对多值解析函数的理解与认识
高三数学《一题多解 一题多变》试题及详解答案
高三《一题多解 一题多变》题目 一题多解 一题多变（一） 原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0≤，得4≥m 变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0<，得4>m 变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数， ∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数 当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0?m < 40≤≤∴m 变3：182 23++=x n x mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911 82 2,∈+++=x n x mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++?mn y n m y - ∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根 ∴ 5==n m ∴ 当m y =时，08 ==m n x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m 一 题 多 解- 解不等式523<<3-x 解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解
（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<
1. 解析函数
第十章 复变函数 本章研究的对象是定义在复数域上的复值函数（简称复变函数）.重点研究一类比较特殊的复变函数——解析函数.主要内容包括解析函数的分析属性（微积分理论及级数表示）、几何性质（保角映射）等. §1 解析函数 一、复变函数基本概念与复变函数的导数 [单值函数与多值函数] 设Σ是扩充复平面（即包含无穷远点∞的平面）z 上的一个区域（第二十一章§5，二），对于Σ内的每个复数z ，按照一定的规律，有一个或多个复数ω和它对应，就称在Σ上定义了一个复变函数，记作 )(z f =ω 区域Σ称为函数)(z f =ω的定义域. 如果每一个复数z 都只有一个复数ω和它对应（允许不同的复数z 对应于同一个复数ω），就称函数是单值的；如果有的复数z 有多个ω值和它对应，就称函数是多值的.下面如果不加说明，一律都指单值函数. [映射·象·原象] 如果复数z 用复平面z （简称z 平面）上的点表示，复数ω用复平面ω（简称ω平面）上的点表示，那末复变函数)(z f =ω就是z 平面上区域Σ的点和ω平面上的某个点集（第二十一章§3，一）F 的点之间的对应关系.这样一来，复变函数)(z f =ω可以看成几何上的“映射”（变换）（第二十一章§1，二），点ω（)(z f =ω）称为点z 的象（象点），点z 称为点ω的原象（象源）.一般地，当点z 在复平面z 上画出一个图形A （或点集）时，相应地，它的象点ω在复平面ω上就画出一个图形（或点集）B.称B 为A 的象，A 为B 的原象.称函数)(z f =ω把A 映上B. [单叶函数与多叶函数·反函数] 如果函数)(z f =ω在点集A 上单值的，并且对于点集A 上的任意两个不同的点z 1和z 2,它们的象ω1=f (z 1)和ω2=f (z 2)也不同，那末称函数)(z f =ω在点集A 上是单叶的，如果点集A 上至少有两个不同的点z 1和z 2使)()(210z f z f ==ω，那末称函数)(z f =ω在点集A 上是多叶的. 如果单值函数)(z f =ω又是单叶的，它就表示A 和B 的点之间的一对一对应关系，并且对于B 上的每一点ω，A 上有一个且只有一个点z 和它对应.记作 )(ω?=z 它称为函数)(z f =ω的反函数（单值的）. 如果函数)(z f =ω在点集A 上不是单叶的，那末它的反函数就是多值的了. [双方单值连续的映射定理] 设ω=f (z )是z 平面区域Σ内的单值连续函数，如果它又是单
高考三角函数一题多解(可编辑修改word版)
5 一道高考题的解析引发的深思 （2013 全国新课标 I 卷）理科 15，文科 16 题。 题目：设当 x = 时，函数 f (x ) = sin x - 2 c os x 取得最大值，则cos = 法一：直接使用辅助角公式 解： f (x ) = sin x - 2 cos x = 5( sin x - cos x ) ∴取cos = , sin = （三角替换，辅助角公式中由来） 即 f (x ) = 5 sin(x - ) x = 时，函数值最大 ∴sin(-) = 1 ，，即-= + 2k , k ∈ Z (找到与的关系） 2 所以cos = cos( 2 + + 2k ) = - sin = - 2 = - 5 此法少见的接触到了辅助角求值问题 法二：借用辅助角公式（避开辅助角） 解： f (x ) = 5 sin(x - ) （求最值） ∴ f (x )max = 当 x = 时，函数求得最大值 ∴ f ( ) = sin - 2 cos = 联立sin 2 + cos 2 = 1，解方程组 ∴消正弦得( 解得cos = - + 2 c os )2 + cos 2 = 1, 即5 c os 2 + 4 cos + 4 = 0 思考：此刻你在想什么呢？庆幸解唯一，还是当心解不唯一怎么处理呢？能不能一 开始就可以确定角的位置呢？ 观察函数，正弦应该取正，而余弦取负才可能有最大值，满足此要求的角在第二象限， 是不是免去你的后照顾之忧呢。 法三：利用? 判别式——————（尴尬！！！！汗颜！！！！！） 解：令 y = sin x - 2 cos x 则sin x = y + 2 cos x 消正弦 1 5 2 5 1 5 2 5 2 5 5 5 5 5 2 5 5
