第十三章 第一节

同步检测训练
一、选择题
1．用数学归纳法证明：“
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1
1，(n ∈N *)”时，在验证初始值不等式成立时，左边的式子应是( )
A ．1 B.12＋13＋14
C.12＋13
D ．以上都不是 答案：B
解析：当n ＝1时，分母应从2到4，所以左边的式子应为12＋13＋14
.故选B. 2．如果命题P (n )对于n ＝k (k ∈N *)时成立，则它对n ＝k ＋2也成立，又若P (n )对于n ＝2
时成立，则下列结论正确的是( )
A ．P (n )对所有正整数n 成立
B ．P (n )对所有正偶数n 成立
C ．P (n )对所有正奇数n 成立
D ．P (n )对所有大于1的正整数n 成立
答案：B
解析：由n ＝2成立，根据递推关系“P (n )对于n ＝k 时成立，则它对n ＝k ＋2也成立”，可以推出n ＝4时成立，再推出n ＝6时成立，…，依次类推，P (n )对所有正偶数n 成立，故应选B.
3．利用数学归纳法证明“不等式1＋12＋13＋…＋12n －1
<n (n ≥2，n ∈N *)”的过程中，由n ＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )
A ．1项
B ．k 项
C ．2k －1项
D ．2k 项
答案：D
解析：当n ＝k 时，左边为1＋12＋13＋…＋12k －1，则当n ＝k ＋1时，左边为1＋12＋13
＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12k ＋1－1
，∴n 由k 变到k ＋1左边共增加了(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k 项．故选D.
4．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n >n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
答案：C
解析：当n ＝1时，21＝12＋1；
当n ＝2时，22<22＋1；当n ＝3时，23<32＋1；
当n ＝4时，24<42＋1.而当n ＝5时，25>52＋1，∴n 0＝5.故选C.
5．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )
A ．(k ＋3)3
B ．(k ＋2)3
C ．(k ＋1)3
D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3
答案：A
解析：假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．
当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．故选A.
6．证明“n ＋22<1＋12＋13＋14＋…＋12n n ＋1(n >1)”，当n ＝2时，中间式子等于( )
A ．1
B ．1＋12
C ．1＋12＋13
D ．1＋12＋13＋14
答案：D
解析：当n ＝2时，中间的式子为
1＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14
.故选D. 7．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从n ＝k 到
n ＝k ＋1，左边的式子之比是( )
A.12k ＋1
B.12(2k ＋1)
C.2k ＋1k ＋1
D.2k ＋3k ＋1
答案：B
解析：(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)
＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(2k )(k ＋2)(k ＋3)…(2k )(2k ＋1)(2k ＋2)
＝12(2k ＋1)
故选B. 8．(2009·云南一测)用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324
(n >1且n ∈N )时，在证明n ＝k ＋1这一步时，需要证明的不等式是( )
A.1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k >1324
B.1k ＋1＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1>1324
C.1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1>1324
D.1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2>1324
答案：D
解析：1n ＋1＋1n ＋2…＋12n >1324
(n >1且n ∈N )的左边有n 项，在证明n ＝k ＋1这一步时，需要证明的不等式是1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2>1324
，故选D. 二、填空题
9．(2009·湖南郴州三模)对于任意的正整数k ，用g (k )表示k 的最大奇因数，例如：g (1)
＝1，g (2)＝1，g (3)＝3，…，记f (n )＝g (1)＋g (2)＋…＋g (2n )，其中n ∈N *，则(ⅰ)当n ≥2时，
f (n )与f (n －1)的关系是________；(ⅱ)f (n )＝________.
答案：(ⅰ)f (n )＝4n －1＋f (n －1)；(ⅱ)f (n )＝4n ＋23 解析：g (2n －1＋1)＋g (2n －1＋2)＋g (2n －1＋3)＋g (2n －1＋4)＋…＋g (2n )＝1＋3＋5＋7＋…＋
(2n －1)＝4n －1，则f (n )与f (n －1)的关系是f (n )＝4n －1＋f (n －1)；用累加法求得f (n )＝4n ＋23，故填f (n )＝4n －1＋f (n －1)；f (n )＝4n ＋23
. 10．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n －2个图形中共有________个顶点．
答案：n 2+n
解析：观察规律：第一个图形有32+3=(1+2)2+(1+2)；
第二个图形有(2+2)2+(2+2)=42+4；
第三个图形有(3+2)2+(3+2)=52+5；
……
第n -2个图形有(n +2-2)2+(n +2-2)=n 2+n 个顶点．
11．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1
<n (n ∈N ，且n >1)”，第一步要证的不等式是________．
答案：1＋12＋13
<2 解析：n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋13
，右边＝2. 三、解答题
12．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1
(n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，∴左≥右，即命题成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，命题成立，
即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1
. 那么当n ＝k ＋1时，要证
1＋122132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1
， 只要证3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3
. ∵3(k ＋1)2k ＋3－3k 2k ＋1－1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2(k ＋1)2[4(k ＋1)2－1]＝－k (k ＋2)(k ＋1)2(4k 2＋8k ＋3)
<0， ∴3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3
成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1
成立． ∴当n ＝k ＋1时命题成立．
由(1)、(2)知，不等式对一切n ∈N *均成立．
13．用数学归纳法证明：(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除．
证明：(1)当n ＝1时，4×7－1＝27能被9整除，命题成立．
(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，
即(3k ＋1)·7k －1能被9整除．
当n ＝k ＋1时，
[(3k ＋3)＋1]·7k ＋1－1＝(3k ＋1＋3)·7·7k －1
＝7·(3k ＋1)·7k －1＋21·7k
＝[(3k ＋1)·7k －1]＋18k ·7k ＋6·7k ＋21·7k
＝[(3k ＋1)·7k －1]＋18k ·7k ＋27·7k ，
由归纳假设(3k ＋1)·7k －1能被9整除，
又因为18k ·7k ＋27·7k 能被9整除，
所以[3(k ＋1)＋1]·7k ＋1－1能被9整除，即n ＝k ＋1时命题成立． 由(1)(2)知，对所有的正整数n ，命题成立．
14．(2009·石家庄一模)在数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＝n n －1
a n －1＋2n ·3n －2(n ≥2，n ≥N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n ＝3n －1
a n
(n ∈N *)数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S 2n 与n 的大小； (3)令c n ＝a n ＋1n ＋1
(n ∈N *)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2c n (c n －1)2的前n 项和为T n ， 求证：对任意n ∈N *都有T n <2.
