高等数学课后习题答案第十章

2 m +1
s
，所以
∀ε > 0, ∃N1 ∈ N + , ∀n > N1 有 S2n − S < ε
3
∃N 2 ∈ N + , ∀n > N 2 有 S2n+1 − S < ε
取 N = Max{N1.N 2} ∀n > N 有 Sn − S < ε
∞
∑ 所以 un 收敛于 s
n =1
∑ 3、已知
= 0 <1
∑∞
所以
1
收敛。
n=1 [ln(n + 1)]n
∑∞
（3）、 (
n
) 2n
n=1 3n + 1
解： lim n
n→∞
un
=
lim ( n )2 n→∞ 3n + 1
=
1 9
<1
∑∞
所以 (
n
) 2n
收敛。
n=1 3n + 1
7
∑ （4）、 ∞ ( b )n
a n=1 n
其中 a > 0,b > 0, an → a(n → ∞)
1 un
∞
= ∞ ，所以
1
u n=1 n
发散；
∑ ∑ 当
∞
un
n =1
发散时，
∞ n =1
1 un
可能收敛，也可能发散。
∑ 如果
lim
n→∞
u
n
= a(a ≠ 0) ，则有 lim 1 u n→∞
n
=
1 a
∞
≠ 0 ，此时
1
u n=1 n
发散；
∑ 如果
lim
n→∞
u
n
= 0 ，，则有 lim 1 u n→∞
u n→∞ n
n→∞
3n+1
n3
sin
π 3n
n→∞
3 n +1
n3
π 3n
3
∑∞ n3 sin π 收敛。
n =1
3n
∑∞
（7）、
2n
n=1 (2n − 1)!
解： lim un+1 = lim
2 n+1
(2n −1)!
⋅
= lim
2
= 0 <1
u n→∞ n
n→∞ (2n + 1)!
22
n→∞ 2n(2n + 1)
1 an = n(n + 1)(n + 2)
（3）、 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯⋯。 1 5 9 13
an
= 1+
1 4(n −1)
=
1 4n − 3
（4）、 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯⋯ 。 1 22 32 42
3、判断级数的敛散性
an
= (−1) n−1
1 n2
∑ （1）、 ∞ 100 ⋅ ( 1)n ，等比级数 0 < q = 1 < 1 ，收敛。
∞
∑ 6、就 un 收敛或者发散两种情况讨论下列级数的敛散性
n =1
∞
∑ （！）、 (un + 10−10 )
n =1
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ 解答：当 un 收敛时， (un + 10−10 ) 是发散，否则就有 10−10 收敛，矛盾。
n =1
n =1
n =1
∞
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ ∑ 当 un 发散时， (un + 10−10 ) 不一定是发散还是收敛，如果 un = − 10−10 ，则
nn
n =1
∑ （6）、
∞
(1 + 1 )n2 n
n=1 3n
解： lim
n→∞
n
un
e = lim =< 1
n→∞ 3
∑ 所以
∞
(1 + 1 ) n2 n
收敛。
n =1
3n
4、 判定下列级数的收敛与发散
3
=
− 2 [1 − (− 2 )n ]
3
3
3
2
S
=
lim
n→∞
S
n
=
− 3
∞
∑ （2）、 (an − an+1 )
n =1
（
lim
n→∞
a
n
=
a
解： Sn = a1 − a2 + a2 − a3 + ⋯ + an−1 − an = a1 − an
S
=
lim
n→∞
S
n
=
a1
−a
1
5、判定下列级数的敛散性
2n
∑ ∑ 解： sin π ≤ π
2n 2n
而
∞ n =1
π 2n
∞
收敛，所以 sin
n =1
π 2n
收敛。
∑∞
（3）、
1
n=1 ln(1 + n)
∑ ∑ 解：
1
1 ≥
∞
而
1 发散，所以 ∞
1 发散。
ln(1 + n) n n=1 n
n=1 ln(1 + n)
∑ （4）、 ∞ ln n 4 n n=1 3
第十章习题解答 节 10.1 习题 1、写出下列数列的前五项（略） 2、写出下列数列的通项
（1）、 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 3 + ⋯⋯ 。 1+ 2 1+ 22 1+ 23
（2）、 1 + 1 + 1 + ⋯⋯ 。 1⋅ 2⋅3 2⋅3⋅4 3⋅4⋅5
1+ n an = 1+ 2n
n
∞
= ∞ ，此时
1
u n=1 n
发散；
∑ 如果
lim
n→∞
u
n
= ∞ ，则有 lim 1 u n→∞
n
∞
= 0 ，此时
1
u n=1 n
有可能收敛。目前给的的条件还无法判定。
（B） 1、求级数的和
∑∞
（1）
1
n=1 (n + 1)(n + 2)
解： Sn
=
1 ( 2
−
1 )
3
+
1 ( 3
−
1) +⋯+ 4
n =1
4
4
∑ ∑ ∑ （2）、 ∞ ln(1 + 1) ，由于 ln(1 + 1) >
1
∞
，而
1 发散，所以 ∞ ln(1 + 1 ) 发散。
n =1
n
n n+1
n=1 n + 1
n =1
n
∑∞
（3）、
n =1
n −1 n +1
，由于
lim
n→∞
a
n
=1≠
0 ，所以发散。
∑ ∑ ∑ ∑ （4）、
∞ n =1
n→∞
(n
+
1)2 n+1
n2n ⋅ 3n
=
3 2
>
1
所以
∞ n =1
3n n2n
发散。
∑ （2）、 ∞ n 2
n=1 3n
∑ 解： lim un+1
(n + 1)2 = lim
3n ⋅
= 1 < 1所以
∞ n 2 收敛。
u n→∞ n
3 n→∞
n+1
n2 3
n=1 3n
∑ （3）、 ∞ 2n ⋅ n!
1 • n −1•
−2
=2
n→∞ n n −1 1
n→∞
n −1 1
n→∞ 1 −
n + 1 (n −1)2
n2
∑ ∑ ∞
而
1
∞
收敛，所以
1
n +1 ln
收敛。
n=1 n n
n=2 n n −1
∞
∑ （8）、 (e n −1)
n=2
1
∑ ∑ 解： lim e n −1 = 1 而 ∞ 1 发散，所以 ∞ (e n − 1) 发散。
n =1
n =1
n =1
n=1
∞
∑ (un + 10−10 ) = 0 ，收敛。
n =1
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ （2）
u， n+1000
un+1000 的收敛与发散和
un 是一致的。
n =1
n =1
n =1
∑∞
（3）、
1
u n=1 n
(un ≠ 0)
2
∑ ∑ 解答：当
∞ n =1
un
收敛时，有
lim
n→∞
n→∞
2 n+2
1 ⋅
π n tan 2n+1
=
π
lim (n
n→∞
+
1)
2n+2
1 ⋅
π n 2 n+1
= 1 <1 2
∑ 所以
∞ n =1
n tan
π 2 n+1
收敛。
∑ （5）、 ∞ (2n −1)!!
n=1 3n ⋅ n!
解： lim un+1 u n→∞
n
=
(2n + 1)!! 3n ⋅ n!
1 (− n +1
1 n+
) 2
=
1 2
−
n
1 +
2
1
S
=
lim
n→∞
S
n
=
2
∑∞
（2）
1
n=1 n(n +1)(n + 2)
解： Sn
=
(1 1
−
1) + 2
(1 2
−
1) 3
+⋯+[1 n
−
1] (n +1)
−
1
1 [(
−
1 )
+
1 (
−
1 )
+
1 (
−
1)⋯ +
1 (
−
1
33 )] = 1− −
(
1 2n
+
1 5n
)
，由于
∞ n =1
1 2n
∞
与
1
n=1 5n
都收敛，所以
∞ n =1
(
1 2n
+ 1 ) 收敛。 5n
4、求下列级数的和
∑ （1）、 ∞ (−1)n ( 2)n
n =1
3
解：是等比级数 q
=
2 − 3 , a1
=
−
2 3
，
S
n
=
− 2 ⋅ 1 [1 − (− 2)n ]
3 1+ 2
∑∞
所以
2n
收敛。
n=1 (2n − 1)!
∑ （8）、 ∞ 2n−1 tan π
n =1
2n
解： lim un+1 = lim 2n+1 tan π ⋅ 1 = lim 2 ⋅ π ⋅ 1 = 2 > 1
u n→∞ n
n→∞
2(n + 1) 2n tan π n→∞ 2n + 2 π
2n
2n
∑ 所以 ∞ 2n−1 tan π 发散。
lim
n→∞
3
n+1
(n
+
1)!
⋅
(2n
−
1)!!
=
(2n + 1) lim n→∞ 3(n + 1)
=
2 3
<1
∑ 所以 ∞ (2n −1)!! 收敛。
n=1 3n ⋅ n!
