2017考研数学一试题及答案解析
2017考研数学一答案及解析
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
(1
)若函数1(),0,0f x x ax
b x ?-?
=>??≤?
在0x =连续,则( )。 A. 12ab = B. 1
2
ab =-
C. 0ab =
D. 2ab = 【答案】A 【解析】
由连续的定义可得-+
lim ()lim ()(0)x x f x f x f →→==,而
+++2
0001
12lim ()lim lim 2x x x f x ax a
→→→===,-0lim ()x f x b →=,因此可得12b a =,故选择A 。
(2)设函数()f x 可导,且()'()0f x f x >,则( )。 A. (1)(1)f f >- B. (1)(1)f f <- C. |(1)||(1)f f >- D. |(1)||(1)f f <- 【答案】C
【解析】令2
()()F x f x =,则有'()2()'()F x f x f x =,故()F x 单调递增,则(1)(1)F F =-,即2
2[(1)][(1)]f f >-,即|(1)||(1)f f >-,故选择C 。
(3)函数2
2
(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,0)n =r
的方向导数为( )。
A.12
B.6
C.4
D.2 【答案】D
【解析】2{2,,2}gradf xy x z =,因此代入(1,2,0)可得(1,2,0)|{4,1,0}
gradf =,则有122
{4,1,0}{,,}2||333
f u grad u u ?=?==?。 (4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m )处,图中,实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:m/s ),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为0t (单位:s ),则( )。
A. 010t =
B. 01520t <<
C. 025t =
D. 025t > 【答案】C
【解析】从0到0t 时刻,甲乙的位移分别为0
10
()t v t dt ?
与0
20
()t v t dt ?,由定积分的几何意义
可知,
25
210
(()()201010v t v t dt -=-=?
,因此可知025t =。
(5)设α为n 维单位列向量,E 为n 维单位矩阵,则( )。
A. T E αα-不可逆
B. T E αα+不可逆
C. 2T E αα+不可逆
D. 2T E αα-不可逆 【答案】A
【解析】因为T αα的特征值为0(n-1重)和1,所以T E αα-的特征值为1(n-1重)和0,故T E αα-不可逆。
(6)已知矩阵200210100021,020,020*********A B C ????????????===??????????????????
,则( )。 A.A 与C 相似,B 与C 相似 B. A 与C 相似,B 与C 不相似 C. A 与C 不相似,B 与C 相似 D. A 与C 不相似,B 与C 不相似 【答案】B
【解析】A 和B 的特征值为2,2,1,但是A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所依A 可对角化,B 不可,因此选择B 。
(7)设A ,B 为随机事件,若0()1,0()1P A P B <<<<,且(|)(|)P A B P A B >的充分必要条件是( )。 A. (|)(|)P B A P B A > B. (|)(|)P B A P B A < C. (|)(|)P B A P B A > D. (|)(|)P B A P B A < 【答案】A 【解析】
由(|)(|)P A B P A B >得()()()()
()1()()
P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=
-,即()()()P A B P A P B >,因此选择A 。
(8)设12,,(2)n X X X n ≥L 来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记1
1n
i i X X n ==∑,则下列
结论中不正确的是( )。 A.
21()n
i
i X
μ=-∑服从2χ分布
B. 211
2
()n
n
i X
X =-∑服从2χ分布
C.
1
()n
i
i X
X =-∑服从2χ分布
D. 2()n X μ-服从2χ分布 【答案】B
【解析】~(0,1)i X N μ-,故
221
()~()n
i
i X
n μχ=-∑,1~(0,2)n X X N -,因
此
~(0,1)N ,
故2
2
~(1)χ,故B 错误,由2
21
1()1n
i i S X X n ==--∑可得,2
221
(1)()~(1)n
i i n S X X n χ=-=--∑,1
~(0,)X N n μ-
)~(0,1)X N μ-,因
此22()~(1)n X μχ-。
二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上。 (9)已知函数2
1()1f x x
=+,则(3)
(0)f =_________。 【答案】0
【解析】246222
00
1()1()(1)1n
n n n n f x x x x x x x ∞∞
====-+-+=-=-+∑∑L ,因此 230
'''()(1)2(21)(22)n n n f x n n n x ∞
-==---∑,代入可得(3)(0)0f =。
(10)微分方程''2'30y y y ++=的通解为y =_________。
【答案】12()x
e c c -+
【解析】由''2'30y y y ++=,所以2230λλ++=,因此1λ=-,因此通解为:
12()x e c c -+。
(11)若曲线积分221
L xdy aydy x y -+-?在区域22
{(,)|1}D x y x y =+<内与路径无关,则a =_________。 【答案】-1 【解析】设2222
(,),(,)11
x ay P x y Q x y x y x y -=
=+-+-,因此可得: 22222222,(1)(1)P xy Q axy y x y x x y ??=-=?+-?+-,根据P Q
y x
??=??,因此可得1a =-。 (12)幂级数
111
(1)n n n nx ∞--=-∑
在区间(1,1)-内的和函数()S x =_________。
【答案】
2
1
(1)x +
【解析】
111211
1(1)[(1)]'()'1(1)
n n n n
n n x nx x x x ∞
∞---==-=-==++∑
∑。 (13)设矩阵101112011A ??