解：(1)a n n ＝a n －1n －1
＋2·3n －2， a n n ＝1＋2＋2·3＋2·32＋…＋2·3n －2 ＝1＋2(1－3n －1)1－3
＝3n －1. 即a n ＝n ·3n －1(n ∈N *)．
(2)b n ＝1n n ∈N *),1＋12>1,1＋12＋13＋14
>2， 1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18
<3. 猜想当n ≥3时，S 2n <n .
下面用数学归纳法证明：
①当n ＝3时，由上可知S 23<3成立；
②假设n ＝k (k ≥3)时，上式成立，即1＋12＋13＋…＋12k <k . 当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1＋…＋12k ＋1<k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1<k ＋2k 2k ＋1
<k ＋1.
所以当n ＝k ＋1时成立．
由①②可知当n ≥3(n ∈N *)时，S 2n <n .
综上所述当n ＝1时，S 21>1；
当n ＝2时，S 22>2；
当n ≥3(n ∈N *)时，S 2n <n .
(3)c n ＝a n ＋1n ＋1
＝3n . 当n ≥2时，2×3n (3n －1)2≤2×3n (3n －1)(3n －3)＝2×3n －1(3n －1)(3n －1－1)＝13n －1－1－13n －1
. 所以T n ＝32＋2×32(32－1)2＋…＋2×3n (3n －1)2
≤32＋⎝⎛⎭⎫12－132－1＋⎝⎛⎭
⎫132－1－133－1＋…＋ ⎝⎛⎭⎫13n －1－1－13n －1＝2－13n －1
<2. 15．(2009·深圳调考)已知函数f (x )＝x 2－12x ＋14
，f ′(x )为函数f (x )的导函数． (1)若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝f ′(a n )＋f ′(n )(n ∈N *)，求数列{a n }的通项a n .
(2)若数列{b n }满足b 1＝b ，b n ＋1＝2f (b n )(n ∈N *)．
(ⅰ)当b ＝12
时，数列{b n }是否为等差数列？若是，请求出数列{b n }的通项b n ，若不是，请说明理由．
(ⅱ)当12<b <1时，求证：∑i ＝1n 1b i <22b －1
. 解：(1)∵f ′(x )＝2x －12
， ∴a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫2a n －12＋⎝⎛⎭
⎫2n －12＝2a n ＋2n －1， 即a n ＋1＋2(n ＋1)＋1＝2(a n ＋2n ＋1)． ∵a 1＝1，∴数列{a n ＋2n ＋1}是首项为4，公比为2的等比数列．
∴a n ＋2n ＋1＝4·2n －1，即a n ＝2n ＋1－2n －1.
(2)(ⅰ)∵b n ＋1＝2f (b n )＝2b 2n －b n ＋12， ∴b n ＋1－b n ＝2⎝⎛⎭
⎫b n －122. ∴当b 1＝12时，b 2＝12. 假设b k ＝12
，则b k ＋1＝b k . 由数学归纳法，得出数列{b n }为常数数列，
是等差数列，其通项为b n ＝12
. (ⅱ)∵b n ＋1＝2b 2n －b n ＋12，∴b n ＋1－b n ＝2⎝⎛⎭
⎫b n －122. ∴当12<b 1<1时，b 2>b 1>12. 假设b k >12，则b k ＋1>b k >12
. 由数学归纳法，得出数列
b n >12
(n ＝1,2,3，…)． 又∵b n ＋1－122b n ⎝⎛b n －12， ∴1b n ＋1－12＝1b n －12－1b n . 即1b n ＝1b n －12－1b n ＋1－12
. ∴∑i ＝1n 1b i ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b i －12－1b i ＋1－12
＝1b 1－12－1b n ＋1－12
. ∵b n ＋1>12
， ∴∑i ＝1n 1b i <1b 1－12
＝22b －1.。