解析函数的应用
解析函数的应用 —浅谈在陌生弹性力学中的应用 （杜碧晶，运城学院数学系） 摘要：在数学中，我们知道一个复变函数如果解析，则其实部和虚部均为调和函数，满足调和方程。一个实变的双调和函数，可由共轭复变函数的线形组合得到。在平面弹性力学中，对于平面应力问题和平面应变问题，可以通过假设，转变成求解满足某些边界条件下的双调和方程问题。这样就可以用复变函数中的解析函数进行解决。 关键词：解析函数、应力函数、平面应力问题、平面应变问题。 1、引言：社会十分尊重数学，这可能不是因为这个学科的内在美，而是因为数学是社会极其需要和工程中有广泛应用的一种艺术。以复数作为自变量的函数叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中具有解析（可微）性质的函数。如果一个复变函数解析，那么 它的实部和虚部均为调和函数，满足拉普拉斯调和方程(02222=??+??y x φ φ)。在区域D 内满足C —R 方 程即： x v y u y v x u ??-=????=??,的两个调和函数v u ,中，v 称为u 在区域D 内的共轭调和函数。 任何一个弹性体都是空间问题，一般的外力都是空间系，因此严格的说，任何一个实际的弹性力学问题，都是空间问题。但是所考察的弹性体具有某种特殊形状，并且承受的是某种特殊的外力，就可把空间问题简化为平面问题。这样处理后，分析和计算的工作量将大大的减少，而所得的结果仍满足工程上对精度的要求，因此具有广泛的实用价值。 弹性力学的平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。其中平面应力问题是指很薄的等厚度薄板 只在板边上受有平行平板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化；平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作用都不沿长度而变。 2基础内容介绍
2020年全国卷1函数与导数压轴题一题多解,深度解析
全国卷1导数题一题多解，深度解析 1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析 已知函数2 ()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥ 12 x 3 +1，求a 的取值范围.。 2.2020年 全国卷1文科数学第20题的解析 已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.。
3. 2020年新高考1卷（山东考卷）第21题 已知函数1 ()e ln ln x f x a x a -=-+ （1）.当a=e 时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围城的三角形的面积； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围。
1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析 已知函数2 ()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12 x 3 +1，求a 的取值范围.。 解析： （1） 单调性，常规题，a 已知，求一个特定函数f(x)的单调性。若一次求导不见底，则可 二次或多次清仓，即二次求导或多次求导，然后逐层返回。通常二次求导的为多。 （2） 恒成立，提高题，在恒成立情况下，求参数的取值范围。常常是把恒成立化成最值 问题。由于这里的a 只在一项中出现，故可以优先考虑分离参数法。这里介绍了两种方法。 解： （1） 当a=1时， 2 ()e x f x x x =+-，定义域为R ， '()e 21x f x x =+-，易知f ’(x)是单调递增函数。 而f ’(0)=0， ∴ 当x ∈（-∞，0），f ’(x)＜0 当x ∈（0,+∞），f ’(x)＞0 ∴当x ∈（-∞，0），f(x)单调递减；当x ∈（0,+∞），f(x)单调递增。 （2） 解法一 ，分离参数法 当x ≥0时，31()12f x x ≥ + ，即231 ()e 12 x f x ax x x =+≥+- 当x=0时，上式恒成立，此时a ∈R 。 当x ＞0时，上式等价于 3 2 112x x x e a x ++-≥ 恒成立。
函数的单调性与最值(含例题详解)