??=??????
,123,,ααα为线性无关的3维向量,则向量组123,,A A A ααα的秩为_________。 【答案】2
【解析】因为123123(,,)(,,)A A A A αααααα=,而
101101101112011011011011000A ??????
??????=→→??????????????????
,因此()2r A =,所以向量组
123
,,A A A ααα的秩2。
(14)设随机变量X 的分布函数为4
()0.5()0.5(
)2
x F x x -=Φ+Φ,其中()x Φ为标准正态
分布函数,则EX=_________。【答案】2
【解析】
2
2
2
2
2
4
()
2
22
(4)
222
1
()'()
2
x
x
x
x
f x F x
-
--
-
-
-
?
==+?
=+
因此可得2
EX=。
三、解答题:15~23小题,共94分,请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(15)(本题满分10分)
设函数(,)
f u v具有2阶连续偏导数,(,cos)
x
y f e x
=,求
2
00
2
|,|
x x
dy d y
dx dx
==
。
【答案】'
01
|(1,1)
x
dy
f
dx=
=,
2
''''
01112
2
|(1,1)(1,1)(1,1)
x
d y
f f f
dx=
=--
【解析】因为(,cos)
x
y f e x
=,所以''
12
sin
x
dy
f e f x
dx
=-,因此'
01
|(1,1)
x
dy
f
dx=
=
2
''''''''''
1112121222
2
(sin)(sin)sin cos
x x x x
d y
f e f x e f e f e f x x f x
dx
=-+---
因此得:
2
''''
01112
2
|(1,1)(1,1)(1,1)
x
d y
f f f
dx=
=--
(16)(本题满分10分)
求
2
1
lim ln(1)
n
n
k
k k
n n
→∞
=
+
∑
【答案】
1
4
【解析】由定积分的定义可知,
1
20
1
lim ln(1)ln(1)
n
n
k
k k
x x dx
n n
→∞
=
+=+
∑?,然后计算定积分,
21
11212
0000
111ln(1)ln(1)(1)ln(1)|(1)221x x x dx x d x x x dx x -+=+-=+--?+??? 1011
(1)24
x dx =-
-=? (17)(本题满分10分)
已知函数()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定,求()y x 的极值。 【答案】极大值为(1)1y =,极小值为(1)0y -=。
【解析】对333320x y x y +-+-=关于x 求导得:2233'33'0x y y y +-+=,
令'0y =得2
33x =,因此1x =±,当1x =时,1y =,当1x =-时,0y =。
对2233'33'0x y y y +-+=关于x 再次求导得:2266(')3''3''0x y y y y y +++=,将'0y =代入可得26(33)''0x y y ++=
当1x =时,1y =时,代入可得''1y =-,当1x =-时,0y =时,代入可得''2y =,因此有函数的极大值为(1)1y =,极小值为(1)0y -=。
(18)(本题满分10分)
设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数,且(1)0f >,0
()
lim 0x f x x
-
→<,证明: (Ⅰ)方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;
(Ⅱ)方程2
()'()('())0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。 【答案】
(Ⅰ)证:因为0
()
lim 0x f x x
-
→<,由极限的局部保号性知,存在(0,)c δ∈,使得()0f c <,而(1)0f >,由零点存在定理可知,存在(,1)c ξ∈,使得()0f ξ=。
(Ⅱ)构造函数()()'()F x f x f x =,因此(0)(0)'(0)0,()()'()0F f f F f f ξξξ====, 因为0()
lim 0x f x x -
→<,所以'(0)0f <,由拉格朗日中值定理知,存在(0,1)η∈,使得
(1)(0)
'()010
f f f η-=>-,所以'(0)'()0f f η<,因此根据零点定理可知存在1(0,)ξη∈,
使得1'()0f ξ=,所以111()()'()0F f f ξξξ==,所以原方程至少有两个不同实根。
【解析】略
(19)(本题满分10分) 设薄片型物体S
时圆锥面z =
被柱面22z x =割下的有限部分,其上任一点的弧度
为(,,)u x y z =C ,
(Ⅰ)求C 在xOy 平面上的投影曲线的方程; (Ⅱ)求S 的质量M 。
【答案】(Ⅰ)22(1)1
0x y z ?-+=?=?
