(精典)磁场中各种边界问的题目解析汇报

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电磁边界问题

“临界问题”大量存在于高中物理的许多章节中，如“圆周运动中小球能过最高点的速度条件”“动量中的避免碰撞问题”等等，这类题目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是找准临界状态。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，在解答上除了有求解临界问题的共性外，又有它自身的一些特点。

一、解题方法画图→动态分析→找临界轨迹。

（这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大半，余下的就只有计算了──这一般都不难。

）二、常见题型（B为磁场的磁感应强度，v0为粒子进入磁场的初速度）分述如下：第一类问题：例1 如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF。

一电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界夹角为θ。

已知电子的质量为m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v0至少多大？分析：如图2，通过作图可以看到：随着v0的增大，圆半径增大，临界状态就是圆与边界EF相切，然后就不难解答了。

第二类问题：例2如图3所示，水平线MN下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，在MN线上某点O正下方与之相距L的质子源S，可在纸面内360°范围内发射质量为m、电量为e、速度为v0=BeL/m的质子，不计质子重力，打在MN上的质子在O点右侧最远距离OP=________，打在O点左侧最远距离OQ=__________。

分析：首先求出半径得r=L，然后作出临界轨迹如图4所示（所有从S发射出去的质子做圆周运动的轨道圆心是在以S为圆心、以r=L为半径的圆上，这类问题可以先作出这一圆──就是圆心的集合，然后以圆上各点为圆心，作出一系列动态圆），OP=，OQ=L。

【练习】如图5所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。

P为屏上的一小孔，PC与MN垂直。

一群质量为m、带电荷量为－q的粒子（不计重力），以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。

考点4.1 带电粒子在磁场中运动之直线磁场边界问题 Word版含解析

考点4.1 直线磁场边界问题(1)直线边界(2)对称性：粒子从同一直线边界进出磁场时，入射方向与出射方向与边界的夹角相等。

(3) 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动解题“三步法”①画轨迹：即确定圆心，画出运动轨迹．②找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度的联系，偏转角度与圆心角、运动时间的联系，在磁场中的运动时间与周期的联系．③用规律：即牛顿运动定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式．1.（多选）如图所示，两个带电粒子M和N，以相同的速度经小孔S垂直进入同一匀强磁场，运行的半圆轨迹如图两种虚线所示，下列表述正确的是( AB )A.M带负电，N带正电B.M的运行时间不可能等于N的运行时间C.M的带电量小于N的带电量D.M的质量大于N的质量2.（多选）日本福岛核电站的核泄漏事故，使碘的同位素131被更多的人所了解。

利用质谱仪可分析碘的各种同位素，如图所示，电荷量均为＋q的碘131和碘127质量分别为m1和m2，它们从容器A下方的小孔S1进入电压为U的加速电场(入场速度忽略不计)，经电场加速后从S2小孔射出，垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上。

下列说法正确的是(BD)A.磁场的方向垂直于纸面向里B.碘131进入磁场时的速率为2qU m1C. 碘131与碘127在磁场中运动的时间差值为2π（m1－m2）qBD. 打到照相底片上的碘131与碘127之间的距离为2B(2m1Uq－2m2Uq) 3. (2016·全国卷Ⅰ，15)现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。

质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。

若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。

此离子和质子的质量比约为( D ) A ．11 B ．12 C ．121D ．1444. 如图所示，在边界上方存在着垂直纸面向里的匀强磁场，有两个电荷量、质量均相同的正、负粒子(不计重力)，从边界上的O 点以相同速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则关于正、负粒子在磁场中的运动情况，下列说法错误的是（ B ） A. 运动轨迹的半径相同 B. 重新回到边界所用时间相同 C. 重新回到边界时速度大小和方向相同 D. 重新回到边界时与O 点的距离相等5. 一个带电粒子以初速度v 0垂直于电场方向向右射入匀强电场区域，穿出电场后接着又进入匀强磁场区域．设电场和磁场区域有明确的分界线，且分界线与电场强度方向平行，如图中的虚线所示．在图所示的几种情况中，可能出现的是( AD)6. 如图所示，在x 轴上方存在磁感应强度为B 的匀强磁场，一个电子(质量为m ，电荷量为q )从x 轴上的O 点以速度v 斜向上射入磁场中，速度方向与x 轴的夹角为45°并与磁场方向垂直。