函数的单调性与最值 一、知识梳理 1．增函数、减函数 一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ?I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1
数学解题之一题多解与多题一解[1]
数学解题之一题多解与多题一解[1]
摘要 本文意在明确一题多解和多题一解与学生思维能力发展之间的关系，从而使教师在数学解题教学过程中更加重视解题方法对学生思维能力的培养。本文通过两种典型例题即一题多解型和多题一解型的讲解，阐述了通过不同的例题可以达到对学生思维能力的训练培养的目的。通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；通过多题一解，能够加深学生的思维深度，分析事物时学会由表及里，抓住事物的本质，找出事物间内在的联系。与此同时，对一题多解和多题一解的运用，要注意相互结合，灵活运用，不可只求一技，失之偏颇。 关键词：一题多解多题一解思维能力 数学解题过程中一题多解与多题一解对学生思维能力的培养 引言
现代心理学认为，数学是人类思维的体操，在培养人的聪明才智方面起着巨大的作用。所以，数学教学实质上是数学思维活动的教学。也就是说，在数学教学中，除了要使学生掌握基础知识、基本技能外，还要注意培养学生的思维能力。培养学生的思维能力是新课程改革的基本理念，也是数学教育的基本目标之一。“学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概况、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断。” 数学思维能力对形成理性思维有着独特的作用。因此，作为一名数学教师，应把培养学生的思维能力贯穿在教学的全过程。 惠州市惠州区广播电视大学舒芳教授在《在数学解题教学中培养学生的思维能力》中认为，不同
函数的解析式及求值解析
函数的解析式及求值解析 1. 已知函数f(x －1)＝x 2－3，则f(2)的值是6 2. 已知f(x)＝1x 2－1，g(x)＝x ＋1，则f(g(x))的表达式是x x 21 2+ 3. 已知函数y ＝??? f(1)＝0 f(n ＋1)＝f(n)＋3，n ∈N *，则f(3)等于6 4. 已知f(x)与g(x)分别由下表给出 f(g(3))＝ 1 . 5. 若f(x ＋1)＝2x 2 ＋1，求f(x)； 解：令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，∴f(t)＝2(t －1)2 ＋1＝2t 2 －4t ＋3.∴f(x)＝2x 2 －4x ＋3. 6. 若函数f(x)＝x ax ＋b ，f(2)＝1，又方程f(x)＝x 有唯一解，求f(x). 解：(2)由f(2)＝1得2 2a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2； 由f(x)＝x 得x ax ＋b ＝x 变形得x(1ax ＋b －1)＝0，解此方程得：x ＝0或x ＝1－b a .又因为方程有 唯一解，所以1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以所求解析式为f(x)＝2x x ＋2 7. 设函数f(x)＝??? x 2 ＋2 (x ≤2)， 2x (x>2)， 则f(－4)＝18，若f(x 0)＝8，则x 0 【解析】 f(－4)＝(－4)2＋2＝18. 若x 0≤2，则f(x 0)＝x 02＋2＝8，x ＝±6.∵x 0≤2，∴x 0＝－ 6.
若x 0>2，则f(x 0)＝2x 0＝8，∴x 0＝4. 8. 设函数f(x)＝??? 1－x 2 (x ≤1)x 2＋x －2 (x>1) ，则f ? ????1f(2)的值为1615 【解析】f(2)＝22＋2－2＝4，f ? ????1f(2)＝f ? ????14＝1－? ????142＝15 16 9. 已知f(x)＝??? x －5 (x ≥6) f(x ＋2) (x<6)(x ∈N )，那么f(3)＝2. 【解析】 f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2. 10. 定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()2,,12f x y f x f y xy x y R f +=++∈= 则()3f -等于________. 【解析】 ()()()()()()()()()()()()()()()21111211=2+2+2=642222222=6+6+8=20134342342320243 6. f f f f f f f f f f f f f f =+=++??=+=++??=-+=-++?-?=-+-∴-= 11. 函数)2 3 (,32)(-≠+= x x cx x f 满足,)]([x x f f =则常数c 等于________. 【解析】 ()3,(),32()3223 cf x x cx x f x c f x c x x ====-+-+得 12. 已知)0(1)]([,21)(2 2 ≠-=-=x x x x g f x x g ，那么)21(f 等于________.