;(Ⅱ)64。
【解析】(Ⅰ)C
的方程为2
2z z x
?=??=??xOy 平面上为22(1)10x y z ?-+=?=?
(Ⅱ)(,,)M u x y z dS =
=∑∑
????
,dS ==
因此有2cos 2
322
2
2
14418cos 643M d r dr d π
πθ
ππθθθ--====∑
??
?。 (20)(本题满分11分)
三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值,且3122ααα=+, (Ⅰ)证明()2r A =;
(Ⅱ)如果123βααα=++,求方程组Ax β=的通解。 【答案】(Ⅰ)略;(Ⅱ)(1,2,1)(1,1,1),T
T
k k R -+∈。
【解析】(Ⅰ)证:因为A 有三个不同的特征值,所以A 不是零矩阵,因此()1r A ≥,若
()1r A =,那么特征根0是二重根,这与假设矛盾,因此()2r A ≥,又根据3122ααα=+,
所以()2r A ≤,因此()2r A =。
(Ⅱ)因为()2r A =,所以0Ax =的基础解系中只有一个解向量,又3122ααα=+,即
12320ααα+-=,因此基础解系的一个解向量为(1,2,1)T -。因为123βααα=++,故
Ax β=的特解为(1,1,1)T ,因此Ax β=的通解为(1,2,1)(1,1,1),T T k k R -+∈。
(21)(本题满分11分)
设222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准型为22
1122
y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q 。 【答案】2a =
,正交矩阵0Q ? = ?
?
【解析】
二次型对应的矩阵为21411141A a -??
?
=- ? ?-??
,因为标准型为221122y y λλ+,所以0A =,从
而46a +=,即2a =,代入得2
14
11
104
1
2
E A λλλλ---=
-+-=--,解得0,3,6λ=-;
当0λ=时,2140111412E A --?? ?-=-- ? ?--??,化简得111012000--?? ?
- ? ???,对应的特征向量为
()11,2,1T
k ;
当3λ=-时,5143121415E A --?? ?--=--- ? ?--??,化简得1210
11000---?? ?
? ???,对应的特征向量为()21,1,1T
k -;
当6λ=时,4146171414E A -?? ?-=-- ? ?-??,化简得171010000--?? ?
? ???,对应的特征向量为
()31,0,1T
k -;
从而正交矩阵326032
6Q ??- ? = ? ? ? ??
?
。 (22)(本题满分11分)
设随机变量X 和Y 相互独立,且X 的概率分布为1
(0)(2)2
P X P X ====
,Y 的概率密度为2,01
()0,y y f y <=??
其他
(Ⅰ)求{}P Y EY ≤;
(Ⅱ)求Z X Y =+的概率密度。 【答案】 (Ⅰ)
49
(Ⅱ)()11
()(1)22
Z Y Y F z F z F z =+- 【解析】
(Ⅰ)由数字特征的计算公式可知:1
20
2
()23
EY yf y dy y dy +∞
-∞
=
==
?
?,则{}22
3
3024()239P Y EY P Y f y dy ydy -∞??≤=≤===???
???
(Ⅱ)先求Z 的分布函数,由分布函数的定义可知:(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤。由于X 为离散型随机变量,则由全概率公式可知
(){}
{}{}{}{}{}{}0|01|111
Y z 12211
()(1)22Z Y Y F z P X Y z P X P X Y z X P X P X Y z X P P Y z F z F z =+≤==+≤=+=+≤==
≤+≤-=+-
(其中()Y F z 为Y 的分布函数:(){}Y F z P Y z =≤) (23)(本题满分11分)
某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做n 次测量,该物体的质量μ是已知的,设n 次测量结果12,,,n X X X L 相互独立,且均服从正态分布2(,)N μσ,该工程师记录的是n 次测量的绝对误差||,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=L ,利用12,,,n Z Z Z L 估计σ (Ⅰ)求1Z 的概率密度;
(Ⅱ)利用一阶矩求σ的矩估计量; (Ⅲ)求σ的最大似然估计量。 【答案】
(Ⅰ)(
)2
2
2,0()'0,0z z f z F z z σ-?>==≤?
(Ⅱ)^
1
n
i i Z σ==
=
(Ⅲ)^
σ=【解析】
(Ⅰ)因为2~(,)i X N μσ,所以2~(0,)i i Y X N μσ=-,对应的概率密度为
(
)22
2y Y f y σ-
=
,设i Z 的分布函数为()F z ,对应的概率密度为()f z ;
当0z <时,()0F z =;
当0z ≥时,(){}{}
{
}22
2y z
i i i F z P Z z P Y z P z Y z dy σ-
-=≤=≤=-≤≤=
?
;则i
Z 的概率密度为(
)2
2
2,0()'0,0z z f z F z z σ-?>==≤?
;
(Ⅱ)因为220
z i EZ dz σ-
+∞
=
=
?
i σ=,从而σ
的矩估计量为^
1
n
i i Z σ==
=
;
(Ⅲ)由题可知对应的似然函数为(
)2
2
2121
,,,i Z n
n i L z z z σ
σ-==
……,
,取对数得:221ln ln 2n
i i Z L σσ=??=- ? ???
∑,所以231ln ()1n i i Z d L d σσσσ=??=-+ ???∑,令ln ()0d L d σσ=,
得σ=σ
的最大似然估计量为^σ=
2017年考研数学一真题
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的 (1 )若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续,则( ) (A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = (2)设函数()f x 可导,且()()0f x f x '>则( ) (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <- (3)函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为( ) (A)12 (B)6 (C)4 (D)2 (4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m )处,如下图中,实线表示甲的速度曲线()1v v t = (单位:m/s )虚线表示乙的速度曲线()2v v t =,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为0t (单位:s ),则( ) (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t > ()s (5)设α为n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则( ) (A) T E αα-不可逆 (B) T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆 (D)2T E αα-不可逆 (6)已知矩阵200021001A ????=?????? 2100200 01B ????=??????100020002C ????=??????,则( ) (A) A 与C 相似,B 与C 相似 (B) A 与C 相似,B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似,B 与C 相似 (D) A 与C 不相似,B 与C 不相似
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2017年考研数学一真题 一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分. 1.若函数在处连续,则 (A)(B)(C)(D) 2.设函数是可导函数,且满足,则 (A)(B)(C)(D) 3.函数在点处沿向量的方向导数为 (A)(B) (C)(D) 4.甲、乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:米)处,如图中,实线表示甲的速度曲线(单位:米/秒),虚线表示乙的速度曲线(单位:米/秒),三块阴影部分的面积分别为,计时开始后乙追上甲的时刻为,则() (A)(B) (C)(D) 5.设为单位列向量,为阶单位矩阵,则 (A)不可逆(B)不可逆 (C)不可逆(D)不可逆 6.已知矩阵,,,则 (A)相似,相似(B)相似,不相似 (C)不相似,相似(D)不相似,不相似 7.设是两个随机事件,若,,则的充分必要条件是 (A)(B) (C)(D) 8.设为来自正态总体的简单随机样本,若,则下列结论中不正确的是() (A)服从分布(B)服从分布 (C)服从分布(D)服从分布
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.已知函数,则. 10.微分方程的通解为. 11.若曲线积分在区域内与路径无关,则 . 12.幂级数在区间内的和函数为 13.设矩阵,为线性无关的三维列向量,则向量组的秩为.14.设随机变量的分布函数,其中为标准正态分布函数,则. 三、解答题 15.(本题满分10分) 设函数具有二阶连续偏导数,,求,.
求 17.(本题满分10分) 已知函数是由方程. 18.(本题满分10分) 设函数在区间上具有二阶导数,且,,证明:(1)方程在区间至少存在一个实根; (2)方程在区间内至少存在两个不同实根.
2017年考研数学二真题解析
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) )若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续,则( ) (A)12 ab = (B)12 ab =- (C)0ab = (D)2ab = 【答案】A 【解析】00112lim lim ,()2x x x f x ax a ++→→==Q 在0x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. (2)设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且'' ()0f x >,则( ) ()()1 1 110 1 1 1 10()()0 ()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx ----><>????? 【答案】B 【解析】 ()f x 为偶函数时满足题设条件,此时01 1 ()()f x dx f x dx -=??,排除C,D. 取2 ()21f x x =-满足条件,则()1 1 2 1 1 2 ()2103 f x dx x dx --=-=- ? ,选B. (3)设数列{}n x 收敛,则( ) ()A 当limsin 0n n x →∞ =时,lim 0n n x →∞= ()B 当lim(0n n x →∞ + =时,lim 0n n x →∞= ()C 当2lim()0n n n x x →∞ +=时,lim 0n n x →∞= ()D 当lim(sin )0n n n x x →∞ +=时,lim 0n n x →∞ = 【答案】D 【解析】特值法:(A )取n x π=,有limsin 0,lim n n n n x x π→∞ →∞ ==,A 错; 取1n x =-,排除B,C.所以选D. (4)微分方程的特解可设为
2017考研数学一真题
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个 选项是符合题目要求的 (1 )若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续,则 (A)12ab =(B)1 2 ab =-(C)0ab =(D)2ab = (2)设函数()f x 可导,且()()0f x f x '>则 (A)()()11f f >-(B)()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <- (3)函数()2 2 ,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为() (A)12 (B)6 (C)4 (D)2 (4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m )处,如下图中,实线表示甲的速度曲线()1v v t =(单位:m/s )虚线表示乙的速度曲线()2v v t =,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为0t (单位:s ),则 (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t > () s
(5)设α为n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则 (A)T E αα-不可逆 (B)T E αα+不可逆 (C)2T E αα+不可逆 (D)2T E αα-不可逆 (6)已知矩阵200021001A ????=??????210020001B ????=??????100020002C ????=?????? ,则 (A) A 与C 相似,B 与C 相似 (B) A 与C 相似,B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似,B 与C 相似 (D) A 与C 不相似,B 与C 不相似 (7)设,A B 为随机事件,若0()1,0()1P A P B <<<<,则() () P A B P A B >的充分必要条件是() A.() () P B A P B A > B () () P B A P B A < C.() ( ) P P B A B A > D.() ( ) P P B A B A < (8)设12,......(2)n X X X n ≥来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记1 1n i i X X n ==∑ 则下列结论中不正确的是: (A)2()i X μ∑-服从2 χ分布 (B)212()n X X -服从2χ分布 (C) 21 ()n i i X X =-∑服从2χ分布 (D)2 ()n X μ-服从2 χ分布 二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。 (9) 已知函数 21 ()1f x x = +,则(3) (0)f =__________
2017年考研数学一真题及答案(全)
2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1 )若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在x 连续,则 (A) 12 ab =. (B) 12 ab =- . (C) 0ab =. (D) 2ab =. 【答案】A 【详解】由0 1 lim 2x b a + →==,得12ab =. (2)设函数()f x 可导,且()'()0f x f x >则 (A) ()()11f f >- . (B) ()()11f f <-. (C) ()()11f f >-. (D) ()()11f f <-. 【答案】C 【详解】2() ()()[]02 f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. (3)函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12. (B) 6. (C) 4. (D)2 . 【答案】D 【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33 = ==αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可. (4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m)处.图中,实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:m/s),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位:m/s),三块阴影部分面积的数值一次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位:s),则
2017数学2考研真题及答案详解
绝密★启用前 2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学(二) (科目代码302) 考生注意事项 1.答题前,考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号;在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号,并涂写考生编号信息点。 2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下,粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的,责任由考生自负。 3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上,非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题册上答题无效。 4.填(书)写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写,字迹工整、笔迹清楚;涂写部分必须使用2B铅笔填涂。 5.考试结束后,将答题卡和试题册按规定一并交回,不可带出考场。 精选
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1 )若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续,则( ) (A)12 ab = (B)12 ab =- (C)0ab = (D)2ab = (2)设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且'' ()0f x >,则( ) ()()1 1 110 1 1 1 10()()0 ()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx ----><>????? (3)设数列{}n x 收敛,则( ) ()A 当limsin 0n n x →∞ =时,lim 0n n x →∞ = ()B 当lim(0n n x →∞ =时,lim 0n n x →∞= ()C 当2lim()0n n n x x →∞ +=时,lim 0n n x →∞ = ()D 当lim(sin )0n n n x x →∞ +=时,lim 0n n x →∞ = (4)微分方程的特解可设为 (A )22(cos 2sin 2)x x Ae e B x C x ++ (B )22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ (C )22(cos 2sin 2)x x Ae xe B x C x ++ (D )22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ (5)设(,)f x y 具有一阶偏导数,且对任意的(,)x y ,都有 (,)(,) 0,0f x y f x y x y ??>>??,则 (A )(0,0)(1,1)f f > (B )(0,0)(1,1)f f < (C )(0,1)(1,0)f f > (D )(0,1)(1,0)f f < (6)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m )处,图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:/m s ),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为0t (单位:s ),则( ) (A )010t = (B )01520t << (C )025t = (D )025t >
2017考研数学一真题解析
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 (1 )若函数()0,0f x x b x =>?≤? 在0x =连续,则( )。 A. 12ab = B. C. D. x 择(A. B. C. D. 【解析】令2 ()()F x f x =,则有'()2()'()F x f x f x =,故()F x 单调递增,则(1)(1)F F =-,即2 2[(1)][(1)]f f >-,即|(1)||(1)f f >-,故选择C 。 (3)函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,0)n =r 的方向导数为( )。 A.12 B.6
C.4 D.2 【答案】D 【解析】2{2,,2}gradf xy x z =,因此代入(1,2,0)可得(1,2,0)|{4,1,0} gradf =,则有122 {4,1,0}{,,}2||333 f u grad u u ?=?==?。 (4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m )处,图中,实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:m/s ),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为0t (单位:s ),则( )。 A. 010t = B. 01520t << C. 025t = D. 025t > 【答案】C 【解析】从0到0t 时刻,甲乙的位移分别为0 10 ()t v t dt ? 与0 20 ()t v t dt ?,由定积分的几何意义 可知, 25 210 (()()201010v t v t dt -=-=? ,因此可知025t =。 (5)设α为n 维单位列向量,E 为n 维单位矩阵,则( )。 A. T E αα-不可逆 B. T E αα+不可逆
2017考研数学一真题及答案
2017考研数学一真题及答案 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1 )若函数1,0(),0x f x ax b x ?->? =??≤? 在0x =处连续,则( ) ()()11()2 2()02 A ab B ab C ab D ab = =-== 【答案】A 【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a ++→→-==Q 在0 x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. (2)设函数()f x 可导,且' ()()0f x f x >,则( ) ()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1) (1)(1) A f f B f f C f f D f f >-<->-<- 【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >?>∴? >?Q 或()0 (2)'()0 f x f x ?,只有C 选项满足(1)且满足 (2),所以选C 。 (3)函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为( ) ()12 ()6()4()2A B C D 【答案】D 【解析】 2(1,2,0) 122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333 f u gradf xy x z gradf gradf u ?=?=? =?=?=?
2 选D. (4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m )处,图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:/m s ),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为0t (单位:s ),则( ) () s 0000()10 ()1520()25()25A t B t C t D t =<<=> 【答案】B 【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为 120 (t),(t),t t v dt v dt ? ?则乙要追上甲,则 210 (t)v (t)10t v dt -=? ,当025t =时满足,故选C. (5)设α是n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则( ) ()()()()22T T T T A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆 不可逆 【答案】A 【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=T E x 有非零解,故0αα-=T E 。 即αα-T E 不可逆。选项B,由()1ααα=T r 得ααT 的特征值为n-1个0,1.故αα+T E 的 特征值为n-1个1,2.故可逆。其它选项类似理解。 (6)设矩阵200210100021,020,020*********A B C ????????????===?????????????????? ,则( )
考研数学一真题及答案
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2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1 )若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续,则 (A) 12 ab = . (B) 1 2 ab =-. (C) 0ab =. (D) 2ab =. 【答案】A 【详解】由0 11lim 2x b ax a + →-==,得1 2 ab =. (2)设函数()f x 可导,且()'()0f x f x >则 (A) ()()11f f >- . (B) ()()11f f <-. (C) ()()11f f >-. (D) ()()11f f <-. 【答案】C 【详解】2() ()()[]02 f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. (3)函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12. (B) 6. (C) 4. (D)2 . 【答案】D 【详解】方向余弦12 cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入 cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可. (4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m)处.图中,实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:m/s),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位:m/s),三块阴影部
2017年考研数学三真题与解析
2017年考研数学三真题与解析
2017年考研数学三真题 一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分. 1.若函数 1cos 0(),0x x f x b x ->=?≤? 在0x =处连续,则 (A )12ab =(B )1 2 ab =-(C )0ab =(D )2ab = 【详解】 0001 112lim ()lim lim 2x x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ,0lim ()(0)x f x b f - →==,要使函 数在0x =处连续,必须满足1122b ab a =?=.所以应该选(A ) 2.二元函数(3)z xy x y =--的极值点是( ) (A )(0,0) (B )03(,) (C )30(,) (D )11(,) 【详解】2 (3)32z y x y xy y xy y x ?=---=--?,2 32z x x xy y ?=--?, 2222222,2,32z z z z y x x x y x y y x ????=-=-==-?????? 解方程组 22320320z y xy y x z x x xy y ??=--=??????=--=???,得四个驻点.对每个驻点验证 2 AC B -,发现只有在点11(,)处满足2 30 AC B -=>,且20A C ==-<, 所以11(,)为函数的极大值点,所以应该选(D ) 3.设函数()f x 是可导函数,且满足()()0f x f x '>,则 (A )(1)(1)f f >- (B )11()()f f <- (C )11()() f f > - (D ) 11()()f f < -
2017考研数学一试题及答案解析
2017考研数学一答案及解析 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 (1 )若函数1(),0,0f x x ax b x ?-? =>??≤? 在0x =连续,则( )。 A. 12ab = B. 1 2 ab =- C. 0ab = D. 2ab = 【答案】A 【解析】 由连续的定义可得-+ lim ()lim ()(0)x x f x f x f →→==,而 +++2 0001 12lim ()lim lim 2x x x f x ax a →→→===,-0lim ()x f x b →=,因此可得12b a =,故选择A 。 (2)设函数()f x 可导,且()'()0f x f x >,则( )。 A. (1)(1)f f >- B. (1)(1)f f <- C. |(1)||(1)f f >- D. |(1)||(1)f f <- 【答案】C 【解析】令2 ()()F x f x =,则有'()2()'()F x f x f x =,故()F x 单调递增,则(1)(1)F F =-,即2 2[(1)][(1)]f f >-,即|(1)||(1)f f >-,故选择C 。
(3)函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,0)n =r 的方向导数为( )。 A.12 B.6 C.4 D.2 【答案】D 【解析】2{2,,2}gradf xy x z =,因此代入(1,2,0)可得(1,2,0)|{4,1,0} gradf =,则有122 {4,1,0}{,,}2||333 f u grad u u ?=?==?。 (4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m )处,图中,实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:m/s ),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为0t (单位:s ),则( )。 A. 010t = B. 01520t << C. 025t = D. 025t > 【答案】C 【解析】从0到0t 时刻,甲乙的位移分别为0 10 ()t v t dt ? 与0 20 ()t v t dt ?,由定积分的几何意义 可知, 25 210 (()()201010v t v t dt -=-=? ,因此可知025t =。 (5)设α为n 维单位列向量,E 为n 维单位矩阵,则( )。
2017年考研数学1真题
2017年考研数学1真题 一、选择题 (1)若函数在x=0处连续,则(1)。 A. B. C. D. (2)设函数可导,且,则(2)。 A.与 B.与 C.与 D.与 (3)函数在点(1,2,0)处沿向量u=(1,2,2)的方向导数为(3)。 A.12 B. 6 C. 4 D. 2 (4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m)处,图中实线表示甲的速度曲线(单位:m/s),虚线表示的速度曲线,三块部分 面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位:s),则 (3)。 A. B. C. D. (5)设是n维单位列向量,E为n阶单位矩阵,则(5)。 A.不可逆 B.不可逆 C.不可逆 D.不可逆 (6)设矩阵,,,则(6)。
A.A与C相似,B与C相似 B.A与C相似,B与C不相似 C.A与C不相似,B与C相似 D.A与C不相似,B与C不相似 (7)设A、B为随机概率,若,则的充分必要条件是(7)。 A. B. C. D. (8)设X1,X2,…Xn(n≥2)为来自总体N(μ,1)的简单随机样本,记,则下 列结论中不正确的是(8)。 A.μ服从分布 B.服从分布 C.服从分布 D.μ服从分布 二、填空题 (9)已知函数,则(9)。 (10)微分方程的通解为(10)。 (11)若曲线积分在区域内与路径无关,则(11)。 (12)幂级数在区间(-1,1)内的和函数(12)。 (13)设矩阵,为线性无关的3维列向量组,则向量组 的秩为(13)。 (14)设随机变量X的分布函数为,其中为标准正态 分布函数,则(14)。 三、解答题 (15)设函数具有2阶连续偏导数,,求|,|。 (16)求。 (17)已知函数由方程确定,求的极值。 (18)设函数在区间[0,1]上具有2阶导数,且,证明。 1.方程在区间(0,1)至少存在一个实根; 2.方程在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。 (19)设薄片型物体S是圆锥面被柱面割下的有限部分,其上任一点的密度为μ。记圆锥面与柱面的交线为C。 1.求C在xOy平面上的投影曲线方程。
2017数学2考研真题及答案详解
