透视根的判别式应用

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江苏 高峰

一元二次方程根的判别式在解决一元二次方程问题时有广泛的应用.在具体应用过程中一定要注意一元二次方程ax 2+bx+c=0中“a ≠0”这一隐含条件.使用判别式之前一定要把方程化为一般形式，以便正确找出a ，b ，c 的值.

一、判定根的情况

例1 一元二次方程x 2+x -2=0根的情况是 （ ）

A ．有两个不等的实数根

B ．有两个相等的实数根

C ．无实数根

D ．无法确定

解析：本题直接判断b 2－4ac 的大小即可.由∆=b 2－4ac =12-4×1×(-2)=9＞0，所以一元二次方程有两个不等的实数根.故选A.

二、确定字母系数的取值范围

例2 如果关于x 的一元二次方程（k +1）2x 2－（k －1）x +4

1=0有两个不等的实数根，那么k 的取值范围是 （ ）

A. k ＜0 B .k ＜0且k ≠-1 C. k ＜-4

1 D. k ≥21-且k≠0 解析：本题b 2－4ac =（k -1）2-（k +1）2=-4k ，又因为一元二次方程（k +1）2x 2－（k －1）x+4

1=0有两个不等的实数根，所以∆=b 2－4ac ＞0，即-4k ＞0解得k ＜0.又由（k +1）2≠0得k ≠ -1.所以k 的取值范围是k ＜0且k ≠-1. 故选B.注意若二次项系数中存在字母时，一定要考虑二次项不为0.

三、求字母系数的值

例3 当m 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2-4x +m -

21=0有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？

解析：由于一元二次方程x 2-4x +m -

21=0有两个相等的实数根，所以b 2-4ac =（-4）2-4（m -21）=0，即18-4m =0，解得m =

29. 当m =2

9时，原方程可化为x 2-4x+4=0，则（x -2）2=0，故有两个相等的实数根x 1=x 2=2. 注意最后结果不要写成x=2的形式.