平面2R机械臂运动学分析

文 献 标 识 码 ：A
〇 引言 在 实 际 工 程 领 域 ，很 多 应 用 场 合 下 不 总 是 需 要 多
自由度机器人的复杂运动，因此自由度少、结 构简单、 经济实用的串联机构早已引起国内外研究者的浓厚兴 趣 。随着科技的进步，人们涉足的领域越来越广，这就 必然要求我们对知识和理论不断进行创新[1]。 目前， 机 器 人 的 运 动 学 分 析 有 两 个 问 题 需 要 解 决 ：运 动 学 正 问题，即根据关节位移、速 度 、加速度和臂长求末端点 的运动状态;动力学逆问题，即已知末端点运动轨迹和 臂长求解对应的关节位移、速度和加速度[2]。平 面 2R 串 联 机 械 臂 的 运 动 学 分 析 至 关 重 要 ，它 可 以 为 多 自 由 度的复杂结构机器人的运动学分析、动力学分析、轨迹 规划和控制方法的研究提供理论基础。 1 平 面 2R 机械臂结构
将 平 面 2R 机械臂机构简化为数学模型并建立坐 标 系 ，如 图 2 所 示 。
图 2 中，贫 和兔均为矢量，规定逆时针方向为正，顺时
针方向为负。贫>〇 为逆时针方向，氏<〇 为顺时针方向。 在 平 面 2R 机械臂机构的坐标系中，坐标 系 {2}的
原点和坐标系{〇}的原点不重合，坐标系{2}的方位和
2018年 第 1 期
将复合变换写成矩阵形式：
° P = l T 2p .
(2)
其 中 ：齐 次 变 换 矩 阵 纟 T 是 4 X 4 方 阵 ：
〇T = r ^
°m _
2 L〇 〇 〇 1 _
依 据 D e n a v i t -H t e n b e r g 法 ，用 4 X 4 的 齐 次 变 换 矩 阵 描 述 相 邻 两 连 杆 的 空 间 关 系 ，得 到 平 面 2 R 机 械
摘 要 ：为 了 研 究 平 面 2R 机 械 臂 各 连 杆 的 位 移 关 系 和 速 度 关 系 ，将 机 械 臂 看 作 一 个 开 式 运 动 链 ，开链的一端
固定在基座上，另一端是自由的，它是由连杆通过转动关节串联而成的，关 节 的 相 对 运 动 导 致 连 杆 的 运 动 ，
使 末 端 到 达 所 需 的 状 态 。在 每 个 连 杆 上 固 接 一 个 坐 标 系 ，然 后 描 述 这 些 坐 标 系 之 间 的 关 系 ，通过齐次变换矩
p R p p °
=2
2 ~\~°
2〇 2 •
(1)
式a )可以看成是坐标旋转和坐标平移的复合变。
收稿日期： 2017- 06- 2 2 ; 修订日期： 2017- 11-20 作者 简 介 ：黄 健 （1991-)，男 ，湖北随州人，在读硕士研究生，研究方向为机器人技术。
• 46 •
机械工程与自动化
平 面 2R 机 械 臂 主 要 由 基 座 、大 臂 和 小 臂 组 成 。 基 座 固 定 不 动 ，它 的 作 用 是 固 定 机 械 臂 ，保持整个机械 臂 稳 定 。大 臂 是 通 过 大 臂 关 节 和 底 座 连 接 的 ，它们之 间 构 成 转 动 副 。小 臂 是 通 过 小 臂 关 节 和 大 臂 连 接 的 ， 它们之间构成转动副，小臂末端通常会和手爪连接，整 个机械臂在平面内有两个自由度[3]。平 面 2R 机械臂 结构如图1 所示。 2 平 面 2R 机械臂的运动学正解
第 1 期 （总 第 2 0 6 期 ） 2018年 2 月
机械工程与自动化
MECHANICAL ENGINEERING &. AUTOMATION
No. 1 Feb.
文 章 编 号 ：1672-6413(2018)01-0045-03
平 面 2R 机械臂运动学分析
黄 健 ，李占贤
(华 北 理 工 大 学 河 北 省 工 业 机 器 人 产 业 技 术 研 究 院 ，河 北 唐 山 063210)
_0
〇 〇 1_ _ 0
〇 〇 i_
-cos<9lcos这一sir^ sin这 一 cos<5lsin这一sir^ cos<92 〇 L xcos^
sir^ cos<92+ cos<9lsin这 一 sir^ sin<92+ cos<9lcos<92 〇 L xsin^
臂 的 连 杆 参 数 ，如 表 1 所 示 。 表 1 平 面 2R机械臂的连杆参数
连 杆 序 号 f L ^i —1
«i- i
di
〇i
关节变量范围
1
0
0°
0
di
2
Li
0°
0
〇2
汐2 6 (—丌，〇)
表 1 中 ，^ - : 表 亦 连 杆 z'— 1 的 长 度 ；^ - : 表 亦 连 杆
的 扭 角 A 表 示 L h 与 轴 线 ^的 交 点 到 L 与轴线
的 交 点 的 距 离 ，沿 轴 线 〖 测 量 A 表 示 与 之 间
的 夹 角 ，绕 轴 线 〖 由 到 测 量 。
根 据 表 1 中 的 参 数 ，可 得 到 连 杆 变 换 矩 阵 ：
~ COS〇i —sin^ 〇 〇-
~ COS〇2 —sin<92 〇 L r
sin^ cos<9l 〇 〇
阵 和 雅 克 比 矩 阵 分 别 求 解 运 动 学 正 逆 解 。结 果 表 明 ：连 杆 杆 长 、关 节 角 度 会 决 定 末 端 点 位 姿 ；末端点的运动
状态也会联动影响关节角度和角速度。
关 键 词 ：机 械 臂 ；运 动 学 分 析 ；齐 次 变 换 ；雅克比矩阵
中 图 分 类 号 ：T H 113. 2+2
坐 标 系 {〇}的 方 位 也 不 相 同 。本文用位置矢量°仍〇2 描 述 坐 标 系 {2}的 原 点 相 对 于 坐 标 系 {0}的 位 置 ，用旋转
矩 阵 ⑶ 描 述 坐 标 系 {2}相对于坐 标 系 {0}的方位。则
任 意 一 点 P 在两个坐标系{〇}和 {2 }中的描述°》和、
具有以下变换关系：
sin<92 co sd 2 〇 〇
〇 〇 1〇
〇 〇 1〇
_0
〇 〇 1_
_0
〇 〇 i_
根据变换矩阵的乘法公式可知:
T 〇
=
〇T i T
^
_cos贫 —sin^ 〇 〇- ~ COS〇2 —sin<92 〇 L r
sin^ cos<9l 〇 〇 sin<92 c o s d 2 〇 〇
〇 〇 1〇 〇 〇 1 〇