文档 绝密★启用前 2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学(二) (科目代码302) 考生注意事项 1.答题前,考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号;在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号,并涂写考生编号信息点。 2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下,粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的,责任由考生自负。 3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上,非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题册上答题无效。 4.填(书)写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写,字迹工整、笔迹清楚;涂写部分必须使用2B铅笔填涂。 5.考试结束后,将答题卡和试题册按规定一并交回,不可带出考场。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1 )若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续,则( ) (A)12 ab = (B)12 ab =- (C)0ab = (D)2ab = (2)设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且'' ()0f x >,则( ) ()()1 1 110 1 1 1 10()()0 ()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx ----><>????? (3)设数列{}n x 收敛,则( ) ()A 当limsin 0n n x →∞ =时,lim 0n n x →∞ = ()B 当lim(0n n x →∞ =时,lim 0n n x →∞= ()C 当2lim()0n n n x x →∞ +=时,lim 0n n x →∞ = ()D 当lim(sin )0n n n x x →∞ +=时,lim 0n n x →∞ = (4)微分方程的特解可设为 (A )22(cos 2sin 2)x x Ae e B x C x ++ (B )22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ (C )22(cos 2sin 2)x x Ae xe B x C x ++ (D )22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ (5)设(,)f x y 具有一阶偏导数,且对任意的(,)x y ,都有 (,)(,) 0,0f x y f x y x y ??>>??,则 (A )(0,0)(1,1)f f > (B )(0,0)(1,1)f f < (C )(0,1)(1,0)f f > (D )(0,1)(1,0)f f < (6)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m )处,图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:/m s ),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为0t (单位:s ),则( ) (A )010t = (B )01520t << (C )025t = (D )025t >
2017年全国考研数学三真题版
2017年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷 《数学三》试题 一、选择题:1—8小题.每小题4分,共32分. 1 .若函数0(),0x f x b x >=?≤?在0x =处连续,则 (A )12ab = (B )1 2 ab =- (C )0ab = (D )2ab = 2.二元函数(3)z xy x y =--的极值点是( ) (A )(0,0) (B )03(,) (C )30(,) (D )11(,) 3.设函数()f x 是可导函数,且满足()()0f x f x '>,则 (A )(1)(1)f f >- (B )11()()f f <- (C )11()()f f >- (D )11()()f f <- 4. 若级数21 1sin ln(1)n k n n ∞ =??--??? ?∑收敛,则k =( ) (A )1 (B )2 (C )1- (D )2- 5.设α为n 单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则 (A )T E αα-不可逆 (B )T E αα+不可逆 (C )2T E αα+不可逆 (D )2T E αα-不可逆 6.已知矩阵200021001A ?? ?= ? ???,210020001B ?? ?= ? ???,100020002C ?? ? = ? ??? ,则 (A ),A C 相似,,B C 相似 (B ),A C 相似,,B C 不相似 (C ),A C 不相似,,B C 相似 (D ),A C 不相似,,B C 不相似 7.设,A B ,C 是三个随机事件,且,A C 相互独立,,B C 相互独立,则A B 与C 相互
(A ),A B 相互独立 (B ),A B 互不相容 (C ),AB C 相互独立 (D ),AB C 互不相容 8.设12,, ,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本,若1 1n i i X X n ==∑,则 下列结论中不正确的是( ) (A )21()n i i X μ=-∑服从2χ分布 (B )()2 12n X X -服从2χ分布 (C )21 ()n i i X X =-∑服从2χ分布 (D )2()n X μ-服从2χ分布 二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9 .3(sin x dx π π -+=? . 10.差分方程122t t t y y +-=的通解为 . 11.设生产某产品的平均成本()1Q C Q e -=+,其中产量为Q ,则边际成本为 . 12.设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数,且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++, (0,0)0f =,则(,)f x y = 13.设矩阵101112011A ?? ? = ? ??? ,123,,ααα为线性无关的三维列向量,则向量组123 ,,A A A ααα的秩为 . 14.设随机变量X 的概率分布为{}1 22 P X =-=,{}1P X a ==,{}3P X b ==,若0EX =,则DX = .
2017年考研数学一真题及答案解析
2017年考研数学一真题及答案解析 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1 )若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续,则( ) ()()11()2 2()02 A ab B ab C ab D ab = =-== 【答案】A 【解析】00112lim lim ,()2x x x f x ax a ++ →→==Q 在0x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. (2)设函数()f x 可导,且' ()()0f x f x >,则( ) ()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1) (1)(1) A f f B f f C f f D f f >-<->-<- 【答案】C 【解析】' ()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >?>∴?>?Q 或()0 (2)'()0f x f x ? ,只有C 选项满足(1)且满足(2),所以选C 。 (3)函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为( ) ()12 ()6()4()2A B C D 【答案】D 【解析】2(1,2,0) 122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2. |u |333 f u gradf xy x z gradf gradf u ?=?=? =?=?=? 选D. (4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m )处,图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:/m s ),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追