第五章_马尔科夫预测法

50 P12 0.1 500 300 P22 0.75 400 10 P32 0.1 100
50 P13 0.1 500 80 P23 0.2 400 80 P33 0.8 100
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P11 P12 P13 0.8 0.1 0.1 三、状态转移概率矩阵 P P21 P22 P23 0.05 0.75 0.2 将事件 n 个状态的转移概率依次排列起来，就 P P P 0.1 0.1 0.8 32 33 构成一个 31 N行×N 列的矩阵，这种矩阵就是状态转
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四、初始状态概率向量
记 t 0 为过程的开始时刻，P (0) {(X 0 X (t0 ) i)} i 则称：P(0) ( p (0), p (0),, p (0)) 为初始状态概 率向量。
1 2 N
已知马尔科夫链的转移矩阵 P
(k )
( p ) 以及初
(k ) ij
多步转移概率矩阵，除具有一步转移概率矩阵的性质 外，还具有以下的性质：
(1) P ( n ) P ( n1) P ( 2) P ( n ) P n
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例：
某经济系统有三种状态 E1 , E 2 , E 3（如畅销、一般、 滞销），系统地转移情况见下表，试求系统的二 步状态转移概率矩阵。
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例 1 设味精市场的销售记录共有 6 年 24 个季度的 数据，见表。试求味精销售转移概率矩阵。
季度 销售 状态 季度 销售 状态 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞 畅 滞 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 滞 畅 畅 畅 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
始状态概率向量 P(0)，则任一时刻的状态概率分布 也就确定了：
对 k1 ，记 pi (k ) P{X k i} 则由全概率公式
有：
pi (k ) p j (0) p (jik ) ,
j 1
N
i 1, 2,, N ; k 1
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四、初始状态概率向量
若记向量 P(k ) ( p1 (k ), p2 (k ), , pN (k )) ， 则上式可写为：
马尔柯夫预测法
1
马尔柯夫预测法
• 马尔柯夫（A.A Markov）预测法是应用概 率论中马尔柯夫链的理论和方法来研究随机 事件变化并借此分析预测未来变化趋势的一 种方法。
马尔柯夫链的基本理论 分别介绍基于马尔柯夫链基本理论的状态预测、 市场占有率预测和人力资源结构预测方法。
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§5.1 基本概念
以 p22 表示连续滞销的可能性，同理：
2 p22 22% 9 分子数 2 是表中连续出现滞销的次数。 综上所述，得到销售状态转移概率矩阵为：
p11 P p21 p12 0.5 0.5 0.78 0.22 p22
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三、状态转移概率矩阵
移概率矩阵。
P11 P21 P P N1 P12 P22 PN 2 P1 N P2 N PNN
基本概念
通常，称矩阵 P 就是状态转移概率矩阵，没有特别说明 步数时，一般均为一步转移概率矩阵。 矩阵中的每一行称之为概率向量。
状态转移概率矩阵完全描述了所研究对象的变化 过程。正如前面所指出的，上述矩阵为一步转移概率 矩阵。对于多步转移概率矩阵，可按如下定义给出。 定义 3. 若系统在时刻 t 0 处于状态 i ，经过 n 步转 移，在时刻 t n 处于状态 j 。那么，对这种转移的 可能性的数量描述称为 n 步转移概率。记为
以 p12 表示由畅销转入滞销的可能性，同理： 7 p12 50% 15 1 分子数 7 是表中由畅销转入滞销的次数。 以 p21 表示由滞销转入畅销的可能性，同理：
7 p21 78% 9 分子数 7 是表中由滞销转入畅销的次数，分母数 9 是表中 出现滞销的次数。
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季度
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三、状态转移概率矩阵
状态转移概率矩阵具有如下特征： （1） 0 Pij 1 i , j 1, 2, N （2）
P
j 1
N
ij
1 i 1, 2 , N
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状态转移概率的估算
主观概率法。 （一般是在缺乏历史统计资料或资料不 全的情况下使用的）。
统计估算法。
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n
P11n P12n P1 N n n n n P22 P2 N n P21 P P n P n P n N2 NN N1 ( n) 称 P 为 n 步转移概率矩阵。
P x
n
j x0
P i
n ij
并令
P11n n n P21 P P n N1
P12 P22
n n
PN 2
n
n P2 N n PNN P1 N
• 如：产品质量或替代产品的变化，市场上产品可能由畅销 变为滞销。
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基本概念
二、状态转移概率
• 客观事物可能有 E1 , E2 ,, E N 共 N 种状态，其中每次只能 处于一种状态，则每一状态都具有 N 个转向（包括转向自
身），即
Ei E1 , Ei E2 , , Ei E N 。
基本概念
用状态变量来表示状态：
i 1,2, , N Xt i t 1,2, 它表示随机运动系统，在时刻 t ( t 1,2,)
所处的状态为 i ( i 1,2, N )
• 状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。
P(k ) P(0) P( k ) P(0) Pk
共有24个季度数据，其中有15个季度畅销，9个季度滞销， 现分别统计出连续畅销、由畅销转入滞销、由滞销转入畅销和连 续滞销的次数。 以 p11 表示连续畅销的可能性，以频率代替概率，得： 7 p11 50% 15 1 分子数 7 是表中连续出现畅销的次数，分母中的 15 是表中出 现畅销的次数，因为第24季度是畅销，无后续记录，故应减1。
