数字控制器的设计方法

于是S平面上的直线 s j (Ω从 到 到Z平面是一个用下式描述的圆：
1 1 [Re( z ) ]2 [Im( z )]2 ( ) 2 2 2
1 上式是一个圆心在 Re( z ) 2
)映射
处，半径为 3．2(a)所示，从图中可以看出平面轴在Z平面上的映 像，除 T 值极小情况外，均在单位圆内。
1 z 1 后向差分s 将使频率响应产生畸变。这一点可 T
从平面的轴在Z平面上的映射可以看出。当 s j 时， 1 1 1 jT 1 z (1 ) (1 e 2 jtg T ) 1 jT 2 1 jT 2
1
11
取的实部与虚部：
1 cos(2tg 1T ) Re (z ) 2 2 1 sin( tg T ) 2 Im (z ) 2
则离散化校正装臵为： An A1 A2 D( z ) a1T 1 a 2T 1 a nT 1 1 e z 1 e z 1 e z
7
Z变换的特点： 1． D(z ) 与 D(s ) 的脉冲响应相同； 2．如果 D(s ) 是稳定的，则 D(z ) 也稳定； 3．D(z )不能保持 D(s ) 的频率响应，频谱以 s 进行延伸； 4． D(z ) 将 s 的整数倍的信号，变换为Z平面上同一频率 点，所以出现了混迭现象( s 为采样角频率)； 5．如果 D(s ) 是一个复杂的传递函数，则其Z变换很可能无 法在一般Z变换表中查到，这时需要进行部分分式展开 在设计中所需要的高频部分出现频率混迭问题。为了 解决这一问题,可以在 D(s ) 上串联一个低通滤波器 H (s ) ， 从而使 D(s ) 转化为新的控制器。
U ( z)
K p ( A1 A2 z
1 1
A3 z )
1 de u k p (e edt Td ) u0 Ti 0 dt
t
微分环节的加入，可以在误差出现或变化瞬间，按 偏差变化的趋向进行控制。它引进一个早期的修正作 用，有助于增加系统的稳定性。微分时间常数Td 的增 加即微分作用的增加，将有助于加速系统的动态响应， 使系统超调减少，系统趋于稳定。但微分作用有可能 放大系统的噪声，减低系统的抗干扰能力。理想的微 分器是不能物理实现的，必须要采用适当的方式近似。
于是得出后向差分变换式：
1 z 1 s 或 T
1 z 1 sT
1 z 1 s T
D( z ) D( s ) |
10
例如： D( s ) a
sa
1 z 1 s T
a D( z ) sa
aT 1 aT z 1
或
1 ui ( ui 1 aTe i ) 1 aT
23
则离散化的PID控制规律为：
1 u (k ) k p [e(k ) Ti

e(k ) e(k 1) ] u0 e(i)T Td T i 0
k
上式表示的控制算法提供了执行机构的位置所以称为PID 位置控制算法。 k

这种算式中有一累加项 eiT ，随着时间k的增加，累加 i 0 的项次也依次增加，不利于计算机计算。另外，如果由于 某种干扰因素导致u(k)为某一极限值时，被控对象的输出 也将作大幅度的剧烈变化，由此可能导致严重的事故。就 其原因，位置式算式存在以上缺陷的主要原因是它所给出 的只是当前控制量的大小，与此前时刻控制量的大小却完 全不相关。为此，有必要改进上述算法。
A1
A2
A3
26
增量式PID算法与位置式PID算法的比较： 两者本质相同，只是前者需要使用有 1、计算机只输出增量，误动作时影响小， 必要时可增设逻辑保护； 2、手动/自动切换时冲击小； 3、算式不需要累加，只需记住四个历史
附加积分作用的执行机构。但有如下优点：
数据，即e(k-2),e(k-1), e(k)和u(k-1),
1 2 的圆，如图
12
由此可得后向差分的性质是： (1)使用方便，而且不要求传递函数的因式分解； (2)一个稳定的 D(s ) 变换为一个稳定的 D(z ) ； (3)D(z ) 不能保持 D(s ) 的脉冲与频率响应。
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前向差分:
de ei 1 ei dt T
z 1 s 或 z 1 sT T
当 s j 时， z 1 jT 表明其映射为截于单位圆上 的一点且平行于纵轴的一条直线，如图3.2(b)所示。 由此可知，S平面jΩ的轴在Z平面上的映像除ΩT的极 小值外，均在单位圆外，因此这种方法将不利于控制 器的稳定性。
14
4.双线性变换法
根据z变换定义:
ze
展成级数：
Ts
e Ts / 2 e
D1 ( s) H ( s) D( s)
增加采样角频率
s ，使 s
远高于控制器的截止频率。
8
2.带有零阶保持器的Z变换法

在原线性系统的基础上串联一个虚拟的零阶保持器， 再进行Z变换从而得到 D(s) 的离散化模型 D(z)
1 e sT D( z ) Z [ D( s )] s
4
3．2 模拟控制器的离散化
表征模拟校正装臵的重要参数是： ①极点与零点的数目；
②频带宽度与截止频率；
③DC增益；
④相位裕度；
⑤增益裕度、超调量、闭环频率响应峰值等。 在选择模拟控制器的离散化方法时，首先必须明 白对离散化控制算法有何要求，以保证模拟校正装 臵的主要特性能得到保持。
5

模拟控制器的离散化的主要方法 1. Z变化法 2. 带有零阶保持器的Z变换法 3. 差分变换法 4. 双线性变换法
第三章

常规数字控Βιβλιοθήκη Baidu器的设计


数字控制器的设计方法分类 模拟控制器的离散化 数字PID控制 最少拍数字控制系统的设计 最少拍无纹波控制系统设计 最少拍控制系统的改进 达林算法
1
3．1
数字控制器的设计方法分类
按其设计特点分为二大类： 1.模拟化设计方法一般可按以下步骤进行： 第一步：用连续系统理论确定； 第二步：用合适的离散化方法由求出； 第三步：检查系统性能是否满足设计要求； 第四步：将变为差分方程或状态空间方程，并编写计算机程序。 需要时可运用混合仿真的方法检查系统的设计与程序编制 是否正确。
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（1）比例调节器
控制规律： u
k pe u0
根据误差进行调节，使系统沿着减小误差的方向运动。
误差大则控制作用也大。比例调节器一般不能消除稳 态误差。增大KP可以加快系统的响应速度及减少稳态 误差。但过大的KP有可能加大系统超调，产生振荡，
以至于系统不稳定。
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（2）比例积分调节器 控制规律：
ei
D( z ) D( s ) |
ui-ui-1
s
2 ( 1 z 1 ) T ( 1 z 1 )
i
16
各种离散化方法的比较
A.本茨和M.普里斯勒通过对图3.5所示的位臵随动系统的模 拟化设计进行研究，得出如下研究结论： (1)最好的离散化方法是双线性变换法，该方法对低采样频 率的结构也很好； (2)如果增益是惟一的性能标准的话，则匹配Z变换法的效果 比双线性的效果更好一些； (3)采用频率曲折法可以保持系统临界频率的位臵，但不能 保持系统的增益和相位。 (4)如果模拟控制器中一个极点或零点的位臵远离我们所感 兴趣的频率以外，则该极点或零点可以不考虑。
加保持器的Z变换法的特点是： (1)如果D(s)是稳定的，D(z)则也稳定； (2)如果D(s)是一个复杂的传递函数，其Z变换很可能 无法在一般Z变换表中查到，这里需要进行部分分式展 开； (3)由于串联了零阶保持器，D(z)不能保持D(s) 的脉 冲响应和频率响应。
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3.差分变换法（又称数值积分法）
占用内存少，计算方便，不易引起误差累 积。
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数字PID控制算法程序框图
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PID控制规律的脉冲传递函数形式
u(k ) K p [( Ae(k ) A2e(k 1) A3e(k 2))] 1
两边求z变换，并注意到
u(k ) u(k ) u(k 1) ，得
U ( z) z 1U ( z) K p [(A1 E( z) A2 z 1 E( z) A3 z 2 E( z))]
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1. Z变化法
Z变换法就是在D(z)与D(s)之间建立的一种映射 关系（ z e Ts ），这种映射关系保证模拟控制器的脉
冲响应的采样值与数字控制器的输出相同。
U ( s) D( s ) E( s)
将D(s)写成部分分式的形式：
An A1 A2 D( s ) s a1 s a2 s an
Ts / 2
e
Ts / 2
(Ts / 2)2 (Ts / 2)3 1 Ts / 2 ... 1 Ts / 2 2! 3!
同理：
e
Ts / 2
1 Ts / 2
1 Ts / 2 得双线性变换公式 ： z 1 Ts / 2
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双线性变换公式可以进行实s传递函数与z传递函数相互 转换，转换公式如下：
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3.3
数字PID控制
3.3.1 理想微分PID控制 设系统的误差为e(t)，则模拟PID控制规律为
1 u(t ) K p [e(t ) Ti
de(t ) 0 e(t )dt Td dt ]
t
它所对应的连续时间系统传递函数为
U ( s) 1 K p [1 Td s] E( s) Ti s
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在很多控制系统中，由于执行机构是采用步进电 机或多圈电位器进行控制的，所以，只要给出一个增 量信号即可。

写出K-1的输出值：
1 k 1 e(k 1) e(k 2) u(k 1) k p [e(k 1) e(i)T Td ] u0 Ti i 0 T
上两式相减得PID增量式控制算法
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PID控制器连续时间系统传递函数
U ( s) 1 K p [1 Td s] E( s) Ti s
微分 积分
比例
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PID模拟控制器的离散化

用矩形法来计算数值积分：
e( )d e(i)T
0

t
k
i 0
用后向差分来代替微分：
de (t ) e(k ) e(k 1) dt T
1 u k p (e edt ) u0 Ti 0
t
积分调节的引入，可以消除或减少控制系统的稳态
误差。但是积分的引人，有可能使系统的响应变慢，
并有可能使系统不稳定。增加Ti即减少积分作用，有 利于增加系统的稳定性，减少超调，但系统静态误差 的消除也随之变慢。
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（3）PID调节器 控制规律：

差分变换法将微分方程离散化为差分方程，最后求z传递函数。 即变量的导数用有限差分来近似地等效，从而得到一个逼近 给定微分方程的差分方程，其中最简单的差分变换是用后向 差分或前向差分代替一阶导数。 后向差分
de ei ei 1 dt T
du ui ui 1 dt T
由 s
lnz 可得 T
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u (k ) u (k ) u (k 1) Td T k p {e(k ) e(k 1) e(k ) [e(k ) 2e(k 1) e(k 2)]} Ti T k pTd 2Td T Td k p (1 )e(k ) k p (1 )e(k 1) e ( k 2) Ti T T T
2
2.离散化设计方法 首先用适当的离散化方法将连续部分（如图所 示的保持器和被控对象）离散化，使整个系统完全 变成离散系统，然后用离散控制系统的设计方法来 设计数字控制器，最后用计算机实现控制功能。
3
3．两种方法的比较 模拟化设计方法可引用成熟的经典设计理论 和方法。但在“离散”处理时，系统的动态特性 会因采样周期的增加而改变，甚至导致闭环系统 的不稳定。 离散化设计方法运用的数学工具是Z变换与离 散状态空间分析法。这种方法是一种直接数字设 计方法，不仅更具有一般性，而且稳定性好、精 度高。相对而言有时称为精确法。需要注意的是， 该法的精确性仅限于线性范围内以及采样点上才 成立。