初中数学新定义运算题解析

初中数学新定义运算题解析
福建省泉州市永春吾峰中学张锦汉
一、说知识点：
本节的知识点部分是华师大版《数学》八年级下册第16章第17页的阅读材料，属于一种新定义运算题，在中考、竞赛中经常出现，能较全面地考查学生解决问题的能力。

二、说目标：
新定义运算作为新课标所引来的一种新题型，根据课程标准的要求，结合学生实际特征，通过观察和动手操作，经历和体验变化过程，培养实验操作的能力，主动探究，敢于实践，勇于发现，合作交流。

三、说教法：
数学是一门培养人的思维活动的课程。

要使学生“知其然，知所以然”。

体现知识的认知规律，对于新定义运算题，我由华师大版《数学》八年级下册第16章第17页的一小段阅读材料，引申出了新定义运算的三种类型，定义一种新法则; 定义一种新数; 定义一种新图形。

一一举例说明，并引适当的中考题，加以比较。

四、说学法：
数学做为基础教育的核心课程之一，转变学生的学习方式，不仅有助于提高学生的数学素养，还有助于培养学生整体学习方式的转变。

本课我注重探索研究的学习方式，根据认知水平，以及十几年的教学经验，根据往年的中考出题习惯，以华师大版《数学》八年级下册第16章第17页的阅读材料，引出中考新定义运算的几种常见类型，并讲解试题的分析过程，解决过程，试题的变式分析，试题的价值及反思，
五、说过程：
新定义运算的特点是给出新的一种定义，再提出新的问题，通过实验、探究、猜想、在新概念下解决新的问题。

新定义运算的几种常见类型：（1）定义一种新法则; （2）定义一种新数;
（3）定义一种新图形。

本次说课主要是通过定义一种新法则; 定义一种新数; 定义一种新图形;三种为主线一一阐述，具体如下：
类型一：定义一种新法则
例1：华东师范大学出版的《数学》八年级下册第16章第17页的一点内容：
你知道吧吗
The symbol 5! is called five factorial(阶乘)and means 5·4·3·2·1；thus5!=120.
What’s the result of
!)!1(n n -Do you know
【学找切入点】5!=5×4×3×2×1，引伸到（n-1）!，n!
【解】由于n!=n×（n ﹣1）×（n ﹣2）×…×2×1;
（n-1）!=（n ﹣1）×（n ﹣2）×…×2×1
所以!)!1(n n -=()()()()()()123321123321n n n n n n n ---⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯---⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=1n
【拓展延伸】课本只给出了，5!=120.在解决这个问题，在上课的过程中我先引入如下的例题：
先问学生2!、3!、4!、5！各个值是多少后书写如下的例题并做适当的延伸。

例2：规定：2!=2×1；3!=3×2×1；4!=4×3×2×1，…，n!=n×（n ﹣1）×（n ﹣2）×…×2×1，即称n!为n 的阶乘．
（1）计算： =！！35 ；（2）计算：= ；（3）计算：!
)!1(n n -= ；
（4）当x=6是一元二次方程
的一个根，求k 的值． 【答案】（1）20，（2）9900，（3）n 1（4）k=3
10 【分析】（1）由于n!=n×（n ﹣1）×（n ﹣2）×…×2×1分别求出5!和3!，然后即可求解；
（2）由于n!=n×（n ﹣1）×（n ﹣2）×…×2×1分别求出100!和98!，然后即可求解；
(3)由于（n-1）!=（n ﹣1）×（n ﹣2）×…×2×1; n!=n×（n ﹣1）×（n ﹣2）×…×2×1; 然后即可求解；
(4)首先先求出8!，6!然后把x=7当然方程计算即可求出k ．
解答：（1）依题意得
=！！35=⨯⨯⨯⨯⨯⨯1231234520 （2）依题意==9900；
（3）由于n!=n×（n ﹣1）×（n ﹣2）×…×2×1;
（n-1）!=（n ﹣1）×（n ﹣2）×…×2×1
所以!)!1(n n -=()()()()()()123321123321n n n n n n n ---⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯---⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=1n
（4）把x=6 代入
得， 62+6k ﹣56=0，
∴6k=20，
∴k=3
10． 【命题意图】出这个题的目的是，结合基础知识，考查数学思维方法。

循序渐进，发展学生的应用意识。

【试题的价值及反思】试题能多方位的考查学生，各方面的综合运用能力。

解题时首先正确理解题意，然后根据题目隐含的规律计算即可求解．此题主要考查了数字变化的规律，也考查了一元二次方程的解。

新定义运算中的定义一种新的规则是中考的一个考点，一个亮点。

【变式题组】1.已知：3212323=⨯⨯=C ，1032134535=⨯⨯⨯⨯=C ，154
321345646=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C ，…， 观察上面的计算过程，寻找规律并计算410C = ．
【变式分析及解答】410109872101234
C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯
【试题的价值及反思】考查学生分析解决问题的能力，在较短的时间内通过阅读来解决问题。

