金融学原理 第3章 货币的时间价值

n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
当利率一定时，年限越长，终值和终值系数越高； 当年限一定时，利率越高，终值系数越高。
72法则
该法则表明，在每年复利一次时，终值比现值 翻一倍的年限大致为72除以年利率的商再除以 100 。
72 利率
翻倍的年限=
100
3.2.2年金终值
什么是年金？


以
rr 表示实际利率 r n 表示名义利率
p 表示一般物价水平的上涨率
实际利率为：

rr rn p
利息税对实际利率的影响

以
r at 表示税后实际利率
t 表示利息税税率
r n 表示名义利率 p 表示一般物价水平的上涨率
则税后实际利率为：
rat rn (1 t ) p
1 1 r 1 1 r 1 1 r 1 1 r
P V P M T [(
)(
) (
2
) (
3
) ]
n

按等比数列求和得到：
1 PV PM T 1 r [1 ( 1 1 1 r 1 ) ]
n
1 r

化简后得到：
PV PM T 1 (1 r ) r
3.3.2年金现值
如果你有这样一个支出计划：在未来五年里， 某一项支出每年为固定的2000元，你打算现在 就为未来五年中每年的这2000元支出存够足够 的金额，假定利率为6%，且你是在存入这笔资 金满1年后在每年的年末才支取的，那么，你 现在应该存入多少呢？
根据题意知，这是一种普通年金。 i 设第 年末支取的 2000 元年金的现值为PVi ，根据终值公式，分别得到如下关系式：

这种利息所得税对税后实际利率的影响叫达比效应
3.2 复利与终值的计算
现值：未来的现金流按一定的利率折算为现在 的价值。 终值：一定金额的初始投资（现值）按一定的 复利利率计息后，在未来某一时期结束时它的 本息总额。

3.2.1复利与终值
假定你存入10000元，年利率为10%，按复利 计算，五年后的终值计算如下：
PV PV I 2000 (
I 1 5
1 1 1 1 1 ) 1.06 1.06 2 1.06 3 1.06 4 1.06 5
1 1 5 [1 ( ) ] 1.06 1.06 2000 1 1 1.06 8424.73
计算年金现值的一般公式：

设普通年金为PMT，年利率为r，年限为n,每年 计息1次，则这一系列未来年金的现值为：
10000 [(1 6%) 1 (1 6%) 2 (1 6%) 2 (1 6%) 4 (1 6%) 5 ]
10000
1 .0 6 (1 1 .0 6 )
5
1 1 .0 6
5 9 7 5 3 .9 7
年金终值的计算

设即时年金为PMT，利率为r，年限为n，每年 计息一次，则年金终值的计算公式如下：
根据前面的终值公式，可以得到各年存入账户的终值如下： 第一年： 10000 (1 6%) 5 第二年： 10000 (1 6%) 第三年： 10000 (1 6%)
4
3
10000 (1 6%) 2 第四年： 10000 (1 6%) 1 第五年：
将各年存入金额的终值相加，就得到第五年结束时你的账户上的余额：
n
3.3.3永续年金现值
永续年金就是永远持续下去没有最终日期的年 金。我们无法计算永续年金的终值，但是，却 可以计算它的现值。
一系列均等的现金流或付款称为年金。最现实的 例子包括： 零存整取 均等偿付的住宅抵押贷款 养老保险金 住房公积金
年金分为： 即时年金。所谓即时年金，就是从即刻开始就 发生一系列等额现金流，零存整取、购买养老 保险等都是即时年金。 普通年金两种。如果是在现期的期末才开始一 系列均等的现金流，就是普通年金。例如，假 定今天是3月1日，你与某家银行签订了一份住 宅抵押贷款合同，银行要求你在以后每个月的 25日偿还2000元的贷款，这就是普通年金。
一年多次复利时的终值计算公式：
一般地，设： 每年计息m 次， r 为年利率 在第 n 年结束时的终值计算公式为：
r mn FV PV (1 ) m r mn 将 (1 ) 称作终值系数。 m
1元现值在不同利率及不同年限下的终值变化表（终值表） ：
年限 利率：r 1% 1.0100 1.0201 1.0303 1.0406 1.0510 1.0615 1.0721 1.0829 1.0937 1.1046 1.1157 1.1268 2% 1.0200 1.0404 1.0612 1.0824 1.1041 1.1262 1.1487 1.1717 1.1951 1.2190 1.2434 1.2682 4% 1.0400 1.0816 1.1249 1.1699 1.2167 1.2653 1.3159 1.3686 1.4233 1.4802 1.5395 1.6010 6% 1.0600 1.1236 1.1910 1.2625 1.3382 1.4185 1.5036 1.5938 1.6895 1.7908 1.8983 2.0122 8% 1.0800 1.1664 1.2597 1.3605 1.4693 1.5869 1.7138 1.8509 1.9990 2.1589 2.3316 2.5182 9% 1.0900 1.1881 1.2950 1.4116 1.5386 1.6771 1.8280 1.9926 2.1719 2.3674 2.5804 2.8127 12% 1.1200 1.2544 1.4049 1.5735 1.7623 1.9738 2.2107 2.4760 2.7730 3.1058 3.4785 3.8960 18% 1.1800 1.3924 1.6430 1.9388 2.2878 2.6996 3.1855 3.7589 4.4355 5.2338 6.1759 7.2876
第3章 货币的时间价值
3.1 货币的时间价值及其计量
3.1.1 什么是货币的时间价值
货币的时间价值就是指当前所持有的一定 量货币比未来持有的等量的货币具有更高 的价值。 货币的价值会随着时间的推移而增长。