用“1”表示畅 销 用“2”表示滞 销
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季度
1
23ຫໍສະໝຸດ 4567
8
9
10 11 12
销售 状态
季度 销售 状态
畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞 畅 滞 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 滞 畅 畅 畅 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
• 由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移 可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态 转移概率。
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基本概念
二、状态转移概率
• 概率论中的条件概率：P（AB）就表达了由状态 B 向状态 A 转移的概率，简称为状态转移概率。
• 对于由状态 Ei 转移到状态Ej 的概率，称它为从 i 到 j 的转移概率。记为：
系统本步所处状态 系统下步所处状态 E1 E2 E3
E1
E2 E3
21
16 10
7
8 8
14
12 2
解：得到一步状态转移
P (1) 0.500 0.167 0.333 0.444 0.222 0.334 0.500 0.400 0.100
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例（续）：
二步转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵求出，由公式 P ( n) P n 计算可得：
0.333 0.500 0.167 0.333 0.333 2 0.167 0.334 0.444 0.222 0.334 0.222 0.500 0.100 0.334 0.400 0.100 0.400 2 0.100 0.333 0.254 0.255 0.334 0.257 0.255 0.100 0.212 0.310 0.256 0.256 0.310
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季度
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
销售 状态
季度 销售 状态
畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞 畅 滞 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 滞 畅 畅 畅 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
Pij P ( E j Ei ) P ( Ei E j ) P ( xt 1 j xt i )
它表示由状态Ei 经过一步转移到状态Ej 的概率。
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例：
某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一种食品，有 一千个用户（或购货点），假定在研究期间无新用户 加入也无老用户退出，只有用户的转移，已知 2006 年 5 月份有 500 户是甲厂的顾客；400 户是乙厂 的顾客；100 户是丙厂的顾客。6 月份，甲厂有 400 户原来的顾客，上月的顾客有 50 户转乙厂， 50 户转丙厂；乙厂有 300 户原来的顾客，上月的 顾客有 20 户转甲厂，80 户转丙厂；丙厂有 80 户 原来的顾客，上月的顾客有 10 户转甲厂，10 户转 乙厂。试计算其状态转移概率。
0.500 0.167 P ( 2) 0.444 0.500 0.222 P (2) 0.500 0.444 P 2 0.400 0.500 0.500 0.167 0.444 0.491 0.222 0.500 0.488 0.400 0.254 0.491 0.478 0.488 0.257 0.478 0.212
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
销售 状态
季度 销售 状态
畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞 畅 滞 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 滞 畅 畅 畅 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
• 马尔柯夫（A.A Markov 是俄国数学家）。 • 20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的 变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去 状态无关。 • 例：设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市 场需求变化等许多经济行为都可用这一类过程来描述 或近似。 • 所谓马尔柯夫链，就是一种随机时间序列，它在将来 取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么 值无关，即无后效性。具备这个性质的离散型随机过 程，称为马尔柯夫链。
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例：
解：由题意得 6 月份顾客转移表 1：
从 到
甲 乙 丙 合计
甲 400 20 10
乙 50 300 10
丙 50 80 80
合计 500 400 100
430
360
表1
210
1000
400 P11 0.8 500 20 P21 0.05 400 10 P31 0.1 100
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2
3
1
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2
3
1
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基本概念
一、状态
• 状态：客观事物可能出现或存在的状况。
• 如：市场上的产品可能畅销也可能滞销； 机器运转可能正常也可能有故障等。 • 同一事物的不同状态之间必须相互独立， 即事物不能同时存在两种状态。
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