高中物理高频考点《边界磁场问题分析与强化训练》(附详细参考答案)

边界磁场问题分析与强化训练（附详细参考答案）一、边界磁场问题分析及例题讲解：1．带电粒子在有界磁场中运动的常见情形（1）直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示）（2）平行边界（存在临界条件，如图所示）（3）圆形边界（沿径向射入必沿径向射出，如图所示）（4）矩形边界：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。

（5）三边形边界：如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的粒子临界轨迹示意图。

已知边长为2a，D点距A点3a，粒子能从AB间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从AC间射出的临界轨迹如图乙所示。

2．带电粒子在有界磁场中的常用几何关系（1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。

（2）三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2倍。

3．几点注意（1）当带电粒子射入磁场时的速度v大小一定，但射入方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径R是确定的。

在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件。

（2）当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v大小或磁场的磁感应强度B 变化时，粒子做圆周运动的轨道半径R随之变化．可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件。

4．求解带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和极值问题的方法由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件（①带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零；②射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切。

），然后应用数学知识和相应物理规律分析求解。

（1）两种思路一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。

考点4.2 带电粒子在磁场中运动之平行磁场边界问题 Word版含解析

考点4.2 平行磁场边界问题1. 平行磁场边界：常见的定圆心有两情情形：(1)已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图3甲所示，P 为入射点，M 为出射点)．(2)已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P 为入射点，M 为出射点)．2. 平行边界(存在临界条件，如图所示)1. 质量为m ，电荷量为q 的带负电粒子自静止开始，经M 、N 板间的电场加速后，从A 点垂直于磁场边界射入宽度为d 的匀强磁场中，该粒子离开磁场时的位置P 偏离入射方向的距离为L ，如图所示．已知M 、N 两板间的电压为U ，粒子的重力不计．求匀强磁场的磁感应强度B .【答案】2LL 2＋d 22mUq2. 如图所示，一束电荷量为e 的电子以垂直于磁感应强度B 并垂直于磁场边界的速度v 射入宽度为d 的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ=60°，求电子的质量和穿越磁场的时间．【答案】（1（23. （多选）在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P ＋和P 3＋，经电压为U 的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图所示．已知离子P ＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出．在电场和磁场中运动时，离子P ＋和P 3＋( BCD )A. 在电场中的加速度之比为1∶1B. 在磁场中运动的半径之比为3∶1C. 在磁场中转过的角度之比为1∶2D.离开电场区域时的动能之比为1∶34. 如图所示，匀强磁场的边界CD 和EF 相互平行，宽度为d ，磁感应强度为B ，一带负电粒子垂直磁场方向射入，入射方向与CD 边界夹角为θ=3π，已知粒子的质量为m ，电荷量为q ，不计粒子重力．（1）若粒子垂直边界EF 射出磁场，求粒子运动的速率和在磁场中运动的时间；（2）若粒子运动轨迹恰好与边界EF 相切，则粒子的速率为多大？【答案】（1）2qBd m 6m qB π（2）23qBdm5.如图所示，ab、cd、ef是同一竖直平面的三条水平直线，它们之间的距离均为d=0.3m，ab与cd之间的区域内有水平向右的匀强电场，在cd与ef之间的区域内有方向垂直竖直面向=3×108c/kg的带正电粒子以初速度v0=3×106 m/s垂里的匀强磁场．一个不计重力、比荷qm直ab射入电场，粒子经过电场后，速度方向与cd成30°角进入磁场，最后垂直于ef离开磁场．求：（1）匀强电场的场强E的大小；（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小；（3）粒子从ef离开磁场时出射点与从ab进入电场时的入射点间的水平距离．10V/m （2T （3m【答案】（156. 如图所示，M 、N 、P 为很长的平行边界面，M 、N 与M 、P 间距分别为l 1、l 2，其间分别有磁感应强度为B 1和B 2的匀强磁场区，Ⅰ和Ⅱ磁场方向垂直纸面向里，B 1≠B 2，有一带正电粒子的电量为q ，质量为m ，以某一初速度垂直边界N 及磁场方向射入MN 间的磁场区域．不计粒子的重力．求：（1）要使粒子能穿过Ⅰ磁场进入Ⅱ磁场，粒子的初速度v 0至少应为多少？（2）若粒子进入磁场的初速度v 1=112qB l m，则粒子第一次穿过Ⅰ磁场的时间t 1是多少？（3）粒子初速度v 为多少时，才可恰好穿过两个磁场区域．【答案】（1）10Bql v m =（2）16m B qπ（3）1122qB l qB l m +7. 如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。

