大学物理——机械振动

v 2 sin 0
2
振动方程为 x 0.05 cos(40t )
2
8
二、简谐振动的旋转矢量表示法
1.简谐振动与匀速圆周运动
匀速圆周运动在x轴上的投影 （或分运动）为简谐振动：
y
m
A
t +
x
O
P
2.简谐振动的旋转矢量表示法
A
O
x
9
3.两同频率简谐振动的相位差（phase difference）
M m
A v
7
解：mv=(m+M)V
0.01×103=(4.99+0.01)V
V=2m.s-1
1 (m M )V 2 1 kA2
2
2
k
mM
1 (4.99 0.01) 22 1 8 103 A2
2
2
A=0.05m
8 103 40 5
x 0.05 cos(40t )
t 0 x 0.05 cos 0
机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。
m
A O A
广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一
数值附近反复变化。
K i
q
L
q
1
6-1 简谐振动（simple harmonic motion)
一、简谐振动的基本特征
1、简谐振动的定义 动力学定义:
弹簧振子
kF
m
运动学定义:
A O A
a F k x mm
34.1sin(
)
6 1
)
得 sin( 1 ) 1 6
a 2 Acos( t )
v(cms 1 )
31.4
15.7 0
15.7
31.4
1
t(s)
1
6
62 7 或 11 66
a1 0, 则
cos( 1 )
0 1
6
7
6
3.14s1 A vm 31.4 10cm
令 2 k
m
a 2 x
又a
d2x dt 2
d2 dt
x
2
2
x
0
其简通谐振动微分方程 解为：
x Acos(t ) 谐振动运动方程
2
2、描述简谐振动的特征量 运动方程
kF
m
x Acos(t )
A O A
•振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初条件.
•周期T 物体完成一次全振动所需时间.
由初条件 x0 = 0.06 m，Tv0 0
得
3
3
简谐振动的表达式为
6
例6-2. 如图所示，倔强系数为 8×103N·m-1的轻 质弹簧一端固定于A，另一端系一质量为 M=4.99kg的木块静止于水平光滑桌面上。 质量 m=0.01kg的子弹以水平速度v =103 m·s-1 射入 木块使其作简谐振动。若在木块经过平衡位置且 向右运动时开始计时。取平衡位置为坐标原点、 向右为x轴正方向，求其振动方程。
x, v, a
x, v, a
av x
A
A
O
O
t
2A
T
11
例6-3. 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线 如图所示，求此简谐振动的表达式。
解 设简谐振动方程为
x
t= 1s
x (cm) 2
A
x0 = A/2，v0 0
O
A
t=0
1
1 O
1 t (Βιβλιοθήκη Baidu)
v0
2
由旋转矢量表示法
v0 0
角频率的计算：t = 1s 时，对应图示的旋转矢量。
3.14
故振动方程为 x 10 cos(t )cm
6
14
方法2：用旋转矢量法辅助求解。 v(cms1)
x Acos(t )
31.4
v A sin(t )
15.7
vm cos(t 2) vm A 31.4cms 1
0 15.7
31.4
1
t(s)
v的旋转矢量 与v轴夹角表
ft mg sin
T
m
当 5(= 0.0873rad)时，
sin , ft mg
由牛顿第二定律 mg mat ,
得
ml
t
由图知
示t 时刻相位
2
1 s1
A vm 31.4 10cm 3.14
2
23
t0
2
o
6
v
x 10 cos(t )cm 6
t 1s
15
三、简谐振动实例
1. 弹簧振子(blockspring system)
kF
m
平衡位置：
A O A
弹簧为原长时，振动物体所处的位置. x=0 , F=0
A vm 31.4cms 1
v Asin( t )
a 2 Acos( t
sin v0 15.7 1 A 31.4 2
)
或5
66
a0 2 A cos 0
a0 0,则cos 0
6
13
t 1 v1 15.7cms 1
v1 即 15.7
Asin( 1
两个谐振动
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
相位差 (t 2 ) (t 1 ) 2 1
=2 1 两同频率的谐振动的相位
差等于它们的初相差。
A2
A1
x
O
A1
A2
x
O
A1
A2 O
x
0, x2超前x1 = 0, 同相
= ，反相10
4.谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
k m
A O
A
5
例6-1. 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅A= 0.12 m，周期 T= 2 s， 当t = 0 时，质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06 m, 此时刻质点向x 正向运动。求此简谐振动的表达式。
解 取平衡位置为坐标原点。
设简谐振动的表达式为
由题设T= 2 s，则 2 , A= 0.12 m
旋转矢量以 匀角速由t = 0 到t = 1s 转过了4/3
t 4 3 t =1s 4 3
12
例6-4.已知某简谐振动的
v(cms 1)
速度与时间的关系曲线如 31.4
图所示，试求其振动方程。15.7
解：方法1
0
用解析法求解
15.7
1
t(s)
设振动方程为
31.4
x
v0
Acos(t ) Asin 15.7cms1
T 2
•频率 单位时间内振动的次数.
•角频率
相位 t
决定谐振动物体的运动状态
初相位
3
3.振动速度及加速度
x, v, a
av x
简谐振动的加
速度和位移成 正比而反向.
O
t
T 4
4.振动初相及振幅由初始条件决定
初始条件：当t = 0时, x = x0 ，v = v0
代入
得
= arctan ( v0 ) x0
位移为x处:
由牛顿第二定律
2 x
d2x dt 2
2x
0
x Acos(t )
角频率 k 完全由振动系统本身的性质决定。
m
固有角频率 固有周期
固有频率
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2. 单摆(simple pendulum)
C
平衡位置 ：摆线与竖直方向夹角 = 0 .
l
摆球相对于平衡位置的角位移为 时，
切向合外力: