高考数学专题练习-函数模型及其应用

高考数学专题练习-函数模型及其应用

一、填空题

1．给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型．下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号).

x 4 5 6 7 8 9 10 y

15

17

19

21

23

25

27

【答案】①

【解析】根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．

2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是________(填序号)．

【答案】①

3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．

【答案】10

【解析】设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，

B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，

当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15

，

t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15

－20＝10.

4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.

【答案】20

【解析】设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y

40

，解得y ＝40－x ，所

以面积S ＝x (40－x )＝－x 2

＋40x ＝－(x －20)2

＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400. 5．(·长春模拟)一个容器装有细沙a cm 3

，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，

t min 后剩余的细沙量为 y ＝a e －bt (cm 3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经

过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 【答案】16

6．A ，B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出．A 从甲地自东向西行驶．B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 km h ，B 的速度是 16 km h ，经过________h ，AB 间的距离最短．

【答案】25

8

【解析】设经过x h ，A ，B 相距为y km ，则y ＝

145－40x

2

＋16x

2

＝

1 856t 2－11 600t ＋1452

(0≤x ≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258

.

7．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________． 【答案】10

【解析】设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y ，则x 年后的设备维护费用

为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)，所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x x ＋1x ＝x ＋100

x

＋

1.5，由基本不等式得y ＝x ＋100

x

＋1.5≥2

x ·

100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100

x

，即x

＝10时取等号．

8．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是________(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)． 【答案】2019

二、解答题

9．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO 1是正四棱锥的高PO 1的4倍．

(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？

(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)V ＝13×62×2＋62×2×4＝312(m 3

)．

(2)设PO 1＝x ，

则O 1B 1＝62

－x 2

，B 1C 1＝2·62

－x 2

， ∴SA 1B 1C 1D 1＝2(62

－x 2

)，

又由题意可得下面正四棱柱的高为4x .

则仓库容积V ＝13x ·2(62－x 2)＋2(62－x 2

)·4x ＝

26

3

x (36－x 2)．

由V ′＝0得x ＝23或x ＝－23(舍去)． 由实际意义知V 在x ＝23(m)时取到最大值， 故当PO 1＝2 3 m 时，仓库容积最大．

10．(·南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 2

5－48x ＋8 000，已知此生产线年产

量最大为210吨．

(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；

(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

能力提升题组

11．(·南京调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a 个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x 个标段和n 个道路交叉口，其中n 与x 满足n ＝ax ＋5.已知新建一个标段的造价为m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍．