2012福建高考数学理科试题及答案

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2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学试题（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分．

第Ⅰ卷

一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( )

A ．－1－i

B ．1－i

C ．－1＋i

D ．1＋i A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2i D ．5＋2i

2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．下列命题中，真命题是( ) A ．x 0∈R ，0

e

0x ≤

B ．x ∈R ，2x ＞x 2

C ．a ＋b ＝0的充要条件是

1a

b

=- D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件

4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 5．下列不等式一定成立的是( )

A ．lg(x 2＋

1

4)＞lg x (x ＞0) B ．sin x ＋1

sin x

≥2(x ≠k π，k ∈Z )

C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )

D ．

2

1

11

x >+(x ∈R ) 6．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )

A ．

14 B ．15 C ．16 D ．17

7．设函数1,()0,x D x x ?=??

为有理数，

为无理数，则下列结论错误的是( )

A ．D (x )的值域为{0,1}

B ．D (x )是偶函数

C ．

D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数

8．已知双曲线

22

214x y b

-=的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )

A ．5

B ．42

C ．3

D ．5

9．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤??

--≤??≥?

则实数m 的最大值

为( )

A ．

12 B ．1 C ．3

2

D ．2 10．函数f (x )在［a ，b ］上有定义，若对任意x 1，x 2∈［a ，b ］，有

()()12121

(

)22

x x f f x f x +≤［＋］，则称f (x )在［a ，b ］上具有性质P ．设f (x )在［1,3］上具有性质P ，现给出如下命题：

①f (x )在［1,3］上的图象是连续不断的；

②f (x 2)在［1，3］上具有性质P ；

③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈［1,3］； ④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈［1,3］，有12341

(

)44

x x x x f +++≤［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］．

其中真命题的序号是( )

A ．①②

B ．①③

C ．②④

D ．③④

第Ⅱ卷

二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．

11． (a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．

12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于________． 13．已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．

14．数列{a n }的通项公式π

cos

12

n n a n =+，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________． 15．对于实数a 和b ，定义运算“*”：22*.a ab a b a b b ab a b ?-≤=?->?

，，

，

设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，

x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是__________．

三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(文科)本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：

品牌 甲 乙 首次出现故障

时间x (年)

0＜x ≤1 1＜x ≤2 x ＞2 0＜x ≤2 x ＞2

轿车数量(辆)

2 3 45 5 45 每辆利润

(万元)

1 2 3 1.8 2.9

将频率视为概率，解答下列问题：

(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；

(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；

(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．

17．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；

③sin 218°＋cos 2

12°－sin18°cos12°；

④sin 2(－18°)＋cos 2

48°－sin(－18°)cos48°；

⑤sin 2(－25°)＋cos 2

55°－sin(－25°)cos55°．

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

18．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．

(1)求证：B 1E ⊥AD 1．

(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．

(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．

19．如图，椭圆E ：22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率12e =．过

F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．

(1)求椭圆E 的方程；

(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ．试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M

的坐标；若不存在，说明理由．

20．已知函数f (x )＝e x ＋ax 2－e x ，a ∈R ．

(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求函数f (x )的单调区间；

(2)试确定a 的取值范围，使得曲线y ＝f (x )上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P ．

21． (1)选修4－2：矩阵与变换

设曲线2x 2

＋2xy ＋y 2

＝1在矩阵 0 1a b ??= ???

A (a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x

2

＋y 2＝1．

①求实数a ，b 的值； ②求A 2的逆矩阵．

(2)选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，23π,32??

?

?

??

，圆C 的参数方程为22cos ,

32sin x y θθ

=+???

=-+??(θ为参数)． ①设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；

②判断直线l 与圆C 的位置关系． (3)选修4－5：不等式选讲

已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为［－1,1］． ①求m 的值； ②若a ，b ，c ∈R ＋，且11123m a b c

