浅谈数学中的逆向思维

浅谈数学中的逆向思维
本文主要介绍了什么是逆向思维，何时运用逆向思维。

分析法、反证法都是逆向思维的方法，着重介绍了逆向思维方法的运用。

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1 什么是逆向思维
人的思维过程是可逆的。

如果我们把A?圯B的思维过程属于正向思维（正向思考）的话，那么B?圯A的思维过程则属于逆向思维（逆向思考）。

人们习惯于正向思维，但在有些时候，逆向思维却更有利于问题的解决。

从正向思维转向逆向思维是思维灵活性的一种表现。

那么，什么时候考虑逆向思维呢？一般来说，当顺推不行时考虑逆推，直接解决不行时考虑间接解决，探讨可能性发生困难时考虑探讨不可能性……所有这些都属于逆向思维的范畴。

当我们反复考虑某个问题陷入困境时，逆向思维往往能使我们茅塞顿开，帮助我们找到解决问题的思路或办法。

2 分析法、反证法都是逆向思维的方法
数学证明中的分析法、反证法都是逆向思维的方法。

在数学证明中，按照逻辑推理本身的顺序和要求来说，应该是从题设条件出发，根据已知的定理条件逐步推出所要证明问题的结论，这是我们证明中常用的综合法。

然而在某些时候，用综合法很难解决问题，比如很多无理不等式的证明就是如此。

若反其道而行之，从要证明的结论出发进行倒推，逐步推到已知条件或明显成立的事实，从而得到结论的证明，这就是我们证明中常用的分析法。

显然分析法是一种逆向思维的方法，这种方法在不等式的证明中占有重要的位置。

另外，我们常用分析法探索解题途径，用综合法形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思想方法，也是训练逆向思维的一种途径。

反证法也是一种逆向思维的方法。

当我们直接证明一个问题发生困难时，常常考虑用反证法。

反证法是先证明原命题的否定为假，进而肯定原命题为真。

也就是说，反证法是考虑了两个方面，即原命题的反面与真实（成立）的反面，经过两次否定才完成整个证明的。

虽然反证法的逻辑依据是排中律，但其思想方法却可以说是双重的逆向思维。

3 逆向思维方法运用举例
关于逆向思维方法的运用，举下面几个例子：
注：此题若用综合法就比较困难，因为我们很难想到从“15<16”入手。

事实
上，很多含有根式的不等式的证明，用分析法比用综合法简便。

例2用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数。

解：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A103，其中以0开头的排列数为A92，所以它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的3位数的个数。

所以所求3位数个数是：
A103-A92=10×9×8-9×8=648
答：可以组成648个没有重复数字的三位数。

注：此解法是一种逆向思维的方法。

它不是直接求没有重复数字的三位数的个数，而是先求不是三位数的3个不重复数字的排列数A92，然后从所有不重复的三个数字的排列数A103中将它减去，得到所求三位数的个数。

例3直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。

已知：a￠α，bCα且a∥b(如图)
求证：a∥α。

此定理若直接证明的话，需证明直线a和平面α没有公共点（线面平行定义），这是非常困难的。

若用反证法证，据已知条件，只需证a∩α=P不可能，这一点很容易做到。

证明：（反证法）
假设直线a和平面α不平行，∵a￠α ∴a∩α=P
a∥α，过a、b作平面β，则a∩β=b
∴P∈b，此与a∥b相矛盾。

∴a∥α
例4有4位同学，每人买1张体育彩票，求至少有2位同学彩票号码的末位数相同的概率。

4位同学中至少有2位同学的彩票号码的末位数相同，这包括其中恰有某2位同学彩票号码的末位数相同、恰有某3位同学彩票号码的末位数相同、4位同学彩票号码的末位数都相同等多种互斥情况，逐一求其概率相当麻烦。

若用逆向思维方法，即先求4位同学所买彩票末位数号码各不相同的事件的概率。

再求其对立事件——至少有2位同学彩票号码的末位数相同的概率就比较简单。

注：若事件B发生所包含的情况较多，而它的对立事件A（B不发生）所包含的情况较少，
利用P（B）=1-P(A)计算B的概率则比较简便。

这不仅体现了逆向思维，同时对培养思维的灵活性是很有益的。

例5求Sn=1·3·5+3·5·7+5·7·9+…（2n-1)(2n+1)(2n+3)
按照习惯的思维是将和式Sn中的通项展开，把Sn分解成自然数与一个常数列之和。

如果对自然数的立方数列与平方数列的求和不熟，一切将从头做起，十分麻烦。

现在考虑一个比Sn的数列更为复杂，但结构与其相似的数列（这是一个表面上与“简单化”方向完成相反的大胆做法）
Sn*=1·3·5·7+3·5·7·9+5·7·9·11+…（2n-1)(2n+1)(2n+3)（2m+5)
记ak=（2k-1)(2k+1)(2k+3)（2k+5)…(*)，（k=1，2，…，n）
由ak+1-ak=8(2k+1)(2k+3)（2k+5)…(*)可知，Sn*中每相邻两项之差的八分之一正好就是Sn中的各项，于是令（*）中的k=1，2，…，n，得
a2-a1=8·3·5·7
a3-a2=8·5·7·9
a4-a3=8·7·9·11
…………
an-an-1=8（2n-1)(2n+1)(2n+3)
将以上n个式子相加得
an-a1=8·[3·5·7+5·7·9+…+（2n-1)(2n+1)(2n+3)]
=8（Sn-1·3·5）=8(Sn-15)
又an=（2n-1)(2n+1)(2n+3)（2m+5)，a1=1·3·5·7，
∴Sn=n(2n3+8n2+7n-2)
通过考虑一个比Sn中的数列更为复杂的数列与Sn间的关系，反而简捷地求出Sn的值。

总之，逆向思维方法的应用十分广泛，用法灵活，在数学中占有非常重要的位置。

因此，教师在教学过程中不仅要重视正向思维的培养，还应重视逆向思维的训练。

培养学生的逆向思维（逆向思考）贵在平时，贵在坚持。

只有这样，才能更好地提高学生的数学素质，提高学生分析问题、解决问题的能力。

参考文献:
[1]《中学数学教学参考》.2007.5下期.高中.
[2]中等职业教育国家规划教材《数学》（基础版）第二册.邱维声主编.
[3]全日制普通高级中学教课书《数学》（必修）第二册（下B）人民教育出版社.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。