2018高考一轮复习文科数学 参数方程

y 500
o
x
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
o
x 100t , 1 2 2 （ g=9.8m/s ) y 500 gt . 2 令y 0, 得t 10.10s. x 代入x 100t, 得 x 1010m. 所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
垂直高度为y，所以
可以使其准确落在指定位置.
一、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x, y都是某个变数t的函数 x f (t ), （2） y g ( t ). 并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
①
（ 2 ）如何求出交点 A，B所对应的参数 t1，t 2 ?
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
设过点M(x0 ,y0 )的直线L与曲线C交于A, B两点， 对应的参数分别为t1 , t2，则 (1) AB = t1 t2 ; （2） MA MB t1 t2 ; t1 +t2 (3)线段AB的中点对应的参数值是 . 2
高三（8）班高考数学第一轮复习
例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们是 什么曲线. x 3 2t , x t 1, （ 1） (2) y 1 4t. y 1 2 t. 1 xt , x 5cos , t (3) (4) y t 1 . y 3sin . t x cos , (5) y cos 2 1.
O
A x
例3、把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 1 (2) x 1 (1) 4 9 16 x 2 cos x cos (1) (2) y 3sin y 4sin
2
2


把下列参数方程化为普通方程
x 3cos (3) y 5sin 2 2 y x (3) 9 25
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： （1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
x x0 t cos （t为参数） y y0 t sin
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角，
x
思考: 由M 0 M te, 你能得到直线l的参数方
解: M M te M 0 M te 0
θ 的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时 ，OM0转过的角度.
圆的参数方程的一般形式
圆心在点（x0,y0），半径为r的圆的参数方程
x x0 r cos { ( 为参数) y y0 r sin
对应的普通方程为( x x0 ) ( y y0 ) r
由韦达定理得： x1 x2 1 ，x1 x2 1
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
1 5 1 5 y 3 5 ，y 3 5 由(*)解 得 ： x1 ，x2 1 2 2 2 2 2 1 5 3 5 1 5 3 5 记直 线与抛 物线 的交点 坐 标A( , )，B( , ) 2 2 2 2
当 = 时, d 有最大值, 面积最大. 4 3 2
这时点P的坐标为( 2

, 2)
四、直线的参数方程
求这条直线的方程. 解: 在直线上任取一点M(x,y),则 （x, y) ( x0 y0 ) ( x x0 , y y0 ) M 0M 设 e是直线l的单位方向向量，则 y M(x,y) e (cos ,sin ) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t R, M0(x0,y0) 使M 0 M te,即 ( x x0 , y y0 ) t (cos ,sin ) e x x0 t cos , y y0 t sin 所以 即，x x0 t cos , y y0 t sin (cos ,sin ) 所以，该直线的参数方程为 O
x a cos O N x 由此: (为参数) y b sin 即为点M轨迹的参数方程. x2 y2 消去参数得: 2 2 1, 即为点M轨迹的普通方程. a b
参数方程
x a cos (为参数) 是椭圆 y b sin
的参数方程.
x2 y2 2 1, 2 a b
2 y x 例5、已知A,B两点是椭圆 9 4 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上 求一点P,使四边形OAPB的面积最大. 2

1
解 :由椭圆参数方程，设点P(3cos ,2sin )
三角形ABO面积一定, 需求 SABP 最大即可
即求点P到直线AB的距离的最大值。 x y 直线AB的方程为： 1 2 x 3 y 6 0 3 2 6 | 6 cos 6 sin 6 | 2 sin( ) 1 d 4 13 22 32
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明 显意义。 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
x 3t , 例1: 已知曲线C的参数方程是 (t为参数) 2 y 2t 1.
在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭 圆的长半轴长和短半轴长. a>b 另外 称为离心角,规定参数 的取值 范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
高三（8）班高考数学第一轮复习
考点2
参数方程的应用
利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题 是行之有效的好方法.
高三（11）班高考数学第一轮复习
x 2 t, x y 例2、已知曲线C: 1, 直线l : (t为 4 9 y 2 2t
归纳比较
x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1 a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.称离心角 圆的标准方程: x2+y2=r2
y A
B O M N
φ
x
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
y
P θ
x r cos 圆的参数方程: (为参数) y r sin θ的几何意义是 ∠AOP=θ，是旋转角
1 5 2 3 5 2 1 5 2 3 5 2 则 MA MB ( 1 ) (2 ) ( 1 ) (2 ) 2 2 2 2
3 5 3 5 4 2
例6.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 2交于A,B两点，求线段 AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。 （ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
2 2 2
例2、(1)已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
x 2 cos 5 2、指出参数方程 { (为参数)所 y 3 2 sin 表示圆的圆心坐标、半 径，并化为普通方程。
三、椭圆的参数方程
如下图，以原点O为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连 接OA,与小圆交于点B ，过点A作AN⊥ox，垂足为N， 过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋 转时点M轨迹的参数方程.
高三（8）班高考数学第一Байду номын сангаас复习
复习三十一 参数方程
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时时机呢？
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
投放点
？
救援点
(4)
x 8cos y 10sin
1 (4)
x 64
2

y 100
2
1
x2 y 2 例4、在椭圆 1上求一点M，使M 到直线l : 9 4 x 2 y 10 0的距离最小.
小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
二、圆的参数方程
y
M(x,y)
r

o
M0 x
x r cos t , （t为参数） y r sin t.
t的物理意义是质点作匀速圆周运动的时刻
x r cos , （ 为参数） y r sin .
分析：设M点的坐标为（x,y) 点A 的横坐标与M点的横坐 标相同, 点B 的纵坐标与M点的纵坐标 相同.
y A
B O N
M
x
而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
如下图，以原点O为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连 接OA,与小圆交于点B ，过点A作AN⊥ox，垂足为N， 过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋 转时点M的轨迹参数方程. y 解： 设∠XOA=φ, 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M
程中参数t的几何意义吗？
y M M0
又 e是单位向量， e 1 这就是t的几何 M 0M t e t 意义,要牢记
所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直 线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
e
O
x
例6.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 2交于 A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
练习：《新坐标》P164. 变式训练2
高三（8）班高考数学第一轮复习
考点1 参数方程与普通方程的互化
1、将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、 加减消元法、三角恒等变换消去参数； 2、把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量 是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的 取值范围的影响，要保持同解变形.
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y
M(-1,2)
O
B
x
例6.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 2交于A,B两点，求线段 AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。 x y 1 0 2 解：由 得： x x 1 0 (*) 2 y x