项和一个自回归项。
• 异方差处理方法 (1) 假如已知异方差函数具体形式，进 假如已知异方差函数具体形式， 已知异方差函数具体形式 行方差齐性变化。 行方差齐性变化。 – 常用变换：对数变换 常用变换： (2) 假如不知异方差函数的具体形式， 假如不知异方差函数的具体形式， 不知异方差函数的具体形式 拟合条件异方差模型。 条件异方差模型 拟合条件异方差模型。 • ARCH模型 模型 • GARCH模型 模型 • GARCH模型的变体 模型的变体 – EGARCH模型 模型 – TARCH模型 模型 – GARCH-M模型 模型 – CARCH模型 模型
2. Student’s t 分布下GARCH(1,1)模型： Student’ 分布下GARCH(1,1)模型 模型：
yt = µt +σ tTt q p σ 2 =ω+∑α u2 + ∑β σ 2 i t −i j t-j t i=1 j=1 T Γ(ν +1 ) ut2 ν +1 T -1 ln L(θ ) = Tlog{ 2 (ν -2) 2}− (1/ 2) log(σ 2 )∑ t 2 ∑[1+ σ 2 (ν − 2)] π Γ(ν 2) i=1 i=1 t ut = yt − µt
6.1.4 ARCH效应的检验 (是否存在条件异方差) ARCH效应的检验 是否存在条件异方差) 1. ARCH LM Test（Views/Residual Test/…） Test（ Test/…）
ARCH本身不能使标准的 本身不能使标准的OLS估计无效， 估计无效， 本身不能使标准的 估计无效 但忽视ARCH影响可能导致有效性降低。 影响可能导致有效性降低。 但忽视 影响可能导致有效性降低 H0：残差序列中直到 阶 残差序列中直到p阶 都不存在ARCH效应 都不存在 效应
yt = x t γ + ρ ⋅ σ + u t
2 t
σ t2 = ω + ∑ α i u t2− i
i =1
p
• GARCH-M模型 GARCH-
yt = x t γ + ρ ⋅ σ + u t
2 t
σ = ω + ∑ α iu
2 t i =1
p
2 t −i
+ ∑ β jσ
j =1
q
源自文库
2 t− j
GARCH- 模型的两种变型： GARCH-M模型的两种变型：
y t = x t γ + ρ ⋅ σ t + u t ......(1)
6.1.1 ARCH模型 ARCH模型
（Engle1982提出） Engle1982提出 提出）
假定： µ ~ N (0, σ 2 ) 假定： t t • 原理 – 通过构造残差平方序列的自回归模型来 拟合异方差函数
y t = f ( t , x1 t , x 2 t , ⋯ ) + u t
• ARCH(q) 模型结构 条件方差 非负约束
☆ 常数项ω决定了波动性的长期平均水平。 常数项ω决定了波动性 长期平均水平。 波动性的
三、残差不同分布假设下的GARCH(1,1)模型 残差不同分布假设下的GARCH(1,1)模型 1. 残差正态分布下： 残差正态分布下：
yt = µt + σ t zt q p σ 2 =ω+ α u2 + β σ 2 ∑ i t−i ∑ j t-j t i=1 j=1 T 1 T 2 ln L(θ ) = −(T / 2)log(2π ) − (1/ 2) log(σ 2 )∑ t 2 ∑ut /σ t i=1 i=1 ut = yt − µt
6.1.5 GARCH-M模型 GARCH具有较高可观测到 金融理论表明—— 金融理论表明—— 的风险的资产可获 得更高的平均收益 Why？ Why？ 人们一般认为金融资产的收益应当与其风 险成正比，风险越大，预期收益就越高。 险成正比，风险越大，预期收益就越高。 ARCH- 模型(Engle,Lilien,Robins,1987) ARCH-M模型(Engle,Lilien,Robins,1987)
Γ(·）——γ函数，ν——自由度 ——γ函数， ——自由度
3. 广义误差分布(GED)下的GARCH(1,1)模型 广义误差分布(GED)下的 下的GARCH(1,1)模型
yt = µt + σ t (GED)t
2 σ t2 =ω+∑αiut2−i + ∑β jσ t-j i=1 j=1 q p
ν T ut 1 logν 1 2 ln L(θ ) = ∑ − - logσ t + 1 2 Γ(1/ν ) 2 Γ(1/ν ) 1+ν t =1 σ t 2−2/ν 2−2/ν 2 Γ(1/ν ) Γ(3/ν ) Γ(3/ν ) ut = yt − µt
(Views/Residual Test/ Correlogram Squared Residuals
判断准则： 判断准则： 1. 如果残差序列不存在ARCH效应，自相关 如果残差序列不存在ARCH效应， 效应 系数和偏自相关系数在所有的滞后阶数均 系数和偏自相关系数在所有的滞后阶数均 应为0 统计量不显著 不显著。 应为0，且Q统计量不显著。 即：ACF、PACF均在置信区间内， ACF、PACF均在置信区间内 均在置信区间内， Q 统计量的p 值 > 0.05 统计量的p 2. 反之，则说明残差序列存在ARCH效应。 反之，则说明残差序列存在ARCH效应 残差序列存在 效应。
第六章 条件异方差模型
1.自回归条件异方差模型 自回归条件异方差模型 GARCH模型 模型 2.非对称的 非对称的ARCH模型 非对称的 模型 3.成分 成分ARCH模型 模型 成分
金融时序的基本特征： 金融时序的基本特征：
• 回报序列的实际分布呈现“尖峰、细腰、厚尾”特征； 回报序列的实际分布呈现“尖峰、细腰、厚尾”特征； • 回报的波动性呈现出集聚性和爆发性。 回报的波动性呈现出集聚性 爆发性。 波动性呈现出集聚性和 • 金融市场尤其是股票市场，价格运动与波动性负相关， 负相关， 金融市场尤其是股票市场，价格运动与波动性负相关 的回报比正的回报导致更大 条件方差， 更大的 即负的回报比正的回报导致更大的条件方差，这种现象 被称为“杠杆作用” 被称为“杠杆作用”）； • 回报的波动性表现出持久性，即对波动性的冲击要持续 回报的波动性表现出持久性 持久性， 一段时间才会消失； 一段时间才会消失； • 回报的波动性受金融资产期限长短的影响，并且，随着 回报的波动性受金融资产期限长短的影响，并且， 时间的推移， 时间的推移，波动性呈现出向某个长期水平收敛的趋势 ，即出现“均值回复”现象。 即出现“均值回复”现象。 • 回报序列呈现出明显的自相关性，有时尽管回报序列本 回报序列呈现出明显的自相关性 自相关性， 身不相关，但它的平方序列是相关的， 身不相关，但它的平方序列是相关的，且比回报序列显 著得多。 著得多。