数字控制器的设计方法

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于是S平面上的直线 s j (Ω从 到 到Z平面是一个用下式描述的圆:
1 1 [Re( z ) ]2 [Im( z )]2 ( ) 2 2 2
1 上式是一个圆心在 Re( z ) 2
)映射
处,半径为 3.2(a)所示,从图中可以看出平面轴在Z平面上的映 像,除 T 值极小情况外,均在单位圆内。
1 z 1 后向差分s 将使频率响应产生畸变。这一点可 T
从平面的轴在Z平面上的映射可以看出。当 s j 时, 1 1 1 jT 1 z (1 ) (1 e 2 jtg T ) 1 jT 2 1 jT 2
1
11
取的实部与虚部:
1 cos(2tg 1T ) Re (z ) 2 2 1 sin( tg T ) 2 Im (z ) 2
则离散化校正装臵为: An A1 A2 D( z ) a1T 1 a 2T 1 a nT 1 1 e z 1 e z 1 e z
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Z变换的特点: 1. D(z ) 与 D(s ) 的脉冲响应相同; 2.如果 D(s ) 是稳定的,则 D(z ) 也稳定; 3.D(z )不能保持 D(s ) 的频率响应,频谱以 s 进行延伸; 4. D(z ) 将 s 的整数倍的信号,变换为Z平面上同一频率 点,所以出现了混迭现象( s 为采样角频率); 5.如果 D(s ) 是一个复杂的传递函数,则其Z变换很可能无 法在一般Z变换表中查到,这时需要进行部分分式展开 在设计中所需要的高频部分出现频率混迭问题。为了 解决这一问题,可以在 D(s ) 上串联一个低通滤波器 H (s ) , 从而使 D(s ) 转化为新的控制器。
U ( z)
K p ( A1 A2 z
1 1
A3 z )
1 de u k p (e edt Td ) u0 Ti 0 dt
t
微分环节的加入,可以在误差出现或变化瞬间,按 偏差变化的趋向进行控制。它引进一个早期的修正作 用,有助于增加系统的稳定性。微分时间常数Td 的增 加即微分作用的增加,将有助于加速系统的动态响应, 使系统超调减少,系统趋于稳定。但微分作用有可能 放大系统的噪声,减低系统的抗干扰能力。理想的微 分器是不能物理实现的,必须要采用适当的方式近似。
于是得出后向差分变换式:
1 z 1 s 或 T
1 z 1 sT
1 z 1 s T
D( z ) D( s ) |
10
例如: D( s ) a
sa
1 z 1 s T
a D( z ) sa
aT 1 aT z 1

1 ui ( ui 1 aTe i ) 1 aT
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则离散化的PID控制规律为:
1 u (k ) k p [e(k ) Ti

e(k ) e(k 1) ] u0 e(i)T Td T i 0
k
上式表示的控制算法提供了执行机构的位置所以称为PID 位置控制算法。 k

这种算式中有一累加项 eiT ,随着时间k的增加,累加 i 0 的项次也依次增加,不利于计算机计算。另外,如果由于 某种干扰因素导致u(k)为某一极限值时,被控对象的输出 也将作大幅度的剧烈变化,由此可能导致严重的事故。就 其原因,位置式算式存在以上缺陷的主要原因是它所给出 的只是当前控制量的大小,与此前时刻控制量的大小却完 全不相关。为此,有必要改进上述算法。
A1
A2
A3
26
增量式PID算法与位置式PID算法的比较: 两者本质相同,只是前者需要使用有 1、计算机只输出增量,误动作时影响小, 必要时可增设逻辑保护; 2、手动/自动切换时冲击小; 3、算式不需要累加,只需记住四个历史
附加积分作用的执行机构。但有如下优点:
数据,即e(k-2),e(k-1), e(k)和u(k-1),
1 2 的圆,如图
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由此可得后向差分的性质是: (1)使用方便,而且不要求传递函数的因式分解; (2)一个稳定的 D(s ) 变换为一个稳定的 D(z ) ; (3)D(z ) 不能保持 D(s ) 的脉冲与频率响应。
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前向差分:
de ei 1 ei dt T
z 1 s 或 z 1 sT T
当 s j 时, z 1 jT 表明其映射为截于单位圆上 的一点且平行于纵轴的一条直线,如图3.2(b)所示。 由此可知,S平面jΩ的轴在Z平面上的映像除ΩT的极 小值外,均在单位圆外,因此这种方法将不利于控制 器的稳定性。
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4.双线性变换法
根据z变换定义:
ze
展成级数:
Ts
e Ts / 2 e
D1 ( s) H ( s) D( s)
增加采样角频率
s ,使 s
远高于控制器的截止频率。
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2.带有零阶保持器的Z变换法