(完整word版)高考三角函数一题多解
一道高考题的解析引发的深思 （2013全国新课标I 卷）理科15，文科16题。 题目：设当θ=x 时，函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值，则_____cos =θ 法一：直接使用辅助角公式 解：Θ)cos 5 2sin 51(5cos 2sin )(x x x x x f -=-= ∴取5 2sin ,51cos ==??（三角替换，辅助角公式中?由来） 即)sin(5)(?-= x x f Θθ=x 时，函数值最大 1)sin(=-∴?θ，，即Z k k ∈+=,22-ππ ?θ(找到θ与?的关系） 所以5525 2sin )22cos(cos -=-=-=++=?π?π θk 此法少见的接触到了辅助角求值问题 法二：借用辅助角公式（避开辅助角） 解：Θ)sin(5)(?-=x x f （求最值） 5)(max =∴x f Θ当θ=x 时，函数求得最大值 5cos 2sin )(= -=∴θθθf 联立1cos sin 22=+θθ，解方程组 ∴消正弦得,1cos )cos 25(22=++θθ即04cos 54cos 52=++θθ 解得5 52cos -=θ 思考：此刻你在想什么呢？庆幸解唯一，还是当心解不唯一怎么处理呢？能不能一开始就可以确定θ角的位置呢？ 观察函数，正弦应该取正，而余弦取负才可能有最大值，满足此要求的角在第二象限，是不是免去你的后照顾之忧呢。 法三：利用?判别式——————（尴尬！！！！汗颜！！！！！） 解：令x x y cos 2sin -=则x y x cos 2sin +=消正弦
带入1cos sin 22=+x x 得 1cos )cos 222=++x x y （ 化简得01cos 4cos 522=-++y x y x （将余弦视作一个整体，这是一元二次方程） 有解得0)1(54)4(22≥-?-=?y y 即有55≤≤-y ，函数最大值是5 （为么要这么费劲呢？） 所以y 取最大值5时，有04cos 54cos 52=++x x （明白了吗） θcos 5 52cos =-=x 解得 法四：数形结合 为了运算的简洁，令x x m cos 2sin -= 再联想到1cos sin 22=+x x 可以试试寻找几何意义 1 sin cos cos 2sin 2 2=++=x x m x x 如果按照一般习惯将正弦视作纵坐标，余弦视作横坐标 即1 222=++=y x m x y 联立表示要相交 ！ 求直线的最大纵截距(相 切时最大或最小如图）5.0tan =∠AOB ,运用几何知识A 点坐标为），（5 5552- 横坐标为余弦，即552cos -=θ 法五：不等式法 解：)cos 2sin 1cos 2sin )(x x x x x f -? +?=-=（ 若函数值最大，则正弦为正，余弦为负 使用柯西不等式有5)21()cos sin )cos 2sin 12222=+?+≤-?+?x x x （（ 所以5)(≤x f 当且仅当x x cos sin 2-=取到等号。即θθcos sin 2-= 又因为5cos 2sin )(= -=θθθf 解得552cos -=θ 法六：求导法 解：因为x x x f sin 2cos )('+=（让同学们自己思考）
三角函数一题多解举例
三角函数一题多解举例 例1:求函数cos 2sin y θ θ = +（R θ∈）的值域。 解法一：利用合一公式 cos 2sin cos )2sin y y y θ θθθφθ = ?=-+=++， 所以 sin()θφ+= ，又|sin()|1θφ+≤， 1≤，解得y ≤≤ ， 所以函数cos 2sin y θθ=+（R θ∈）的值域为[33 -。 解法二：斜率法 cos 0 sin (2) y θθ-= --，可看成点(sin ,cos )A θθ与(2,0)B -连线的斜率，而 (sin ,cos )θθ在圆221x y +=上， 当AB 与圆相切时分别取到最值，结合图形易得函数cos 2sin y θ θ = +（R θ∈）的 值域为[33 - ． 解法三：导数法 2 12sin (2sin )y θθ--'= +，令0y '=得1sin ,cos 22θθ=-=±，从而[,33 y ∈-． 例2：对任意,cos cos 21x R a x b x ∈+≥-恒成立，求a b +的最大值． 解法一：特值法，特别快 在cos cos 21a x b x +≥-中取23x π=得11 ()()122 a b -+-≥-，∴2a b +≤， 当42,33a b ==时，2 4242cos cos 2cos cos 2cos (2cos 1)3333 a x b x x x x x +=+=+- 241(cos )1132 x =+-≥-，所以a b +的最大值为2. 解法二：构造二次函数 原不等式即2 cos (2cos 1)1a x b x +-≥-即2 2cos cos 10b x a x b +-+≥，
高中一题多解经典练习题1
高中一题多解经典练习题 1、原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0≤，得4≥m 变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0<，得4>m 变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数， ∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数 当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0?m < 40≤≤∴m 变3：182 23+++=x n x mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911 82 2,∈+++=x n x mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++?mn y n m y - ∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根 ∴ 5==n m ∴ 当m y =时，08 == m n x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m 2、解不等式523<<3-x 解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解 （1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-< 函数表示法中的一题多解 函数的三种表示方法——列表法、图像法和解析法，是研究函数问题的基点和出发点. 通过函数表示法中的一题多解，一方面我们可以在了解三种表示法各自优缺点的基础上，能根据不同问题的需要，达到灵活运用函数表示法的境界，即合理选择某种函数的表示法、综合运用几种函数的表示法，以及善于转化几种函数的表示法；另一方面可以从不同的角度帮助我们在更高层次上把握函数的概念、图像和性质. 一、把握函数概念中的一题多解 例1已知函数()()x g x f ,分别由下表给出： 则()[]1g f 的值 ；满足 ()[]()[]x f g x g f >的x 的值 . 分析：因为题设中的两个函数都是由列表法给出的，定义域相同且有限，值域也有限，所求的问题也只与三个函数值有关，所以既可以通过解析法直观求解，又可以通过一个综合型的表格法直观求解. 解法1：∵???=31)(x f 2,31,==x x 或，?? ???=123)(x g 3,2,1,===x x x . ∴???=31)]([x g f 2,31,==x x 或，???=13)]([x f g 2 ,31,==x x 或. ∴()[]11=g f ；满足()[]()[]x f g x g f >的x 的值为2. 解法2：函数()[]()[]x f g x g f x g x f ,),(),(由同一张表格给出： x 1 2 3 )(x f 1 3 1 )(x g 3 2 1 )]([x g f 1 3 1 )]([x f g 3 1 3 ∴由上表可得()[]11=g f ，且满足()[]()[]x f g x g f >的x 的值为2. 点评：不论是解析法还是列表法，都能准确而清晰地表达自变量与函数值之间的对应关系，有时为了便于问题的解决，可以变通一些函数的表示法，如这里为了便于比较两个函数值的大小，就用了一种综合型的表格法. 例2 求函数11)(22 --=x x x x f 的值域. 分析：求含绝对值函数的值域，关键是如何去掉绝对值，所以既可以把原函数转化为分段函数求解，又可以通过图像法直观求解. 解法1：原函数写成分段函数得? ??-=,,)(x x x f 11> 不等式好题一题多解 1.（2017秋?城区校级月考）对于函数，若对于任意的123,,x x x R ∈，)(),(),(321x f x f x f 为某一三角形的三边长，则称)(x f 为“可构成三角形的函 数”．已知函数()1 x x e t f x e +=+是“可构成三角形的函数”，则实数t 的取值范围是 （ ） A ．]1,2 1[ B ．[]0,1 C ．[]1,2 D ．()0,+∞ 解：由题意可得f （a ）+f （b ）＞f （c ）对于?a ，b ，c ∈R 都恒成立， 由于f （x ） = = 是“可构成三角形的函数”， ①当t ﹣1=0，f （x ）=1，此时，f （a ），f （b ），f （c ）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件． ②当t ﹣1＞0，f （x ）在R 上是减函数，1＜f （a ）＜1+t ﹣1=t ， 同理1＜f （b ）＜t ，1＜f （c ）＜t ， 由f （a ）+f （b ）＞f （c ），可得 2≥t ，解得1＜t ≤2． ③当t ﹣1＜0，f （x ）在R 上是增函数，t ＜f （a ）＜1， 同理t ＜f （b ）＜1，t ＜f （c ）＜1， 由f （a ）+f （b ）＞f （c ），可得 2t ≥1，解得1＞t ≥． 综上可得，≤t ≤2，故实数t 的取值范围是[，2]；故选：A ． 2．已知函数()421 421 x x x x k f x +?+= ++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为 三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ． 解：()421111 421 21 2 x x x x x x k k f x +?+-= =+ ++++，令()110,13212x x g x ?? = ∈ ???++ 当1k ≥时，()2 13 k f x +<≤ ，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2 23 k +≥ ，所以14k ≤≤ 对多值解析函数的研究 摘要：本文主要分析了复变函数多值性的问题，先从实变函数的反函数对应关系类比推理到复变函数的单值性，研究了一些关键名词的定义，再对几种常见的多值复变函数进行了分析，探讨了多值函数单值化的一般方法，最后讨论了函数多值性的一些具体应用。 关键词: 复变函数; 多值性; 幅角; 单值解解析 0 引言 在学习复变函数的过程中，函数的多值性是复变函数中非常重要的一部分。为了深入研究复数域中解析函数及其应用，在多值函数的研究中，就必须在复数域中透过初等函数多值性的本质，分解出其单值分支，这样才能达到想要的结果。幅角函数的多值性是引起初等复变函数多值性的根本原因。因此，要弄清楚复变函数的多值性问题，就必须以幅角函数为切入点。本文的讨论都是基于一个复数的幅角的不唯一性，这种不确定性，使复变函数除了具有多对一的情形，还有一对多的复杂情况。不论是多对一还是一对多的映射，当然都不如一一映射讨论起来方便、清晰。所以，对于多对一的映射(函数)，类似实变函数中为了求得反函数而划分出单值区间，我们总是要将其定义域分成一些区域的和,使得在分出的每个区域上，原来的多对一映射简单地成为一一映射。 单值函数：在实变函数中，我们所定义的单值函数是：一个x∈A，有唯一的一个y∈R 与之对应。按此定义，表达式：, x≥0并不给出函数，于是我们可以将其看做两个函数和，x≥0的合写，总之，在实分析中，函数f(x)总是单值的。但是，实分析中定义的函数允许多对一，如y=sinx，x∈R就是无穷多个x与一个y对应。 在复变函数中,函数的定义允许一对多，即一个z∈E可以有多个w与之对应，这种情况我们称w是z的多值函数，就是双值的，比如对于z=i，w的值可以是 以及，形成上述原因的根本问题在于复数自身固有的特性，就是模长相等，幅角相差2kπ的两个复数是相等的。或者说，复数的表示不是唯一的。 1 几种常见的复变函数的多值性探讨 1.1复数的幅角函数 幅角的定义: 把复平面上的原点作为起点，向量z作为终点, 那么该向量与实轴正向之间的夹角就称为复数z的幅角，记为Argz，然而在此基础上±2kπ（K为任意整数） 所以函数尸鵲仏I 的值域为占，分 厂cos —° ,可看成点 sin& —(一2) A(sin&,cos0)与B(-2,0)连线的斜率，而 一l-2sin& (2 + sin^)2 三角函数一题多解举例 例1：求函数)U (&G /?)的值域。 2 + sin& 解法一：利用合一公式 y = 2'°" => 2y = -y sin 0 + cos & =y? sin(& + 0), 所以sin(0 + 0)= I 2丁，又|sin(0 + 0)|Wl, Jl + F 叫少'解得兴 解法二：斜率法 (sin&,cos&)在圆 F + y 2 =1 上, 当AB 与圆相切时分别取到最值，结合图形易得函数尸鼎伍R )的 值域为［芈孚 解法三：导数法 y'= 0 得 sin& =-*,cos& = ± 专，从而 - ￥，￥ , 令 2：对任意xe /?,<7cosx + /?cos2x>-ltii 成立，求a + b 的最大值. 例 解法一：特值法，特别快 2^^ ] | ? 6zcosx + /?cos 2x > -1 中取兀=—— 得 d(——) + /?(——)> -1, a + h <2, 3 2 2 4 2 4 2 4 2 2 当 a =—,b =—时，a cos x + b cos 2x = — cos x + — cos 2x = — cos x + — (2 cos x-1) 3 3 3 3 3 3 4 1 . 一 =—(cos x H —)~ —in —1 ,所以 d + b 的最大值为 2. 3 2 解法二：构造二次函数 原不等式即^cosx + /?(2cos 2x-1)>-1 即2/?cos 2x + acosx-b + 1 >0 , 函数（一） 函数解析式与函数值 1．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ） A ．21x + B ．21x - C ．23x - D ．27x + 2．函数)2 3(,32)(-≠+=x x cx x f 满足,)]([x x f f =则常数c 等于（ ） A ．3 B ．3- C ．33-或 D ．35-或 3．已知)0(1)]([,21)(22≠-=-=x x x x g f x x g ，那么)2 1(f 等于（ ） A ．15 B ．1 C ．3 D ．30 4．若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π?->?==??-≤+=) 0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =,则x = 。 7．已知? ??<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++?+≤的解集是 。 8、已知)(21)(x x x f += ，那么=)]([x f f （ ） A 、)(21x x + B 、0 C 、???≤>-)0(0)0(x x x D 、? ??>≤)0(0)0(x x x 9、定义在R 上的函数?? ?≤<-≤<-=-=+) 10(1)01(1)(),()1()(x x x f x f x f x f 且满足，则f （3）= . 10 定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，）， (1)2f =，则(3)f -等于（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 11．已知,a b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++ (全国III 卷）2018年高考数学一题多解（含17年高考试题） 1、【2017年高考数学全国三卷理11】11．已知函数2 1 1()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a = A ．12 - B ． 13 C ． 12 D ．1 【答案】C 函数()f x 的零点满足() 2112e e x x x x a --+-=-+， 设()1 1e e x x g x --+=+，则()()211 1 1 1 1 1e 1e e e e e x x x x x x g x ---+----'=-=- =， 当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =. 设()2 2h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-， 若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点； 若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -?=-，解得1 2 a =.故选C. 解法三：对称性 )(2)(112+--++-=x x e e a x x x f 可得 () 1 1 2 1)2(1222) ()2(2)2()2(+--+----++-=++---=-x x x x e e a x x e e a x x x f )()2(x f x f =-，即1=x 为方程的对称轴. )(x f 有唯一零点，)(x f 的零点为1=x ， 即01=）（f ，解得1 2 a = .故选C. 【考点】函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想 【思路分析】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 2、【2017年高考数学全国三卷理12】12．在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最大值为 A ．3 B ．22 C ．5 D ．2 【答案】A 【解析】 方法一：特殊值法 5 521,2+ ==y x 225 5212>+=+= +y x μλ,故选A 方法二：解析法 如图所示，建立平面直角坐标系. 设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y , 1 引言 解析函数是复变函数论研究的主要对象．