磁场边界问题

(1)模型概述带电粒子在有界磁场中的偏转问题一直是高考的热点，此类模型较为复杂，常见的磁场边界有单直线边界、双直线边界、矩形边界和圆形边界等．因为是有界磁场，则带电粒子运动的完整圆周往往会被破坏，可能存在最大、最小面积、最长、最短时间等问题．(2)模型分类 Ⅰ.单直线边界型当粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子时以图8－2－11(甲)中带负电粒子的运动为例．图8－2－11 规律要点 ①最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于12圆周且与边界相切时(如图中a 点)，切点为带电粒子不能射出磁场的最值点(或恰能射出磁场的临界点)．②最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于12圆周时，直径与边界相交的点(如图8－2－11(甲)中的b 点)为带电粒子射出边界的最远点(距O 最远)．Ⅱ.双直线边界型当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，以图8－2－11(乙)中带负电粒子的运动为例．规律要点①最值相切：粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切．如图8－2－11(乙)所示．②对称性：过粒子源S 的垂线为ab 的中垂线．在如图(乙)中，a 、b 之间有带电粒子射出，可求得ab ＝22dr －d 2最值相切规律可推广到矩形区域磁场中．Ⅲ.圆形边界(1)圆形磁场区域规律要点 ①相交于圆心：带电粒子沿指向圆心的方向进入磁场，则出磁场时速度矢量的反向延长线一定过圆心，即两速度矢量相交于圆心，如图8－2－12(甲)．②直径最小：带电粒子从直径的一个端点射入磁场，则从该直径的另一端点射出时，磁场区域面积最小．如图8－2－12(乙)所示．(2)环状磁场区域规律要点①径向出入：带电粒子沿(逆)半径方向射入磁场，若能返回同一边界，则一定逆(沿)半径方向射出磁场．②最值相切：当带电粒子的运动轨迹与圆相切时，粒子有最大速度v m 而磁场有最小磁感应强度B .如图8－2－12(丙)．图8－2－12图8－2－13【典例】如8－2－13所示，两个同心圆，半径分别为r 和2r ，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B .圆心O 处有一放射源，放出粒子的质量为m ，带电量为q ，假设粒子速度方向都和纸面平行．(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A 点，则初速度的大小是多少(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少解析 (1)如图所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R 1，则由几何关系得R 1＝3r 3，又qv 1B ＝m v 12R 1得v 1＝3Bqr 3m .(2)设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R 2，则由几何关系有(2r －R 2)2＝R 22＋r 2可得R 2＝3r 4，又qv 2B ＝m v 22R 2，可得v 2＝3Bqr4m故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过3Bqr4m .答案 (1)3Bqr 3m (2)3Bqr4m对应学生用书P140图8－2－141．(2011·海南卷，10改编)如图8－2－14所示空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界．一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O 点入射．这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不计重力，下列说法正确的是( )．A ．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同B ．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同C ．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同D ．