在原线性系统的基础上串联一个虚拟的零阶保持器, 再进行Z变换从而得到 D(s) 的离散化模型 D(z)
1 e sT D( z ) Z [ D( s )] s
4
3.2 模拟控制器的离散化
表征模拟校正装臵的重要参数是: ①极点与零点的数目;
②频带宽度与截止频率;
③DC增益;
④相位裕度;
⑤增益裕度、超调量、闭环频率响应峰值等。 在选择模拟控制器的离散化方法时,首先必须明 白对离散化控制算法有何要求,以保证模拟校正装 臵的主要特性能得到保持。
5

模拟控制器的离散化的主要方法 1. Z变化法 2. 带有零阶保持器的Z变换法 3. 差分变换法 4. 双线性变换法
第三章

常规数字控Βιβλιοθήκη Baidu器的设计


数字控制器的设计方法分类 模拟控制器的离散化 数字PID控制 最少拍数字控制系统的设计 最少拍无纹波控制系统设计 最少拍控制系统的改进 达林算法
1
3.1
数字控制器的设计方法分类
按其设计特点分为二大类: 1.模拟化设计方法一般可按以下步骤进行: 第一步:用连续系统理论确定; 第二步:用合适的离散化方法由求出; 第三步:检查系统性能是否满足设计要求; 第四步:将变为差分方程或状态空间方程,并编写计算机程序。 需要时可运用混合仿真的方法检查系统的设计与程序编制 是否正确。
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(1)比例调节器
控制规律: u
k pe u0
根据误差进行调节,使系统沿着减小误差的方向运动。
误差大则控制作用也大。比例调节器一般不能消除稳 态误差。增大KP可以加快系统的响应速度及减少稳态 误差。但过大的KP有可能加大系统超调,产生振荡,
以至于系统不稳定。
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(2)比例积分调节器 控制规律:
ei
D( z ) D( s ) |
ui-ui-1
s
2 ( 1 z 1 ) T ( 1 z 1 )
i
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各种离散化方法的比较
A.本茨和M.普里斯勒通过对图3.5所示的位臵随动系统的模 拟化设计进行研究,得出如下研究结论: (1)最好的离散化方法是双线性变换法,该方法对低采样频 率的结构也很好; (2)如果增益是惟一的性能标准的话,则匹配Z变换法的效果 比双线性的效果更好一些; (3)采用频率曲折法可以保持系统临界频率的位臵,但不能 保持系统的增益和相位。 (4)如果模拟控制器中一个极点或零点的位臵远离我们所感 兴趣的频率以外,则该极点或零点可以不考虑。
加保持器的Z变换法的特点是: (1)如果D(s)是稳定的,D(z)则也稳定; (2)如果D(s)是一个复杂的传递函数,其Z变换很可能 无法在一般Z变换表中查到,这里需要进行部分分式展 开; (3)由于串联了零阶保持器,D(z)不能保持D(s) 的脉 冲响应和频率响应。
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3.差分变换法(又称数值积分法)
占用内存少,计算方便,不易引起误差累 积。
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数字PID控制算法程序框图
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PID控制规律的脉冲传递函数形式
u(k ) K p [( Ae(k ) A2e(k 1) A3e(k 2))] 1
两边求z变换,并注意到
u(k ) u(k ) u(k 1) ,得
U ( z) z 1U ( z) K p [(A1 E( z) A2 z 1 E( z) A3 z 2 E( z))]
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1. Z变化法
Z变换法就是在D(z)与D(s)之间建立的一种映射 关系( z e Ts ),这种映射关系保证模拟控制器的脉
冲响应的采样值与数字控制器的输出相同。
U ( s) D( s ) E( s)
将D(s)写成部分分式的形式:
An A1 A2 D( s ) s a1 s a2 s an
Ts / 2
e
Ts / 2
(Ts / 2)2 (Ts / 2)3 1 Ts / 2 ... 1 Ts / 2 2! 3!
同理:
e
Ts / 2
1 Ts / 2
1 Ts / 2 得双线性变换公式 : z 1 Ts / 2
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双线性变换公式可以进行实s传递函数与z传递函数相互 转换,转换公式如下:
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3.3
数字PID控制
3.3.1 理想微分PID控制 设系统的误差为e(t),则模拟PID控制规律为
1 u(t ) K p [e(t ) Ti
de(t ) 0 e(t )dt Td dt ]
t
它所对应的连续时间系统传递函数为
U ( s) 1 K p [1 Td s] E( s) Ti s
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在很多控制系统中,由于执行机构是采用步进电 机或多圈电位器进行控制的,所以,只要给出一个增 量信号即可。

写出K-1的输出值:
1 k 1 e(k 1) e(k 2) u(k 1) k p [e(k 1) e(i)T Td ] u0 Ti i 0 T
上两式相减得PID增量式控制算法
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PID控制器连续时间系统传递函数
U ( s) 1 K p [1 Td s] E( s) Ti s
微分 积分
比例
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PID模拟控制器的离散化

用矩形法来计算数值积分:
e( )d e(i)T
0

t
k
i 0
用后向差分来代替微分:
de (t ) e(k ) e(k 1) dt T
1 u k p (e edt ) u0 Ti 0
t
积分调节的引入,可以消除或减少控制系统的稳态
误差。但是积分的引人,有可能使系统的响应变慢,
并有可能使系统不稳定。增加Ti即减少积分作用,有 利于增加系统的稳定性,减少超调,但系统静态误差 的消除也随之变慢。
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(3)PID调节器 控制规律:

差分变换法将微分方程离散化为差分方程,最后求z传递函数。 即变量的导数用有限差分来近似地等效,从而得到一个逼近 给定微分方程的差分方程,其中最简单的差分变换是用后向 差分或前向差分代替一阶导数。 后向差分
de ei ei 1 dt T
du ui ui 1 dt T
由 s
lnz 可得 T
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u (k ) u (k ) u (k 1) Td T k p {e(k ) e(k 1) e(k ) [e(k ) 2e(k 1) e(k 2)]} Ti T k pTd 2Td T Td k p (1 )e(k ) k p (1 )e(k 1) e ( k 2) Ti T T T
2
2.离散化设计方法 首先用适当的离散化方法将连续部分(如图所 示的保持器和被控对象)离散化,使整个系统完全 变成离散系统,然后用离散控制系统的设计方法来 设计数字控制器,最后用计算机实现控制功能。
3
3.两种方法的比较 模拟化设计方法可引用成熟的经典设计理论 和方法。但在“离散”处理时,系统的动态特性 会因采样周期的增加而改变,甚至导致闭环系统 的不稳定。 离散化设计方法运用的数学工具是Z变换与离 散状态空间分析法。这种方法是一种直接数字设 计方法,不仅更具有一般性,而且稳定性好、精 度高。相对而言有时称为精确法。需要注意的是, 该法的精确性仅限于线性范围内以及采样点上才 成立。
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