decidability一个逻辑系统的一个理论
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China 2009 1
课程时间表Schedule
China 2009
2
讲座3：描述逻辑的可判定性 与复杂性 Lecture 3: The Decidability and the Complexity of Description Logics
• • • • •
China 2009
为什么可判定性是重要的？ 描述逻辑的可判定性 描述逻辑的tableau算法 计算复杂性理论导论 描述逻辑的复杂性
China 2009
7
一些逻辑系统的判定性
• 命题逻辑是可判定的
Propositional logic is decidable
• 一般来说，一阶谓词逻辑是不可判定的。 First-order logic is not decidable in general; in particular, the set of logical validities in any signature that includes equality and at least one other predicate with two or more arguments is not decidable. • 二阶逻辑也是不可判定的
14
描述逻辑的推理算法
• Tableau algorithms used to test satisfiability (consistency) • Try to build a tree-like model of the input concept C • Decompose C syntactically
China 2009
6
逻辑系统和可判定性 Logics and decidability
• 一个逻辑系统是可判定的 当且仅当存在着一个 有效的方法来决定任意一个公式是否是该逻辑系 统的一个定理 • A logical system is decidable if there is an effective method for determining whether arbitrary formulas are theorems of the logical system. • 思考： 这个定义同上页中的定义有什么不同？
3
逻辑研究的几个步骤
• 提出一个逻辑系统（句法，语义，与公理 系统） • 证明其公理系统的正确性（soundness） • 证明其公理系统的完备性（completeness） • 证明其关问题的可判定性（decidability） • 证明其关问题算法的复杂性（complexity） (并说明其是否具有易处理性tractability）
second-order logic, is also undecidable.
China 2009 8
一些可判定的一阶谓词逻辑 Fragment
• ◮
China 2009
9
固定变元的一阶逻辑 Fixed Variable FO
China 2009
10
二变元一阶谓词逻辑FO2
二变元一阶谓词逻辑FO2具有有限模型性，故是可 判定的（Mortmer 1975）
China 2009 4
为什么可判定性是重要的？
• 可判定性给出了一个计算上的特征指 标，来判定是否存在着一个有效的算 法来解决特定的问题。 • 不可判定性则表明寻找解决该类问题 的有效算法是徒劳的。
China 2009
5
算法与可判定性
Algorithm and Decidability
• 可判定性(decidability): 一个逻辑系统的一个理论（即一个逻辑封闭 的公式集）被称为是可判定的， 当且仅当存在着一个有效的方法来 决定任意一个公式是否被包含在这个理论之中 A theory (set of formulas closed under logical consequence) in a fixed logical system is decidable if there is an effective method for determining whether arbitrary formulas are included in the theory. • 计算一个函数值的有效的方法被称为一个算法（algorithm）。 An effective method for calculating the values of a function is an algorithm; functions with an effective method are sometimes called effectively calculable.
• Tableau–based algorithms (推演表算法) • Turned out to be very efficient reasoning algorithms. • Sound, complete and decidable. • Used e.g. in RACER.
China 2009
China 2009
11
描述逻辑的可判定性
• 描述逻辑ALC是可判定的。
China 2009
12
描述逻辑的不可判定性
• 现在你应该知道了为什么uncle关系是 无法用可判定的描述逻辑来定义的了。
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13
DL Reasoning Algorithms
• Structural subsumption algorithms • Subsumption of concepts can be computed. • They are complete for simple languages with little expressivity. • Used by KL-ONE, LOOM and other systems.
语义网的逻辑基础
Logical Foundation of the Semantic Web 主讲： 黄智生 Zhisheng Huang Vrije University Amsterdam， The Netherlands huang@cs.vu.nl
助教： 胡伟 Wei Hu
Southeast University whu@
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讲座3：描述逻辑的可判定性 与复杂性 Lecture 3: The Decidability and the Complexity of Description Logics
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为什么可判定性是重要的？ 描述逻辑的可判定性 描述逻辑的tableau算法 计算复杂性理论导论 描述逻辑的复杂性
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一些逻辑系统的判定性
• 命题逻辑是可判定的
Propositional logic is decidable
• 一般来说，一阶谓词逻辑是不可判定的。 First-order logic is not decidable in general; in particular, the set of logical validities in any signature that includes equality and at least one other predicate with two or more arguments is not decidable. • 二阶逻辑也是不可判定的
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描述逻辑的推理算法
• Tableau algorithms used to test satisfiability (consistency) • Try to build a tree-like model of the input concept C • Decompose C syntactically
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逻辑系统和可判定性 Logics and decidability
• 一个逻辑系统是可判定的 当且仅当存在着一个 有效的方法来决定任意一个公式是否是该逻辑系 统的一个定理 • A logical system is decidable if there is an effective method for determining whether arbitrary formulas are theorems of the logical system. • 思考： 这个定义同上页中的定义有什么不同？
3
逻辑研究的几个步骤
• 提出一个逻辑系统（句法，语义，与公理 系统） • 证明其公理系统的正确性（soundness） • 证明其公理系统的完备性（completeness） • 证明其关问题的可判定性（decidability） • 证明其关问题算法的复杂性（complexity） (并说明其是否具有易处理性tractability）
second-order logic, is also undecidable.
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一些可判定的一阶谓词逻辑 Fragment
• ◮
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固定变元的一阶逻辑 Fixed Variable FO
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二变元一阶谓词逻辑FO2
二变元一阶谓词逻辑FO2具有有限模型性，故是可 判定的（Mortmer 1975）
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为什么可判定性是重要的？
• 可判定性给出了一个计算上的特征指 标，来判定是否存在着一个有效的算 法来解决特定的问题。 • 不可判定性则表明寻找解决该类问题 的有效算法是徒劳的。
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算法与可判定性
Algorithm and Decidability
• 可判定性(decidability): 一个逻辑系统的一个理论（即一个逻辑封闭 的公式集）被称为是可判定的， 当且仅当存在着一个有效的方法来 决定任意一个公式是否被包含在这个理论之中 A theory (set of formulas closed under logical consequence) in a fixed logical system is decidable if there is an effective method for determining whether arbitrary formulas are included in the theory. • 计算一个函数值的有效的方法被称为一个算法（algorithm）。 An effective method for calculating the values of a function is an algorithm; functions with an effective method are sometimes called effectively calculable.
• Tableau–based algorithms (推演表算法) • Turned out to be very efficient reasoning algorithms. • Sound, complete and decidable. • Used e.g. in RACER.
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11
描述逻辑的可判定性
• 描述逻辑ALC是可判定的。
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12
描述逻辑的不可判定性
• 现在你应该知道了为什么uncle关系是 无法用可判定的描述逻辑来定义的了。
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13
DL Reasoning Algorithms
• Structural subsumption algorithms • Subsumption of concepts can be computed. • They are complete for simple languages with little expressivity. • Used by KL-ONE, LOOM and other systems.
语义网的逻辑基础
Logical Foundation of the Semantic Web 主讲： 黄智生 Zhisheng Huang Vrije University Amsterdam， The Netherlands huang@cs.vu.nl
助教： 胡伟 Wei Hu
Southeast University whu@