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越小解析带电粒子进入磁场后，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据qvB ＝mv 2r 得轨道半径r ＝mvqB ，粒子的比荷相同．故不同速度的粒子在磁场中运动的轨道半径不同，轨迹不同，相同速度的粒子，轨道半径相同，轨迹相同，故B 正确．带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T ＝2πr v ＝2πmqB ，故所有带电粒子的运动周期均相同．若带电粒子从磁场左边界射出磁场，则这些粒子在磁场中运动时间是相同的，但不同速度轨迹不同，故A 、C 错误．根据θt ＝2πT 得θ＝2πT t ，所以t 越长，θ越大，故D 错误．答案 B 2．(2011·浙江卷，20改编)利用如图8－2－15所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子．图中板MN 上方是磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d 和d 的缝，两缝近端相距为L .一群质量为m 、电荷量为q ，具有不同速度的粒子从宽度为2d 的缝垂直于板MN 进入磁场，对于能够从宽度为d 的缝射出的粒子，下列说法正确的是( )．图8－2－15A ．粒子带正电B ．射出粒子的最大速度为2mqB 3d ＋LC ．保持d 和L 不变，增大B ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大D ．保持d 和B 不变，增大L ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大解析利用左手定则可判定只有负电荷进入磁场时才向右偏，故选项A 错误．利用qvB ＝mv 2r 知r ＝mv qB ，能射出的粒子满足L 2≤r ≤L ＋3d 2，因此对应射出粒子的最大速度v max ＝qBr max m ＝qB 3d ＋L 2m ，选项B 错误．最小速度v min ＝qBr min m －qBL 2m ，Δv ＝v max －v min ＝3qBd2m ，由此式可判定选项C正确，选项D错误．答案C3．(2011·广东卷，35)如图8－2－16(a)所示，在以O为圆心，内外半径分别为R1和R2的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差U为常量，R1＝R0，R2＝3R0.一电荷量为＋q，质量为m的粒子从内圆上的A点进入该区域，不计重力．(1)已知粒子从外圆上以速度v1射出，求粒子在A点的初速度v0的大小．(2)若撤去电场，如图8－2－16(b)，已知粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度v2射出，方向与OA延长线成45°角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间．(3)在图8－2－16(b)中，若粒子从A点进入磁场，速度大小为v3，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少图8－2－16解析(1)根据动能定理，qU＝12mv12－12mv02，所以v0＝v12－2qUm.(2)如图所示，设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，由几何知识可知R2＋R2＝(R2－R1)2，解得R＝2R0.根据洛伦兹力公式和牛顿第二定律qv2B＝mv22R.解得B＝mv2q2R0＝2mv22qR0.根据公式tT＝θ2π，2πR＝v2T，qv2B＝mv22R，解得t＝T4＝2πm4Bq＝2πm4×mv22R0＝2πR02v2.(3)考虑临界情况，如图所示①qv3B1′＝mv32R0，解得B1′＝mv3qR0，②qv 3B 2′＝m v 322R 0，解得B 2′＝mv 32qR 0，综合得：B ′<mv 32qR 0.答案 (1) v 12－2qU m (2)2mv 22qR 0 2πR 02v 2 (3)mv 32qR 0图8－2－174．(2011·课标全国卷，25)如图8－2－17所示，在区域Ⅰ(0≤x ≤d )和区域Ⅱ(d <x ≤2d )内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B 和2B ，方向相反，且都垂直于Oxy 平面．一质量为m 、带电荷量q (q >0)的粒子a 于某时刻从y 轴上的P 点射入区域Ⅰ，其速度方向沿x 轴正向．已知a 在离开区域Ⅰ时，速度方向与x 轴正向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a 相同的粒子b 也从P 点沿x 轴正向射入区域Ⅰ，其速度大小是a 的13.不计重力和两粒子之间的相互作用力．求：(1)粒子a 射入区域Ⅰ时速度的大小；(2)当a 离开区域Ⅱ时，a 、b 两粒子的y 坐标之差．解析 (1)设粒子a 在Ⅰ内做匀速圆周运动的圆心为C (在y 轴上)．半径为R a 1，粒子速率为v a ，运动轨迹与两磁场区域边界的交点为P ′，如图所示．由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得qv a B ＝m v a2R a 1①由几何关系得∠PCP ′＝θ②R a 1＝d sin θ ③ 式中，θ＝30°，由①②③式得v a ＝2dqB m ④ (2)设粒子a 在Ⅱ内做圆周运动的圆心为O a ，半径为R a 2，射出点为P a (图中未画出轨迹)，∠P ′O a P a ＝θ′.由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得qv a (2B )＝m v a 2R a 2⑤由①⑤式得R a 2＝R a 12⑥C 、P ′和O a 三点共线，且由⑥式知O a 点必位于x ＝32d ⑦ 的平面上．由对称性知，P a 点与P ′点纵坐标相同，即 y Pa ＝R a 1cos θ＋h ⑧式中，h 是C 点的y 坐标．设b 在Ⅰ中运动的轨道半径为R b 1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得q ⎝⎛⎭⎫v a 3B ＝m R b 1⎝⎛⎭⎫v a 32⑨当a 到达P a 点时，b 位于P b 点，转过的角度为α.如果b 没有飞出Ⅰ，则t T a 2＝θ′2π⑩t T b 1＝α2π式中，t 是a 在区域Ⅱ中运动的时间，而T a 2＝2πR a 2v aT b 1＝2πR b 1v a 3由⑤⑨⑩式得α＝30°由①③⑨式可见，b 没有飞出Ⅰ.P b 点的y 坐标为 y Pb ＝R b 1(2＋cos α)＋h由①③⑧⑨式及题给条件得，a 、b 两粒子的y 坐标之差为y Pa －y Pb ＝23(3－2)d答案 (1)2dqB m (2)23(3－2)d第3讲带电粒子在复合场中的运动对应学生用书P141复合场复合场是指电场、磁场和重力场并存，或其中某两场并存，或分区域存在．从场的复合形式上一般可分为如下四种情况：①相邻场；②重叠场；③交替场；④交变场.带电粒子在复合场中的运动分类 1.静止或匀速直线运动当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动． 2．匀速圆周运动当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．3．较复杂的曲线运动当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．4．分阶段运动带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运电场磁场同区域应用实例装置原理图规律速度选择器若qv 0B ＝Eq ，即v 0＝EB ，粒子做匀速直线运动磁流体发电机等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极电压为U时稳定，qUd＝qv0B，U＝vBd电磁流量计UD q＝qvB所以v＝UDB所以Q＝vS＝UDBπ⎝⎛⎭⎫D22质谱仪、回旋加速器《见第2讲》复合场中重力是否考虑的三种情况(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略．而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、金属块等，一般应考虑其重力．(2)在题目中明确说明的按说明要求是否考虑重力．(3)不能直接判断是否考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要由分析结果确定是否考虑重力．图8－3－11．如图8－3－1是磁流体发电机的原理示意图，金属板M、N正对着平行放置，且板面垂直于纸面，在两板之间接有电阻R.在极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场．当等离子束(分别带有等量正、负电荷的离子束)从左向右进入极板时，下列说法中正确的是()．①N板的电势高于M板的电势②M板的电势高于N板的电势③R中有由b向a方向的电流④R中有由a向b方向的电流A．①②B．③④C．②④D．①③解析本题考查洛伦兹力的方向的判断，电流形成的条件等知识点．根据左手定则可知正电荷向上极板偏转，负电荷向下极板偏转，则M板的电势高于N板的电势．M板相当于电源的正板，那么R中有由a向b方向的电流．答案C图8－3－22．如图8－3－2所示，有一混合正离子束先后通过正交的电场、磁场区域Ⅰ和匀强磁场区域Ⅱ，如果这束正离子流在区域Ⅰ中不偏转，进入区域Ⅱ后偏转半径r相同，则它们一定具有相同的()．A．动能B．质量C．电荷量D．比荷答案D图8－3－33．(2012·南昌高三调研)某空间存在水平方向的匀强电场(图中未画出)，带电小球沿如图8－3－3所示的直线斜向下由A点沿直线向B点运动，此空间同时存在由A指向B的匀强磁场，则下列说法正确的是()．A．小球一定带正电B．小球可能做匀速直线运动C．带电小球一定做匀加速直线运动D．运动过程中，小球的机械能减少解析本题考查带电体在复合场中的运动问题．由于重力方向竖直向下，空间存在磁场，且直线运动方向斜向下，与磁场方向相同，故不受磁场力作用，电场力必水平向右，但电场具体方向未知，故不能判断带电小球的电性，选项A错误；重力和电场力的合力不为零，故不是匀速直线运动，所以选项B错误；因为重力与电场力的合力方向与运动方向相同，故小球一定做匀加速运动，选项C正确；运动过程中由于电场力做正功，故机械能增大，选项D错误．答案C4．如图8－3－4所示，在空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，其竖直边界AB，CD 的宽度为d，在边界AB左侧是竖直向下、场强为E的匀强电场．现有质量为m、带电量为＋q的粒子(不计重力)从P点以大小为v0的水平初速度射入电场，随后与边界AB成45°射入磁场．若粒子能垂直CD边界飞出磁场，穿过小孔进入如图所示两竖直平行金属板间的匀强电场中减速至零且不碰到正极板．(1)请画出粒子上述过程中的运动轨迹，并求出粒子进入磁场时的速度大小v；(2)求匀强磁场的磁感应强度B；(3)求金属板间的电压U的最小值．图8－3－4解析(1)轨迹如图所示v＝v0cos 45°＝2v0(2)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动设其轨道半径R ，由几何关系可知R ＝dsin 45°＝2d qvB ＝m v 2R 解得B ＝mv 0qd(3)粒子进入板间电场至速度减为零的过程，由动能定理有－qU ＝0－12mv 2 解得U ＝mv 02q .答案 (1)轨迹见解析图2v 0 (2)mv 0qd (3)mv 02q对应学生用书P142考点一带电粒子在分离复合场中的运动 “电偏转”和“磁偏转”的比较垂直进入磁场(磁偏转)垂直进入电场(电偏转)情景图受力F B ＝qv 0B 大小不变，方向总指向圆心，方向变化，F B 为变力 F E ＝qE ，F E 大小、方向不变，为恒力运动规律匀速圆周运动r ＝mv 0Bq ，T ＝2πmBq类平抛运动v x ＝v 0，v y ＝Eqm t x ＝v 0t ，y ＝Eq2m t 2续表运动时间 t ＝θ2πT ＝θm Bqt ＝Lv 0，具有等时性动能不变变化【典例1】在竖直平面内，图8－3－5以虚线为界分布着如图8－3－5所示的匀强电场和匀强磁场，其中匀强电场的方向竖直向下，大小为E ；匀强磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B .虚线与水平线之间的夹角为θ＝45°，一个带负电荷的粒子在O 点以速度v 0水平射入匀强磁场，已知带电粒子所带的电荷量为q ，质量为m (重力忽略不计，电场、磁场区域足够大)．求：(1)带电粒子第1次通过虚线时距O 点的距离；(2)带电粒子从O 点开始到第3次通过虚线时所经历的时间； (3)带电粒子第4次通过虚线时距O 点的距离．解析带电粒子运动的轨迹如图所示(1)据qv 0B ＝m v 02r 得r ＝mv 0qB ，又由几何知识可知：d 1＝2r ，解得d 1＝2mv 0qB .(2)在磁场中运动时间为t 1＝T 4＝πm2qB在电场中a ＝qEm运动时间为t 2＝2v 0a ＝2mv 0qE再一次在磁场中运动t 3＝3πm2qB ，所以总时间t ＝2πm qB ＋2mv 0qE .(3)再次进入电场中从C 到D 做类平抛运动(如图所示)x ＝v 0t 4，y ＝at 422，x ＝y ，得x ＝2mv 02qE所以距O 点距离为Δd ＝2d 1－2x ＝22mv 0qB －22mv 02qE .答案 (1)2mv 0qB (2)2πm qB ＋2mv 0qE (3)22mv 0qB －22mv 02qE——解决带电粒子在分离复合场中运动问题的思路方法【变式1】在如图8－3－6所示的空图8－3－6间坐标系中，y 轴的左侧有一匀强电场，场强大小为E ，场强方向与y 轴负方向成30°，y 轴的右侧有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B (未画出)．现有一质子在x 轴上坐标为x 0＝10 cm 处的A 点，以一定的初速度v 0第一次沿x 轴正方向射入磁场，第二次沿x 轴负方向射入磁场，回旋后都垂直于电场方向射入电场，最后又进入磁场．求：(1)质子在匀强磁场中的轨迹半径R ； (2)质子两次在磁场中运动时间之比；(3)若第一次射入磁场的质子经电场偏转后，恰好从第二次射入磁场的质子进入电场的位置再次进入磁场，试求初速度v 0和电场强度E 、磁感应强度B 之间需要满足的条件．解析 (1)质子两次运动的轨迹如图所示，由几何关系可知x 0＝R sin 30° 解得R ＝2x 0＝20 cm.(2)第一次射入磁场的质子，轨迹对应的圆心角为θ1＝210° 第二次射入磁场的质子，轨迹对应的圆心角为θ2＝30°故质子两次在磁场中运动时间之比为t 1∶t 2＝θ1∶θ2＝7∶1. (3)质子在磁场中做匀速圆周运动时，由ev 0B ＝m v 02R 得R ＝mv 0eB设第一次射入磁场的质子，从y 轴上的P 点进入电场做类平抛运动，从y 轴上的Q 点进入磁场，由几何关系得，质子沿y 轴的位移为Δy ＝2R质子的加速度a ＝eEm沿电场方向Δy cos 30°＝12at 2 垂直电场方向Δy sin 30°＝v 0t解得v 0＝3E6B .答案 (1)20 cm (2)7∶1 (3)v 0＝3E6B 考点二带电粒子在叠加复合场中的运动带电粒子(体)在复合场中的运动问题求解要点(1)受力分析是基础．在受力分析时是否考虑重力必须注意题目条件．(2)运动过程分析是关键．在运动过程分析中应注意物体做直线运动，曲线运动及圆周运动、类平抛运动的条件．(3)构建物理模型是难点．根据不同的运动过程及物理模型选择合适的物理规律列方程求解．【典例2】如图8－3－7所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC ，其延长线在D 点与半圆轨道DF 相切，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内，整个空间存在水平向左的匀强电场，MN 的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场(C 点处于MN 边界上)．一质量为0.4 kg 的带电小球沿轨道AC 下滑，至C 点时速度为v C ＝1007 m/s ，接着沿直线CD 运动到D 处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且恰好能通过F 点，在F 点速度v F ＝4 m/s(不计空气阻力，g ＝10 m/s 2，cos 37°＝．求：图8－3－7(1)小球带何种电荷(2)小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功；(3)小球从F 点飞出时磁场同时消失，小球离开F 点后的运动轨迹与直线AC (或延长线)的交点为(G 点未标出)，求G 点到D 点的距离．解析 (1)正电荷(2)依题意可知小球在CD 间做匀速直线运动在D 点速度为v D ＝v C ＝1007m/s在CD 段受重力、电场力、洛伦兹力且合力为0，设重力与电场力的合力为F ＝qv C B又F ＝mg cos 37°＝5 N 解得qB ＝F v C＝720在F 处由牛顿第二定律可得qv F B ＋F ＝mv F 2R把qB ＝720代入得R ＝1 m小球在DF 段克服摩擦力做功W f ，由动能定理可得－W f －2FR ＝mv F 2－v D 22 W f ＝ J(3)小球离开F 点后做类平抛运动，其加速度为a ＝Fm 由2R ＝at 22得t ＝ 4mR F ＝2 25 s 交点G 与D 点的距离GD ＝v F t ＝1.6 2 m ＝2.26 m.