货币的时间价值源于
现在持有的货币可以用于投资，获取相应的投 资收益 物价水平的变化会影响货币的购买力，因而货 币的价值会因物价水平的变化而变化。当物价 总水平上涨时，货币购买力会下降；反之，当 物价总水平下跌时，货币的购买力会上升。 一般来说，未来的预期收入具有不确定性。
PV1 (1 6%) 2000
PV 2 (1 6%) 2 2000 PV3 (1 6%) 3 2000 PV 4 (1 6%) 4 2000 PV5 (1 6%) 5 2000
你现在所要存入的金额就是未来五年中每年支取的 2000 元的现值的和，即：
10% 3 10% 10% 4 ) (1 ) 10000 (1 ) 12155.1 2 2 2
在第二年年中时的本利总额为：
10000 (1
第二年年末的本利总额为：
10000 (1
依次类推，到第五年结束时的本利总额为：
10000 (1 10% 10 ) 16288.9 2
第一年结束时，现值 10000 元的存款的终值为：
10000 (1 10%) 11000
在第二年结束时，本息余额，即第二年结束时的终值为：
10000 (1 10%) (1 10%) 10000 (1 10%) 12100
2
依次类推，到第五年结束时的终值为：
10000 (1 10%) 5 16105.1

设你现在应该存的金额为PV，10万元的首付款实际上 就是你现在存入的这笔钱在三年后的终值，根据终值 计算公式，有等式： – PV × (1+6%)3 = 100 000

从而解得：PV = 83 961.93
即你现在只需存入83 961.93元就可以满足购房时的首 付要求了。
计算现值的一般公式：
累计 5000 464.1
终值计算的一般公式：
设： PV ：现值 FV ：终值 r ：利率 n ：年数 在每年计息一次时，就可以按照下列公司计算终值：
FV PV (1 r )
n
每年多次计息时的终值：
假定你存入 10000 元钱，每半年复利计息一次，年利率为 10%。终值计算为： 在第一年年中时，本利总额为：
(1 r ) [1 (1 r ) ]
n
FV PM T
1 (1 r )
n
PM T
(1 r ) [ (1 r ) r
1]
普通年金的终值计算

由于即时年金的每笔现金流比普通年金要多获得1年的 利息，所以，即时年金的终值为普通年金的（1+r）倍。 即时年金的终值除以（1+r）就可以得到普通年金的终 值。普通年金的终值为：
10000 10000 10% 10% 10000 (1 ) 10500 2 2
第一年结束时的本利总额为：
10000 (1 10% 10% 10% 2 ) (1 ) 10000 (1 ) 11025 2 2 2 10% 2 10% 10% 3 ) (1 ) 10000 (1 ) 11576.3 2 2 2
FV PM T
(1 r ) r
n
1
3.3 现值与年金现值
3.3.1 现值与贴现
假定你打算在三年后通过抵押贷款购买一套总 价值为50万元的住宅，银行要求的首付率为 20%，即你必须支付10万元的现款，只能从银 行得到40万元的贷款。设三年期存款利率为 6%，为了满足三年后你购房时的首付要求， 你现在需要存入多少钱呢？
存入10000元，年利率为10%时的终值变化情况：
年 1 2 3 4 5
期初余额 10000 11000 12100 13310 14641
新增利息 1000 1100 1210 1331 1464.1
期末余额 11000 12100 13310 14641 16105.1
利息变动情况：
年 本 金 第一年所 第二年新 第三年新 第四年新 单利 新 增 得单利的 增单利的 增单利的 增单利的 累积 单利 1 2 3 4 5 1000 1000 100 1000 110 1000 121 1000 133.1 100 110 121 331 100 110 210 100 100 复利 复利 复利 复利 1000 2000 3000 4000 5000 0 100 310 641 1105.1 6105.1 复利 总计 单 利 复 利 总计

3.1.2 货币时间价值的计量

单利
– 所谓单利就是不对本金产生的利息再按一定的利率 计算利息。

复利
– 即对本金产生的利息在本金的存续期内再按相同的 利率计算利息。
名义利率与实际利率
名义利率就是以名义货币表示的利率。 实际利率为名义利率与通货膨胀率之差，它是 用你所能够买到的真实物品或服务来衡量的。
在时间轴上分即时年金与普通年金
1
2
3
4
5
●
500
●
500 500
●
500 500
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
●
500 500
●
即时年金 500 普通年金
年金终值的计算
年金终值就是一系列均等的现金流在未来一段 时期的本息总额。 以在银行的零存整取为例，假定你现在招商银 行开了一个零存整取的账户，存期5年，每年 存入10000元，每年计息一次，年利率为6%， 那么，到第五年结束时，你的这个账户上有多 少钱呢？ 这实际上就是求你的零存整取的年金终值，它 等于你各年存入的10000元的终值的和。

一般地，设利率为 r ，现在为PV，年限为n，每年的复 利次数为m，则有：
(1
1
PV
FV r m )
n m

我们将 值。
(1
r m
)
n m
称为现值系数，它表示在未来若干
年后，终值为1元，每年复利m次，利率为r时的现在的价
1元终值的现值变化表
在金融学中，通常将现值的计算称为贴现，用 于计算现值的利率称为贴现率。