++=，求证：a ＋2b ＋3c ≥9．

22．(文)已知函数f (x )＝ax sin x －

32(a ∈R )，且在［0，π2］上的最大值为π32

-． (1)求函数f (x )的解析式；

(2)判断函数f (x )在(0，π)内的零点个数，并加以证明．

答案

1． A 由z i ＝1－i ，得221i (1i)i i i i+1

1i i i 11

z ---=====----． 2． B ∵a 1＋a 5＝10＝2a 3，

∴a 3＝5．故d ＝a 4－a 3＝7－5＝2．

3． D ∵a ＞1＞0，b ＞1＞0，∴由不等式的性质得ab ＞1， 即a ＞1，b ＞1?ab ＞1．

4． D ∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆， ∴这个几何体不可以是圆柱．

5． C ∵x 2＋1≥2|x |?x 2

－2|x |＋1≥0，

∴当x ≥0时，x 2－2|x |＋1＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2

≥0成立；

当x ＜0时，x 2－2|x |＋1＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2

≥0成立．

故x 2

＋1≥2|x |(x ∈R )一定成立．

6． C ∵由图象知阴影部分的面积是31

220121

211()d ()032

326x x x x x -=?-=-=?，

∴所求概率为1

1

616

=．

7． C ∵D (x )是最小正周期不确定的周期函数， ∴D (x )不是周期函数是错误的．

8． A 由双曲线的右焦点与抛物线y 2

＝12x 的焦点重合，知32

p

c =

=，c 2＝9＝4＋b 2，于是b 2

＝5，5b =．因此该双曲线的渐近线的方程为5

2

y x =±

，即520x y ±=．故

该双曲线的焦点到其渐近线的距离为|35|

554

d =

=+

． 9． B 由约束条件作出其可行域如图所示：

由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x

的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x

＝3－x ，即x ＝1＝m ．

10． D ①如图1，

图 1

在区间［1,3］上f (x )具有性质P ，但是是间断的，故①错．

②可设f (x )＝|x －2|(如图2)，当x ∈［1,3］时易知其具有性质P ，但是f (x 2)＝|

x

2

－2|

＝2

22,12,2,23

x x x x ?-≤≤??-<≤??不具有性质P (如图3)．

故②错．

图2

图3 ③任取x 0∈［1,3］，则4－x 0∈［1,3］， 1＝f (2)＝004(

)2x x f +-≤1

2

［f (x 0)＋f (4－x 0)］． 又∵f (x 0)＝1，f (4－x 0)≤1， ∴

1

2

［f (x 0)＋f (4－x 0)］≤1． ∴f (x 0)＝f (4－x 0)＝1．故③正确．

④34

12123422()(

)42

x x x x x x x x f f +++

+++= ≤3412

1()+()222x x x x f f ++??????

≤14［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］

，故④正确． 11．答案：2 解析：∵T r ＋1＝4C r a r x

4－r

，∴当4－r ＝3，即r ＝1时，T 2＝14C ·a ·x 3

＝4ax 3

＝8x 3

．故a

＝2．

12．答案：－3

解析：(1)k ＝1,1＜4，s ＝2×1－1＝1； (2)k ＝2,2＜4，s ＝2×1－2＝0； (3)k ＝3,3＜4，s ＝2×0－3＝－3； (4)k ＝4，直接输出s ＝－3．

13．答案：24

-

解析：设△ABC 的最小边长为a (m ＞0)，则其余两边长为2a ，2a ，故最大角的余弦值

是22222

(2)(2)2

cos 42222a a a a a a a

θ+--===-??． 14．答案：3 018 解析：∵函数πcos

2

n y =的周期2π

4π2

T ==，

∴可用分组求和法：

a 1＋a 5＋…＋a 2 009＝50311+1=503++个

…；

a 2＋a 6＋…＋a 2 010＝(－2＋1)＋(－6＋1)＋…＋(－2 010＋1)＝－1－5－…－2 009＝

503(12009)

2

--＝－503×1 005；

a 3＋a 7＋…＋a 2 011＝50311+1=503++个

…；

a 4＋a 8＋…＋a 2 012＝(4＋1)＋(8＋1)＋…＋(2 012＋1)＝

503(52013)

2

?+＝503×1

009；

故S 2 012＝503－503×1 005＋503＋503×1 009 ＝503×(1－1 005＋1＋1 009)＝3 018．

15．答案：(

13

16

-，0) 解析：由已知，得()22

200x x x f x x x x ?≤????－，，

＝－＋，＞，

作出其图象如图，结合图象可知m 的取值范围为0＜m ＜

1

4

，

当x ＞0时，有－x 2＋x ＝m ，即x 2

－x ＋m ＝0， 于是x 1x 2＝m ．

当x ＜0时，有2x 2

－x －m ＝0，

于是31184

m

x -+=

．

故123(118)

