线性系统的能控性和能观性

3.约当规范型矩阵
若A是约当阵，且B阵中与每个约当块最后一行相对应 的行的元素不全为零，则系统可控。反之为零一行所 对应的状态不可控。
例.判断能控性
• 4 1. x 0
0 5
x1 x2
12u
7 0 0 2
•
2. x
0
5
0
x
0
0 0 3 7
1 1 0 4 2
3.
•
x
0
e3t
0
te3t
e3t
t
x(t) e At x(0) e A(t )Bu( )d
0
x1(t)
x2
(t
)
e3t
0
te3t e3t
x1(0)
x2
(0)
t 0
e 3(t
0
)
(t
)e3(t e3(t )
)
10u(
)d
t
x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
0
t
x2 (t) e3t x2 (0) e3(t )u( )d
0
t
y(t) x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
可见：1.两个状态变量中均有输入的作用，可0 控
2.输出中有两个状态变量的出现，输出可以反映初始状态，可测
例.如图所示，1、2表示蓄水池，u1、u2表示输入流量，R1、 R2液阻，H1、H2液面高度A1、A2截面积，问 （1）仅用一个调节阀，应放在何处？ （2）仅用一个液位计，应放在何处？
Z (S ) U (S )
S
2.5 1
S2
1 1.5S
2.5
Z (S ) U (S )
S2
1 1.5S
••
•
, z1.5 z
2.5
2.5z
u(t)
•
x1 z, x1 x2
••
x2 z, x2 2.5x1 1.5x2 u
• 0 1 0 x 2.5 1.5 x 1u
Y (S ) Z (S )
3.可控性和可观性深刻揭示了系统的结构性质， 是最优控制的基础
第二节 线性系统的能控、能观性判据
一.能控性判据
设系统为：
•
x Ax Bu, y Cx
1若.秩ra判nk据[QcQ]=c nB，即ABI
A2 B A 0
•••
An1B
满秩，则系统可控。
2.对角规范型矩阵
若A是对角阵，且B阵中无全为零的一行，则系统可控。 反之为零一行所对应的状态不可控。
线性系统的能控性 和能观性
第一节 概述
一.能控性 一个系统如果能用一个无约束的控制信号，在有限的时间间
隔t0≤ t ≤ tf 内，使系统从初始状态转移到任一终端状态，则 该系统在t= t0时是可控的。 说明：1.无约束的控制信号 2.初始状态、终端状态 3.只关心能否达到，不关心轨迹 4.时间间隔主要针对时变系统 5.可控性就是分析输入对系统状态的控制能力，若所有状态均 可控，则该系统为能控系统。
1
0
x
0
0
0 0 2 3 0
二.能观性判据
设系统为：x• Ax Bu, y Cx
1.秩判据
Q0 C CA CA2 • • • CAn1 T
若rank[Q0]=n，即I A 0 满秩，则系统可观。 2.对角规范型矩阵
若A是对角阵，且C阵中无全为零的一列，则系统可 控。反之为零一列所对应的状态不可控。
S
2.5 1
,
y
•
z
2.5z
2.5x1
x2
y 2.5 1x
Qc B
AB
0 1
1 C 2.5 1 1.5,Q0 CA 2.5 1
例.系统如下，判断可控、可观性并求x(t)
• 3
x
0
0 3
x
0 1u,
y
1
0x
（1）判断可控、可观性。A是约当阵，故可观但可控。
（2）求x(t)
e At
1 1 0 4 2
3.
•
x
0
0
1
0
x
0
0
0 2 3 0
,
0 3 0 y 1 0 2
三.能控、能观性与系统传递函数的关系
1.若系统传递函数G(S)无零极点对消，则系统总是可控、 可观的。
2.若系统传递函数G(S)有零极点对消现象，则系统系统 一定存在不可控或不可观。
四.能控、能观性德对偶原理
二.能一观个性系统，如果在有限的时间间隔t0≤ t ≤
tf 内，系统的每一个初始状态x(t0)均可由输 出y(t)来确定，则该系统在[ t0 ， tf ]内是可 控的。
说明：
1.时间间隔主要针对时变系
2.可观性是分析输出对状态的反映能力，因为 任一时刻的状态均是由初态经状态转移矩阵变 换得到的
• 0 1 1 x 2.5 1.5 x 1u
Y (S ) Z (S )
S
2.5 1
,
y
•
z
2.5z
2.5x1
x2
y 1 0x
Qc B
AB
1 1
1 C 1 1,Q0 CA 0
0 1
(2)利用“传递函数的直接法”建立状态空间表达式
Y (S ) U (S )
Y (S ) Z (S )
3.约当规范型矩阵
若A是约当阵，且C阵中与每个约当块首列相对应的 列元素不全为零，则系统可控。反之为零一列所对应 的状态不可观。
例.判断能观性
• 4 1. x 0
0 5
x1 x2
12u
,
y 0 6x
7 0 0 2
•
2. x
0
5
0
x
0
,
0 0 3 7
0 3 0 y 1 0 2
例.已知系统为
••
•
•
y1.5 y 2.5y u 2.Байду номын сангаасu
解（1）利用“微分方程中输入项有微分项”方法建 立状态空间表达式
n 2, a0 2.5, a1 1.5, b0 2.5, b1 1, b2 0
0 b2 0, 1 b1 a10 1, 2 b0 a11 a00 1,
1.对偶关系 一个系统为：
另一个系统为： 若满足：
则称连个系统对偶
•
1: x1 A1x1 B1u1 , y1 C1x1
•
2 : x2 A2 x2 B2u2 , y2 C2 x2
A2 A1T
B2 C1T
C2 B1T
2.对偶原理：若S1与S2对偶，则S1的能控性等价于S2能观性， 则S1的能观性等价于S2能控性，且两个系统的特征根相同
解（1）建模
•
1: u1 q2 q1 A1 h1
•
2 : u2 q2 A2 h2
q1
gh1
R1
h1 R1
q2
gh2
R2
h1 R1
•
h1
1 A1
u1
h2 R2
h1 R1
•
h2
1 A2
u2
h2 R2
x1 h1
•
x1
1 A1
x1 R1
x2 R2
u1