Cauchy-Riemann方程则是判断复变函数可微和解析的主要条件，它在复变函数论中的重要作用和地位是不言而喻的．文献[1]、[2]提到函数可微、解析定义及满足它们的一些条件，文献[3]、[4]、[5]给出几种Cauchy-Riemann 方程等价形式． 现在对解析函数Cauchy-Riemann方程研究的文章非常的多，这些文章已经将它们证明研究得比较深刻，但对它们作出全面的概括和总结这方面的工作还是不多，至于应用也很少提到．所以对它的进一步研究和总结还是有其积极意义的． 本文先介绍可微、解析定义，给出解析函数满足Cauchy-Riemann方程，再给出几种Cauchy-Riemann方程的等价形式． 2 基本概念与定理 定义2．1 [1] 设函数()w f z =定义于区域D ， 0z D ∈．如果极限 000 ()() lim z z z D f z f z z z →∈-- 存在，则称()f z 在0z 点可导或可微，其极限值称为函数()f z 在0z 点的导数，记为0'()f z 或 (z z df z dz =） ．即 000 ()() lim '()z z f z f z f z z z →-=-． 有了函数在一点可微的概念以后，下面我们引进复变函数的一个主要概念——解析函数． 定义2．2 [1] 如果函数()w f z =在区域D 内每一点都可微，则称()f z 在D 内解析， 并称()f z 是区域D 内的解析函数． 如果函数()f z 在0z 的某一邻域内解析，则称()f z 在0z 点解析．而函数()f z 在闭区域D 上解析，即存在区域G ，使D G ?，而()f z 在G 内解析． 若在区域D 内除了可能有些例外点外，函数()f z 在D 内其它各点都解析，则这些例外点称为()f z 的奇点． 例1 试证明(Re f z z z =） 在0z =点可微，但在z 平面上任何点都不解析． 证： 先证(f z ）在0z =点可微．因 0 00()(0)Re lim lim lim Re 00z z z f z f z z z z z →→→-===- 故(f z ）在0z =点可微，且'(0)0f =． 设00z ≠，令000z x iy =+，则0x ，0y 至少有一个不为零．又令z x iy =+，考虑极限 二次函数一题多解话方法 确定二次函数解析式是中考的热点之一.亲爱的同学，为帮你掌握确定二次函数解析式的方法，现以一道中考题为例介绍确定二次函数解析式的方法，供你参考. 例已知抛物线经过点A (5，0)、B (6，-6)和原点.求此抛物线的函数解析式. 为了求出这个二次函数的解析式，我们先来回顾二次函数解析式的常见形式： 1.一般式：c bx ax y ++=2(a ，b ，c 为常数，且0≠a )，其特点是：等式右边是二次三项式的一般形式. 2.顶点式：k h x a y +-=2)((a ，h ，k 为常数，且0≠a )，其特点是：(h ，k )是图象的顶点坐标. 3.交点式：))((21x x x x a y --=(a ，1x ，2x 为常数，且0≠a )，其特点是：等式右 边的常数1x ，2x 是抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，即两个交点坐标是(1x ，0)和(2x ，0)（教材没有特别要求，同学们可参考）. 分析一：因为抛物线经过三点A (5，0)、B (6，-6)、O (0，0)，故可选用一般式来求其函数解析式. 解法一：设函数解析式是c bx ax y ++=2，则由题意，得 ?? ?? ?-=++=++=.6636,0525,0c b a c b a c 解得?????==-=.0,5,1c b a 故此抛物线的函数解析式是x x y 52+-=. 点评：若已知图象上的三点坐标或三对x ，y 的对应值，则通常可选用一般式来求其函数解析式.这种方法是求二次函数解析式最基本、最常用的方法，务必熟练掌握. 分析二：由抛物线过原点可知c =0，故可直接设其函数解析式为bx ax y +=2 ，然后代入A 、B 两点坐标进行求解. 解法二：设其表达式为bx ax y +=2，由题意，得 ???-=+=+.6636,0525b a b a 解得???=-=.5,1b a 故此抛物线的函数解析式是x x y 52+-=. 点评：在求函数解析式时，若能根据点的坐标的特殊性而设出较为简便的函数解析式，则可简化解题过程，提高解题速度. 分析三：因为抛物线经过点A (5，0)和O (0，0)，故由此可知其对称轴是直线205+=x = 25 ，即抛物线顶点的横坐标是 25，故可选用顶点式来求解.设其函数解析式为k x a y +-=2)25 (；将点B (6，-6)和O (0，0)代入，从而求得a 、k 得值，进而求得解析式(文章)函数表示法中的一题多解
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