4

m m x x x -+=．

设h (m )＝m (1－18m +)，

∵h ′(m )＝(1－18m +)＋［m (18

218m

-+)］

＝4118018m

m m

-+-

<+，

∴函数h (m )单调递减． 故x 1x 2x 3的取值范围为(

13

16

-，0)． 16．解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ， 则231

()5010

P A +=

=． (2)依题意得，X 1的分布列为

X 1 1

2

3

P

1

25

350 910

X 2的分布列为

X 2 1.8

2.9

P

110

910

(3)由(2)得，E (X 1)＝1×125＋2×350

＋3×910＝143

50＝2.86(万元)，

E (X 2)＝1.8×110＋2.9×9

10

＝2.79(万元)．

因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．

17．解：方法一：(1)选择②式，计算如下：

sin 2

15°＋cos 2

15°－sin15°cos15°＝1－

12sin30°＝13144

-=． (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2

(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34

．

证明如下： sin 2α＋cos 2

(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝sin 2

α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2

－sin α·(cos30°cos α＋sin30°sin α)

＝sin 2

α＋

34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32

sin α·cos α－12sin 2

α ＝34sin 2α＋34cos 2

α＝34

． 方法二：(1)同方法一．

(2)三角恒等式为sin 2

α＋cos 2

(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34

． 证明如下： sin 2α＋cos 2

(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝

1cos21cos(602)

22αα-+?-+－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°·cos2α＋sin60°sin2α)－32

sin αcos α－12

sin 2

α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝11131cos2cos24444

αα--+=．

18．解：(1)以A 为原点，AB ，AD ，1AA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建

立空间直角坐标系(如图)．

设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1，0)，D 1(0,1,1)，E (2

a

，1,0)，B 1(a,0,1)，故1AD ＝(0,1,1)，1B E ＝(2a -，1，－1)，1AB ＝(a,0,1)，AE ＝(2a

，1,0)．

∵1AD ·1B E ＝2

a

-×0＋1×1＋(－1)×1＝0，

∴B 1E ⊥AD 1．

(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)， 使得DP ∥平面B 1AE ．

此时DP ＝(0，－1，z 0)．

又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵n ⊥平面B 1AE ，

∴n ⊥1AB ，n ⊥AE ，得00.2

ax z ax y +=??

?+=??，

取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝(1，2

a

-，－a )． 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP ，有

2a －az 0＝0，解得012

z =． 又DP 平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时1

2

AP =．

(3)连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D ． ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C ．

又由(Ⅰ)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，

∴AD 1⊥平面DCB 1A 1．∴1AD 是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时1AD ＝(0,1,1)．

设1AD 与n 所成的角为θ，则12

12

·2cos ||||214

a a

AD AD a

a θ--==++n n ．

∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°， ∴|cos θ|＝cos30°，即

2

3322

5214

a a =

+

， 解得a ＝2，即AB 的长为2．

19．解：方法一：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 所以4a ＝8，a ＝2． 又因为12e =

，即1

2

c a =，所以c ＝1． 所以223b a c =-=．

故椭圆E 的方程是22

143

x y +=． (2)由22143

y kx m x y =+???+

=??，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2

－12＝0．

因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且?＝0，

即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2

－12)＝0，

化简得4k 2－m 2

＋3＝0．(*)

此时024443km k x k m =-

=-+，y 0＝kx 0＋m ＝

3

m ， 所以P (4k m -，3

m

)．

由4x y kx m =??

=+?，

，

得Q (4,4k ＋m )．

假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上． 设M (x 1,0)，则0MP MQ ?=对满足(*)式的m ，k 恒成立．

因为MP ＝(14k x m -

-，3

m

)，MQ ＝(4－x 1,4k ＋m )， 由0MP MQ ?=，

得211141612430kx k k

x x m m m

-+-+++=， 整理，得(4x 1－4)k m

＋x 12

－4x 1＋3＝0．(**)

由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以1211440,

430,

x x x -=??-+=?解得x 1＝1．

故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ． 方法二：(1)同方法一．

(2)由22143

y kx m x y =+???+

=??，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2

－12＝0．

因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且?＝0，

即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2

－12)＝0，

化简得4k 2－m 2

＋3＝0．(*)

此时024443km k x k m =-

=-+，y 0＝kx 0＋m ＝

3

m ， 所以P (4k m -，3

m )．

由4x y kx m =??=+?