∑ （6）、
∞ n =1
n3
sin
π 3n
6
解： lim un+1 = lim (n + 1)3 sin π ⋅ 1 = lim (n + 1)3 π ⋅ 1 = 1 < 1
1
21 3 2 4 3 5
n n+2
4 2 n+1
S
=
lim
n→∞
S
n
=
1 4
∞
∑ 2、如果数项级数 un 的第 2m 与第 2m + 1现的部分和数列 {S2m }与 { } S2m+1 均收敛于 s ，
n =1
∞
∑ 证明 un 收敛于 s
n =1
证明：用数列收敛的定义证明，由于
{S
2m
}与
{S
}均收敛于
n =1
2n
3、用根值敛法判别下列级数的收敛性
∑∞
（1）、 (
n
)n
n=1 2n + 1
解： lim n
n→∞
un
=
n
lim
=
n→∞ 2n + 1
1 2
<1
∑ 所以
∞
(
n
)n 收敛。
n=1 2n + 1
∑ （2）、
∞ n =1
1 [ln(n +
1)]n
解： lim n
n→∞
un
=
1 lim n→∞ ln(n + 1)
1
n2
n =1
n=1 1 + n3
∑∞
（6）、
1 sin
1
n=1 n
n
∑ ∑ 解： lim 1 sin
1
n •
n =1 而 ∞
1
∞
收敛，所以
1 sin
1
收敛。
n→∞ n
n1
n=1 n n
n=1 n
n
∑∞
（7）、
1 n+1 ln
n=2 n n −1
解： lim
1 n +1 n n ln •
= lim ln n + 1 • n = lim
⎧< 1
解： lim n
n→∞
un
=
b lim n→∞ a
=
⎪ ⎨
1
⎪⎩> 1
a>b>0 a=b a<b
数发散，当 a = b 时此法无法判定。
∑∞
（5）、
2n
nn
n =1
所以 当 a > b 时级数收敛，当 a < b 时级
解： lim
n→∞
n
un
= lim
n→∞
2 =0<1 n
∑∞
所以
2n
收敛。
Sn = 2 − 1 + 3 − 2 + ⋯ + n + 1 − n = n + 1 −1 → +∞
所以发散。
∑ ∑ ∑ ∑ （4）、
∞
1 (
−
ln
n
3 )
，由于
∞
1
与
∞
ln n 3 都是收敛的等比级数，所以
∞
1 (
ln n 3 −)
n=1 4n
3n
n=1 4 n n=1 3n
n=1 4n
3n
收敛。
<
1 an
∑ ∑ ∞ 1
an
n =1
收敛，所以
∞ n =1
1
1 + an
(a
>
0)
收敛。
5
∑ 当
a
≤
1
lim
n→∞
1
1 +a
n
=1≠ 0
∞ n =1
1 1+ an
(a
>ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0)
发散。
2、 用比值审敛法判别下列级数的收敛性
∑∞
（1）、
3n
n=1 n2n
∑ 解： lim un+1
u n→∞ n
=
3n+1
lim
nn
n =1
∑ 解： lim un+1
u n→∞ n
=
2n+1 ⋅ (n + 1)! n n
lim
n→∞
(n + 1) n+1
⋅ 2n n! =
2 e
∞
< 1 所以
n =1
2n ⋅ n! 收敛。 nn
∑ （4）、 ∞ n tan π
n =1
2 n+1
解： lim un+1 u n→∞
n
π
=
lim (n + 1) tan
∞
un
n =1
的前 n 项的部分和为 Sn
=
2n , n n +1
= 1,2,3,⋯
求：（1） un
∞
∑ （2）判断 un 是否收敛
n =1
解答：（1）、 un
=
Sn
−
S n−1
=
2n n +1
−
2n − n
2
=
2 n(n + 1)
∑ （2）、由于
lim
n→∞
S
n
=
lim
n→∞
2n n +1
=
2
，所以
（1）、 − 8 9
+
82 92
−
83 93
+ ⋯⋯ + (−1)n
8n 9n
解：是等比级数，公比小于 1，收敛。
∞
（2）、 ∑[a + (n −1)b] (a > 0,b > 0)
n =1
解：由于
lim
n→∞
an
=
∞
≠
0 ，所以发散
∞
（3）、 ∑
1
n=1 n + 1 + n
解： an = n + 1 − n
4
7
∑ ∑ 解： lim ln n n 6 = 0 而 ∞ 1 收敛，所以 ∞ ln n 收敛。
1 n→∞ 4 n3
7
n n=1 6
4
n n=1 3
∑ （5）、
∞ n =1
1 ( 1
+ +
n2 n3
)2
∑ ∑ 解：
lim
1 (
+
n2
)2
•
n2
=1
而
∞
1
收敛，所以
∞
1 (
+
n
2
)
2
收敛。
n→∞ 1 + n3
n→∞ 1
n=1 n
n=2
n
∑∞
（9）、
1+ n
n=1 1 + n 2
解： lim
1+ n
n •
=1
n→∞ 1 + n 2 1
∑ ∑ ∞ 1 发散，所以 ∞ 1 + n 发散。
n=1 n
n=1 1 + n 2
∑∞
（10）、
1 (a > 0)
n=1 1 + a n
解：当 a > 1
1 lim n→∞ 1 + a n
∞ n =1
un
收敛。
习题 10.2 解答 1、 用比较审敛法判别下列级数的收敛性
∑ （1）、
∞ n =1
(2n
1 − 1)2n−1
∑ ∑ 解：
1
< 1 而 ∞ 1 收敛，所以 ∞
1
收敛。
(2n − 1)2n−1 2n n=1 2n
n=1 (2n − 1)2n−1
∑ （2）、 ∞ sin π
n =1