类型二：定义一种新数
例3：当任意一对数(),a b 进入其中时，会得到一个新数：221a b +-，例如把（1，﹣2）放入其中，就会得到12+2×（﹣2）﹣1= ﹣5．现将一对数（﹣3，﹣1）放入其中，得到的数是（??? ）．
【学找切入点】3,1a b =-=-代入221a b +-求解
【解】把（-3，-1）代入221a b +-=()()2
32119216-+⨯--=--= 【答案】6
【命题意图】考查学生的有理数平方的运算，特别是这个有理数是负数时的注意事项。

【试题的价值及反思】新定义运算中的定义一种新的规则是中考的一个考点。

能够考查学生 的阅读能力和解决问题的能力，并能进行认真的计算。

【变式题组】2.（2012，南平中考）设[)x 表示大于．．x 的最小整数，如[)3＝4，[)2.1-＝－1，
则下列结论中正确．．
的是 ．（填写所有正确结论的序号） ① [)00=； ② )[)f x x x =-的最小值是0；
③ )[)f x x x =-的最大值是1； ④ 存在实数x ，使
)[)f x x x =-＝成立. 【变式分析】
解：①[0）=1，故本项错误；
②[x ）-x ＞0，但是取不到0，故本项错误；
③[x ）-x≤1，即最大值为1，故本项错误；
④存在实数x ，使[x ）-x=成立，例如x=时，故本项正确．
故答案为④．
类型三：定义一种新图形
例4：如下图由于这些数能够表示成三角形，将
其称为三角形数，下列属于三角形数的是（ ） （A ）75 （B ）65 （C ）60 （D ）55
【学找切入点】根据所给的图中的三角形数的数值，可以得到第n 个图的三角形数的个数是()12
n n +，再利用此公式进行计算。

【解】第1个图的数是1，第2个图的数是3，第3个图的数是6，第4个图的数是10，…
第n 个图的数是()12n n +，所以第10个图的数是1011552
⨯=。

【答案】D
【命题意图】考查学生观察图形，得出规律，并能准确地运用规律，得到答案。

【试题的价值及反思】本题主要考查的是数字的变化，图形的变化，学生应该通过观察、分析、得到规律，再通过发现的规律来解决问题。

在中考中有着很强的实际考查作用。

【变式题组】3.如下图
图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是
（A ）15 （B ）25 （C ）55 （D ）1225
【变式分析】本变式题组，除了三角形数，还有正方形数，难度明显加大了。

在解决本题中，
除了要分析三角形数的第n 个图的数是()12
n n +，正方形数的第n 个图的数是2n 。

2149501225,3512252
⨯⨯==，所以选择D.
【变式题组】4.（2007，泉州中考）图（1）是一个黑色的正三角形，顺次连结它的三边的中点，得到如图（2）所示的第2个图形（它的中间为一个白色的正三角形）；在图（2）的每个黑色的正三角形中分别重复上述的作法，得到如图（3）所示的第3个图形．如此继续下去，则在得到的第6个图形中，白色的正三角形的个数是 ．121
图（1） 图（2） 图（3）
【变式分析】根据图形，探索可以得到后一个三角形中白三角形的个数=前一个三角形的白三角形个数+前一个三角形的黑三角形个数．
解：设白三角形x 个，黑三角形y 个，
则：n=1时，x =0，y =1；
n=2时，x =0+1=1，y =3；
n=3时，x =3+1=4，y =9；
n=4时，x =4+9=13，y =27；
n=5时，x =13+27=40，y =81；
当n=6时，x =40+81=121．
所以白的正三角形个数为：121
【试题的价值及反思】本题为开放性题，让学生寻找规律，难度较大，是一道非常典型的中考题。

在中考中经常类似出现。

【变式题组】5.（2008，泉州中考）四边形ABCD 为边长等于1的菱形，顺次连结它的各边中点组成四边形EFGH （四边形EFGH 称为原四边形的中点四边形），再顺次连结四边形EFGH 的各边中点组成第二个中点四边形，……，则按上述规律组成的第八个中点四边形的边长等于_____________。

116
【变式分析】本变式题组,结合图形找规律，第2，4，6，8个中点图形为菱形，第1
个菱形……
的边长为1
2
，第2个菱形的边长为
1
4
，第3个菱形的边长为
1
8
，第4个菱形的边长为
1
16
，…
第n个菱形的边长为1
2n
，所以第8个菱形的边长为
1
16
1
16
【试题的价值及反思】本题为开放性题，让学生先画图形，再根据图形来找规律，巧妙考查了中考中有关菱形的性质和三角形的中位线。

思维发散，是个不可多得的好题。

新定义运算中的定义一种新的图形是中考的一个考点，一个亮点。

以上是我对《初中数学新定义运算题解析》一课的说课，不当之处请各位评委、老师批评指正，谢谢。