，，得Q (4,4k ＋m )．

假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．

取k ＝0，3m =，

此时P (0，3)，Q (4，3)，以PQ 为直径的圆为(x －2)2

＋(y －3)2

＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取12k =-，m ＝2，此时P (1，3

2

)，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为225345

()()2416

x y -

+-=，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)．

以下证明M (1,0)就是满足条件的点：

因为M 的坐标为(1,0)，所以MP ＝(41k m --，3

m

)，MQ ＝(3,4k ＋m )， 从而1212330k k

MP MQ m m

?=-

-++=， 故恒有MP MQ ⊥，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．

20．解：(1)由于f ′(x )＝e x

＋2ax －e ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线斜率k ＝2a ＝0，

所以a＝0，即f(x)＝e x－e x．

此时f′(x)＝e x－e，由f′(x)＝0得x＝1．

当x∈(－∞，1)时，有f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，有f′(x)＞0．

所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．

(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，

令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点．

因为g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝e x－e x0＋2a(x－x0)．

(1)若a≥0，当x＞x0时，g′(x)＞0，则x＞x0时，g(x)＞g(x0)＝0；

当x＜x0时，g′(x)＜0，则x＜x0时，g(x)＞g(x0)＝0．

故g(x)只有唯一零点x＝x0．

由P的任意性，a≥0不合题意．

(2)若a＜0，令h(x)＝e x－e x0＋2a(x－x0)，则h(x0)＝0，h′(x)＝e x＋2a．

令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，记x′＝ln(－2a)，则当x∈(－∞，x*)时，h′(x)＜0，从而h(x)在(－∞，x*)内单调递减；当x∈(x*，＋∞)时，h′(x)＞0，从而h(x)在(x*，＋∞)内单调递增．

①若x0＝x*，由x∈(－∞，x*)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0；x∈(x*，＋∞)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0，知g(x)在R上单调递增．

所以函数g(x)在R上有且只有一个零点x＝x*．

②若x0＞x*，由于h(x)在(x*，＋∞)内单调递增，且h(x0)＝0，则当x∈(x*，x0)时有g′(x)＝h(x)＜h(x0)＝0，g(x)＞g(x0)＝0；任取x1∈(x*，x0)有g(x1)＞0．

又当x∈(－∞，x1)时，易知g(x)＝e x＋ax2－［e＋f′(x0)］x－f(x0)＋x0f′(x0)＜e x1＋ax2－［e＋f′(x0)］x－f(x0)＋x0f′(x0)＝ax2＋bx＋c，

其中b＝－［e＋f′(x0)］，c＝e x1－f(x0)＋x0f′(x0)．

由于a＜0，则必存在x2＜x1，

使得ax22＋bx2＋c＜0．

所以g(x2)＜0．故g(x)在(x2，x1)内存在零点，

即g(x)在R上至少有两个零点．

③若x0＜x*，仿②并利用

3

e

6

x

x

>，可证函数g(x)在R上至少有两个零点．

综上所述，当a＜0时，曲线y＝f(x)上存在唯一点P(ln(－2a)，f(ln(－2a)))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．

21． (1)选修4－2：矩阵与变换

解：①设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)．

由

1

x a

y b

'

????

=

? ?

'

????

x ax

y bx y

????

=

? ?

+

????

，得

,

.

x ax

y bx y

'=

?

?

'=+

?

又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1．

依题意得

222,

22,

a b

b

?+=

?

=

?

解得

1,

1,

a

b

=

?

?

=

?

或

1,

1,

a

b

=-

?

?

=

?

因为a＞0，所以

1,

1. a

b

=?

?

=?

②由①知，

1 0

1 1

??

= ?

??

A，2

1 0 1 0 1 0

1 1 1 1

2 1

??????

==

??? ?

??????

A，

所以|A 2

|＝1，(A 2)－1

＝ 1 02 1??

?

?

-??

． (2)选修4－4：坐标系与参数方程

解：①由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，23

3)． 又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为(1，3

3

)，

故直线OP 的平面直角坐标方程为3

3

y x =．

②因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，23

3

)，

所以直线l 的平面直角坐标方程为33230x y +-=．

又圆C 的圆心坐标为(2，3-)，半径r ＝2， 圆心到直线l 的距离|233323|3

239

d r --=

=<+，故直线l 与圆C 相交． (3)选修4－5：不等式选讲

解：①因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ， 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为［－1,1］，故m ＝1．

②由①知111

123a b c

++=，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得 a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )(111

23a b c

+

+) ≥2

111(23)923a b c a b c

?+?+?＝．