不等式放缩技巧十法
不等式放缩技巧十法标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
第六章 不等式
第二节 不等式放缩技巧十法
证明不等式，其基本方法参阅<数学是怎样学好的>(下册)有关章节.这里以数列型不等式的证明为例说明证明不等式的一个关键问题: 不等式的放缩技巧。
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下十种：
一 利用重要不等式放缩
1. 均值不等式法
例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证
.2)1(2)1(2
+<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=
2
1
21)1(+=++<
+ (1 1∑∑==+<<∴n k n n k k S k ， 即.2 )1(22)1(2)1(2 +<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 2b a ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(2 1 +> ++=+<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 n a a n a a a a a a n n n n n n 2 2111111++≤ ++≤≤++ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例2 已知函数bx a x f 211)(?+= ，若5 4)1(= f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2 1 21)()2()1(1-+ >++++n n n f f f [简析] 411 ()11(0)141422x x x x f x x ==->-≠++? 1 (1)()(1)22 f f n ?++>- ?211 (1)(1)2222n +- ++- ?? 1111111(1).42 222 n n n n -+=-++ + =+- 例3 求证),1(2 2 1321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 简析 不等式左边123 n n n n n C C C C ++++=12222112-++++=-n n n n n 122221-?????> =2 1 2 -?n n ， 故原结论成立. 【例4】已知22 2121n a a a ++ +=，22 2 121n x x x ++ +=， 求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 【解析】使用均值不等式即可：因为22 (,)2 x y xy x y R +≤∈，所以有 222222 1122 1122222n n n n a x a x a x a x a x a x +++++ +≤++ + 22 2 22 2121211 1.2 2 22 n n a a a x x x ++++++=+ = += 其实，上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++ 2211的最大值。本题还可以 推广为： 若22212n p a a a +++=，222 12(,0)n q p q x x x +++=>， 试求n n x a x a x a +++ 2211的最大值。 请分析下述求法：因为22(,)2 x y xy x y R +≤∈，所以有 222222 1122 1122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++ 222222 1212.222n n a a a x x x p q +++++++=+= 故n n x a x a x a +++ 2211的最大值为2p q +，且此时有(1,2, ,)k k a x k n ==。 上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“＝”的条件是 (1,2, ,)k k a x k n ==，即必须有221 1 n n k k k k a x ===∑ ∑，即只有p=q 时才成立！ 那么，p q ≠呢其实例6的方法照样可用，只需做稍稍变形转化： 222222122 2 2 2 1, 1, () () () () n n p q q q a x x x + =+ ++ = 则有 1122n n n n a x a x a x ++ += 222 2 22122 2 2 2 )( )] ()() () ()n n pq p q q q a x x x ≤ + ++ ++ = 于是，1122max ()n n a x a x a x +++= 1,2, ,). k n == 结合其结构特征，还可构造向量求解：设1212(,, ,),(,,,)n n m a a a n x x x ==， 则 由||||||m n m n ?≤立刻得解： 22 222 2 11221212||.n n n n a x a x a x a a a x x x pq ++ +≤++ +++ += 且取“＝”的充要条件是：12 12n n x x x a a a == 。 特别提醒:上述题目可是我们课本上的原题啊!只是我们做了少许的推广而已! 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 21 1()5 11)(3 11)(11(+>-+ +++n n 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质 )0,0(>>>++>m a b m a m b a b 可得 >-??122563412n n =+??n n 212674523 )12(212654321+?-??n n n ?12)1 225 6 3412(2 +>-??n n n 即.12)1 21 1()511)(311)(11(+>-++++n n 法2 利用贝努利不等式)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+* x x n N n nx x n 的一个特 例1 21 21)1211(2-?+>-+ k k (此处121,2-==k x n )得 =-+∏?-+>-+=)1211(12121 21 11k k k k n k .121 21 21+=-+∏=n k k n k 注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是： 证明.13)231 1()711)(411)(11(3+>-+ +++n n (可考虑用贝努利不等式3=n 的特例) 例6 已知函数.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤ n a n x f x x x x 给定 求证：)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 [简析] 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（Cauchy ）不等式∑∑∑===≤n i i n i i n i i i b a b a 1 21 22 1 ])([的简捷证法： ?>)(2)2(x f x f >?+-++++n n a n x x x x 2222)1(321lg n n a n x x x x ?+-++++)1(321lg 2 2 ])1(321[x x x x n a n ?+-++++? ])1(321[2222x x x x n a n n ?+-++++?< 而由Cauchy 不等式得2))1(1312111(x x x x n a n ?+-?++?+?+? ?++<)11(22 ])1(321[22222x x x x n a n ?+-++++ (0=x 时取等号)