线性代数 第3讲 中国人民大学 吴赣昌PPT课件

31
2
4 (1)
40
3
5132 (1) 200 2
9 17.09.2020
从上述解题过程可以看出, 用高斯消元法解线
性方程组的具体做法是对方程组反复施行下 列三种变换: 用一个非零常数乘某一个方程, 简称倍乘初等 变换; 把某个方程乘以常数再加到另一个方程上, 简 称为倍加初等变换; 互换两个方程的位置, 简称为互换初等变换. 这三种变换称为方程组的初等变换. 可证明方
5x1 3x2 x3 20x4 2
(2.1)
2 2 0 6 2
2
1
2
4
2
3 1 4 4 3
5
3
1
20
2
11
17.09.2020
2 2 0 6 2 1 2 1 2 4 2 2 3 1 4 4 3 3 5 3 1 20 2 4
1 1 0 3 1 1 1 122 1 2 4 2 2
3 1 4 4 3 3 5 3 1 20 2 4
12 17.09.2020
1 1 0 3 1 1
2
1 2
4
2
2
3 1 4 4 3 3
5
3
1
20
2
4
1 1 0 3 1 1
423 111(( (235 )))00
1 2
2 2 4 5
0 0
2 3
0 2 1 5 3 4
13 17.09.2020
1 1 0 3 1 1
0
1
2 2
0
2
0 2 4 5 0 3
0 2 1
5
3
4
1 1 0 3 1 1
43 22 (( 22))00
1 0
2 2 0 0 1 0
2 3
0 0 3 9 3 4
14 17.09.2020
1 1 0 3 1 1
0 1
2
2
0
2
0 0 0 1 0 3
0 0 3 9
3
4
34 3 (( 411) /3) 100
1 1 0
0 2 1
线性代数第3讲
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1 17.09.2020
2.1 高斯消元法
2 17.09.2020
在实际应用中计算机采用的解线性方程组并 不用克莱姆法则，而是采用高斯消元法。 高斯消元法其实就是中学里学的加减消元法 的推广，现在我们将其用在m个方程n个未知 元的一般情况。 消元法的基本思想是通过消元变形把方程组 化成容易求解的同解方程组。 下面举例说明。
8 17.09.2020
2x1 2x2 6x4 2
2x1 x2 2x3 4x4 2 3x1 x2 4x3 4x4 3
5x1 3x2 x3 20x4 2
(2.1)
将结果(1,2,1,0)回代到方程(2.1)中验算:
21 22
60 2
21 2 2(1) 40 2
程组经初等变换后得到的方程组是原方程组 的同解方程组.任何一个方程组都可经上述初 等变换化成容易求解的同解阶梯形方程组17..09.201200
在计算机中解方程组(2.1)是将方程组保存为 一个矩形数表, 称之为方程的增广矩阵
2x1 2x2 6x4 2
2x1 x2 2x3 4x4 2 3x1 x2 4x3 4x4 3
2 x 2 x3 5 x 4 3
5 17.09.2020
x1 x2 3 x4 1
x2 2 x3 2 x4 0 2 x2 4 x3 5x4 0
2 x 2 x3 5 x 4 3
将第2个方程乘(2)加到第3,4个方程上
x1 x2 3 x4 1
x2 2 x3 2 x4 0 x4 0
3 17.09.2020
例1 解线性方程组
2x1 2x2 6x4 2
2x1 x2 2x3 4x4 2 3x1 x2 4x3 4x4 3
5x1 3x2 x3 20x4 2
解 将第一个方程乘1/2, 得
(2.1)
4 17.09.2020
x1 x2 3x4 1
a1n b1
a2n
b2
(2.4)
amn
1 1 0 0 1 1
0
1
20
0
2
0 0 1 0 1 3
0
0
01
0
4
1 1 0 0 1 1
2 3 (2 )0 1 0 0 2 2 0 0 1 0 1 3 0 0 0 1 0 4
17 17.09.2020
1 1 0 0 1 1
0
1
00
2
2
0 0 1 0 1 3
0
0
01
0
4
1 0 0 0 1 1
2 x1 x2 2 x3 4 x4 2 3x1 x2 4 x3 4 x4 3
5x1 3 x2 x3 20 x4 2
将第1个方程乘(2),(3),(5)分别加到2,3,4个
方程上, 得
x1 x2 3 x4 1
x2 2 x3 2 x4 0 2 x2 4 x3 5x4 0
x4 0
7 17.09.2020
x1 x2 3x4 1
x2 2x3 2x4 0 x3 3x4 1
x4 0
(2.2)
由(2.2)易知x4=0, 将其代入第3方程得x31,再 回代前两个方程, 分别得x2=2, x1=1. 所以(1,2, 1,0)是原方程组(2.1)的解. 形如(2.2)的方程组称为阶梯形线性方程组.
3 2 3
1 0 1
1 2 3
0 0 0 1 0 4
15 17.09.2020
1 1 0 3 1 1
0
1
2 2
0
2
0 0 1 3 1 3
0 0 0 1
0
4
1 1 0 0 1 1
1 3 2444 (323 )00
1 0
2 0 0 1 0 1
2 3
0 0 0 1 0 4
16 17.09.2020
3x3 9 x4 3
6 17.09.2020
x1 x2 3 x4 1
x2 2 x3 2 x4 0 x4 0
3x3 9 x4 3
再将第3,4方程乘(1),(1/3),并交换位置
x1 x2 3 x4 1
x2 2 x3 2 x4 0 x3 3x4 1
1 210 1 0 0
2
2
0 0 1 0 1 3
0 0 0 1
0
4
18 17.09.2020
线性方程组
a11x1 a12x2
a21x1
a22
x2
am1x1 am2x2
a1nxn b1 a2nxn b2 (2.3)
amnxn bm
可用一张矩形数表
a11 a12
Hale Waihona Puke Baidu
a21
a22
am1 am2