答案见解析【变式2】 (2011·广东六校联合体联考)图8－3－8 如图8－3－8所示，竖直平面内有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度E 1＝2 500N/C ，方向竖直向上；磁感应强度B ＝103T ，方向垂直纸面向外；有一质量m ＝1×10－2kg 、电荷量q ＝4×10－5C 的带正电小球自O 点沿与水平线成45°角以v 0＝4 m/s 的速度射入复合场中，之后小球恰好从P 点进入电场强度E 2＝2 500 N/C ，方向水平向左的第二个匀强电场中．不计空气阻力，g 取10 m/s 2.求：(1)O 点到P 点的距离s 1；(2)带电小球经过P 点的正下方Q 点时与P 点的距离s 2.解析 (1)带电小球在正交的匀强电场和匀强磁场中受到的重力G ＝mg ＝ N 电场力F 1＝qE 1＝ N即G ＝F 1，故带电小球在正交的电磁场中由O 到P 做匀速圆周运动根据牛顿第二定律得qv 0B ＝m v 02R解得：R ＝mv 0qB ＝1×10－2×44×10－5×103m ＝1 m 由几何关系得：s 1＝2R ＝ 2 m.(2)带电小球在P 点的速度大小仍为v 0＝4 m/s ，方向与水平方向成45°.由于电场力F 2＝qE 2＝ N ，与重力大小相等，方向相互垂直，则合力的大小为F ＝210 N ，方向与初速度方向垂直，故带电小球在第二个电场中做类平抛运动建立如图所示的x 、y 坐标系，沿y 轴方向上，带电小球的加速度a ＝Fm ＝102m/s 2，位移y ＝12at 2沿x 轴方向上，带电小球的位移x ＝v 0t由几何关系有：y ＝x 即：12at 2＝v 0t ，解得：t ＝25 2 sQ 点到P 点的距离s 2＝2x ＝2×4×25 2 m ＝3.2 m.答案 (1) 2 m (2)3.2 m对应学生用书P14411.带电粒子“在复合场中运动的轨迹”模型(1)模型概述当带电粒子沿不同方向进入电场或磁场时，粒子做各种各样的运动，形成了异彩纷呈的轨迹图形．对带电粒子而言“受力决定运动，运动描绘轨迹，轨迹涵盖方程”．究竟如何构建轨迹模型，至关重要．首先应根据电场力和洛伦兹力的性质找出带电粒子所受到的合力，再由物体做曲线运动的条件确定曲线形式．(2)模型分类 ①“拱桥”型图8－3－9【典例1】如图8－3－9所示，在x 轴上方有垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B ，在x 轴下方有沿y 轴负方向的匀强电场，场强为E ，一质量为m 、电荷量为q 的粒子从坐标原点O 沿着y 轴正方向射出，射出之后，第三次到达x 轴时，它与O 点的距离为L ，求此时粒子射出时的速度和运动的总路程(重力不计)．解析画出粒子运动轨迹如图所示，形成“拱桥”图形．由题可知粒子轨道半径R ＝L4.由牛顿运动定律知粒子运动速率为v ＝BqR m ＝BqL4m设粒子进入电场后沿y 轴负方向做减速运动的最大路程为y ，由动能定理知12mv 2＝qEy ，得y ＝qB 2L 232mE所以粒子运动的总路程为x ＝qB 2L 216mE ＋12πL . ②“心连心”型图8－3－10【典例2】如图8－3－10所示，一理想磁场以x 轴为界，下方磁场的磁感应强度是上方磁感应强度B 的两倍．今有一质量为m 、电荷量为＋q 的粒子，从原点O 沿y 轴正方向以速度v 0射入磁场中，求此粒子从开始进入磁场到第四次通过x 轴的位置和时间(重力不计)．解析由r ＝mv Bq 知粒子在x 轴上方做圆周运动的轨道半径r 1＝mv 0Bq ，在x 轴下方做圆周运动的轨道半径r 2＝mv 02Bq ，所以r 1＝2r 2现作出带电粒子的运动的轨迹如图所示，形成“心连心”图形，所以粒子第四次经过x 轴的位置和时间分别为x ＝2r 1＝2mv 0Bqt ＝T 1＋T 2＝2πm Bq ＋2πm 2Bq ＝3πmBq③“葡萄串”型【典例3】如图8－3－11甲所示，互相平行且水平放置的金属板，板长L ＝1.2 m ，两板距离d ＝0.6 m ，两板间加上U ＝ V 恒定电压及随时间变化的磁场，磁场变化规律如图8－3－11乙所示，规定磁场方向垂直纸面向里为正．当t ＝0时，有一质量为m ＝×10－6kg 、电荷量q ＝＋×10－4C 的粒子从极板左侧以v 0＝×103m/s 沿与两板平行的中线OO ′射入，取g ＝10 m/s 2、π＝.求：图8－3－11(1)粒子在0～×10－4s 内位移的大小x ； (2)粒子离开中线OO ′的最大距离h ； (3)粒子在板间运动的时间t ；(4)画出粒子在板间运动的轨迹图．解析 (1)由题意知：Eq ＝U d q ＝×10－5N ①而mg ