《经济应用数学课件PPT》(张琳+马祥玉)1章

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例3
例4
x， x …0 函数y | x | 称为绝对值函数，其定义域为D (， )， x， x 0 值域为M [0， ) ．
例5
函数y [ x] ，x (， ，其中 ) [ x，表示不超过 ] x的最大整数，称为取整函数． 在取整函数中，若n ≤ x ≤ n 1 ，则[ x] n，如[0.68] 0 ，[7.3] 7，[7.1] 8 ．
1.2.3 函数的性质
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例7 解
( 1 ) f ( x) x cos x ;
4
ax 1 ( 2 ) f ( x) x ; a 1
1 ( 3 ) f ( x) 1． x
因为 f ( x ) ( x ) 4 cos( x) x 4 cos x f ( x) , 所以 f ( x) x 4 cos x 是偶函数．
例2 解
求下列函数的定义域． 4 （） 1 y 2 ； x 1
（ 2 ）y 6 x x 2 ln( x 1) ．
因解x 2 1 0可得x 1 ， 所以，函数的定义域为 ( ， 1) ( 1 ， 1) (1 ， )．
解
6 x x 2 …0 2 剟x 3 因解 可得 ， x 1 x 1 0 所以，函数的定义域为(1 ， 3] ．
（1）区间是实数集的子集． （2） 和 分别表示“正无穷大”和“负无穷大”， 它们不是数，仅仅是一个记号．
1.1.2 邻域
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邻域的引入
数集{x | a δ x a δ}称为点a的 邻域， 记作U (a， δ，如图（ ) a）所示 ; U (a， δ ) {x | a δ x a δ}
x2 1 （2 ）函数f ( x) 与 ( x ) x 1 ，虽然 x 1 x2 1 x 1 ，但由于它们的定义域不同， x 1 所以这两个函数不是同一函数．
1.2.2 函数的表示法
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函数可以用至少3种不同的方法来表示，即解析法、表格法、图示法． 1 解析法（公式法）
由于行李的重量在不超过 1 0 公斤、超过 1 0 公斤不超过 25 公斤、超过 25 公斤不超过 1 00 公斤 3 种情况下，运费的计算方法不相同，因此，其函数关系式常用分段函数来表示． 假设行李的重量为 x 公斤，运费为 y 元，则 （1 ）当 0 剟x y 0.50( x 10) ． （3 ）当 25 x „ 100 时，运费由 y1，y2 两部分组成：① 前 25 公斤在扣除 1 0公斤免费后， 余下的 15 公斤每公斤收运费 0.50 元，则 y1 0.50 (25 10)；② 超过 25公斤不超过 1 00 公斤 部分的重量为 ( x 25)，其运费为 y2 0.80( x 25) ． 1 0 时，y 0 ． （2）当 1 0 x „ 25 时，由于不超过 1 0 公斤的行李是不收费的，故此时的运费为
1.2.3 函数的性质
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4 周期性
设函数 y f ( x) 在区间 D上有定义，若存在常数 T 0 ， 对于任意的 x D，恒有 f ( x T ) f ( x)，则称 f ( x) 是以 T 为周期的周期函数．
通常所说周期函数的周期是指它们的最小正周期.
例 如
y sin x 的周期是 2，y tan x 的周期是 ． 函数 y C (C 是常数) 是周期函数，但不存在 最小正周期．
例 如
f (x) x4， g (x) x sin x
在定义区间上都是偶函数 .
偶函数的图像 关于y轴对称， 奇函数的图像 关于原点对称．
F ( x) x5， G( x) x3 cos x 在定义区间上都是奇函数．
1.2.3 函数的性质
18
3 有界性
设函数 f ( x) 在区间 I 上有定义， 如果存在一个正数 M，使得与任一 x I 所对应的函数值 f ( x) 都满足 不等式 |f ( x)| „ M，则称函数在I 内有界； 如果这样的 M 不存在，则称函数 f ( x) 在I内无界．
把两个变量之间的关系直接用数学式子表示出来，必要时还可以注明 函数的定义域、值域，这种表示函数的方法称为解析法．
这在高等数学中是最常见的函数表示法，它有显式、隐式和参数式之分，如 显式 y 5 x+3
x 隐式 e xy sin x 0
x 2cos t 参数式 y 2sin t
无 限 区 间
数集{x | a „ x }可记作[a， )，数集 {x | a x }可记作(a， )； 数集{x | x „ a}可记作(， a] ，数集 {x | x a}可记作(， a)；
(， )表示全体实数的集合R．
注 意
分段函数．
在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同式子来表示的函数称为
1.2.2 函数的表示法
， x0 1 函数y 0， x 0 ，称为符号函数，可 1 ， x0 记作y sgn x，其定义域为D (， )，值域 为M {1 ， 0， 1}．它的图像如图所示．
任何一个变量都有一定的变化范围．如果变量的变化范围是连续的，常用一种 特殊的数集——区间来表示．
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区间的名称和记号的引入
设a， b是两个实数，且a b，则
图（a）
有 限 区 间
[a， b，如右图（ ] a）所示；
? 数集 x a 剟x
b 为以a， b为端点的闭区间，记作
图（b）
（a，） b ，如右图（b）所示；
经 第 一 济 篇 应 用 微 积 数 分 学
目录页
CONTENTS PAGE
第1章
1.1 区间及邻域 1.2 函数的概念与性质 1.3 初等函数
函数
1.4 经济与商务中的常用函数 1.5 建立函数关系式
过渡页
TRANSITION PAGE
1.1 区间及邻域
1.1.1
区间
1.1.2
邻域
1.1.1 区间
1.2.2 函数的表示法
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2 表格法 表格法是把自变量和因变量的对应值用表格形式列出的方法．这种表示法有
较强的实用价值，如三角函数表、常用对数表等．
3 图示法 图示法是用某坐标系下的一条曲线反映自变量与因变量的对应关系的方法．
这种方法的几何直观性强，函数的基本性态一目了然，但它不利于理论研究．
1.2.3 函数的性质
1
特别强调
1 注 意
因习惯上常用 x 表示自变量，y 表示 因变量，所以经常把 反函数 x f 1 ( y ) 记 作 y f 1 ( x) ．
x f 1 ( y ) 的定义域是直接函数的值域；而反函数的值域是直接 函数的定义域．
应当说明的是，在同一直角坐标系 xOy 中，函数 y f ( x) 与其反函数 y f 1 ( x) 的图像是关于直线 y x 对称的．
或 U (a， δ ) {x | | x a | δ}.
图（a）
设a与 是两个实数，且δ 0，则
若将邻域的中心a去掉，则所得的集合 {x | 0 | x a | δ}称为点a的去心δ邻域， 记作U (a， δ，如图（ ) b）所示，即
U (a ， δ ) {x | 0 | x a | δ}
1.2.1 函数的概念
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例1 解
已知f ( x) x2 x 1 ，求f (0)，f (1)，f ( x) ．
f (0) 02 0 1 1 ． f (1) 12 1 1 1 ．
f ( x) ( x) 2 ( x) 1 x 2 x 1 ．
例 如
函数 f ( x) sin x 在 (， +) 内是有界的，因为无论x取任何值，都成立； 1 函数 f ( x) 在开区间 (0， 1) 内是无界的，而在开区间 (1 ， 3) 内是有界的 . x
由此可见，笼统地说某个函数是有界函数或无界函数是不确切的，必须指 明其所讨论的区间 .


图（b）
过渡页
TRANSITION PAGE
1.2 函数的概念与性质
1.2.1
函数的概念
1.2.2
函数的表示法
1.2.3
函数的性质
1.2.4
反函数
1.2.1 函数的概念
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定 义
设函数 y f ( x)，其定义域是 (a， b)，值域是 (c，d ) ．若对于 (c，d ) 中的任一值 y，都有唯一的 x (a， b)，使得 f ( x) y 成立， 即 x 也是 y 的函数，则称这个函数为 y f ( x) 的反函数，记作 x f ( y) ．这时， y f ( x) 称为直接函数．由定义可知，反函数
例如 例 如
f ( x) x 4，g ( x) x sin x 在定义区间上都是偶函数，而 F ( x) x5， G ( x) x3 cos x 在定义区间上都是奇函数．
1.2.3 函数的性质
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2
奇偶性
特别强调
设函数 y f ( x) 的定义域关于原点对称（即若 x D ，则 x D ）， 若对于任意的 x D，都有 f ( x) f ( x)，则称 y f ( x)为偶函数； 若对于任意的 x D，都有 f ( x) f ( x)，则称为奇函数．
1.2.2 函数的表示法
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例6
A，B两地间的汽车运输，旅客携带行李按下列标准支付运费不超过 1 0 公斤的不收行李
费；超过 1 0 公斤不超过 25 公斤的，超出 1 0 公斤的部分每公斤收运费 0.50 元；超过 25 公斤不超 过 1 00公斤的，超出 25 公斤的部分每公斤收运费 0.80 元．试列出行李的运费与行李的重量之 间的函数关系式，写出其定义域，并求出所带行李分别为 16 公斤和 65 公斤的甲、乙两旅客 各应支付多少运费？
分析
1.2.2 函数的表示法
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例6 解
设行李的重量为x公斤，则行李的运费为 0 剟x 10 0， y f ( x) 0.5( x 10)， 10 x „ 25 0.5 (25 10) 0.8( x 25)， 25 x „ 100 0 剟x 10 0， 0.5 x 5 ， 10 x „ 25 ． 0.8 x 12.5， 25 x „ 100 其定义域为 [0 ，100]． f (16) 0.5 16 5 3 ( 元 ) ； f (65) 0.8 65 12.5 39.5 (元 ) ． 故甲、乙两旅客应分别支付行李运费 3 元和 39.5 元．
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1 单 调 区 间
单调性
设 y f ( x) 函数在区间I内有定义，若对区间I内的 任意两点 x1，x2， 当 x1 x2 时，有 f ( x1 ) f ( x2 )，则称在区间I内单调增加 ，区间 I 称为单调增区间； 当 x1 x2 时，有 f ( x1 ) f ( x2 )，则称在区间I内单调减少， 区间 I 称为单调减区间． 单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
数集{x | a x 剟b}和{x | a
数集{x | a x < b}为以a， b为端点的开区间，记作
x b}为以a， b为端点的
图（c）
半开半闭区间，记作(a， b]和[a， b) ，如右图（c）
和右图（d）所示 .
图（d）
1.1.1 区间
5
区间的名称和记号的引入
在无限区间中，区间的端点（如上述的 a,b ）可以无限扩展，即
1.2.1 函数的概念
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函数的两个要素
定义域
如果两个函数的定义域、对应法则均相同， 那么可以认为这两个函数是同一函数；反之，如 果两要素中有一个不同，则这两个函数就不是同 一函数．
函数
对应法则
例 如
（1）函数f ( x) sin x cos x与 ( x) 1 ，
2 2
因为 sin 2 x cos 2 x 1 ，即这两个函 数的对应法则相同，且定义域均为R， 所以它们是同一函数 .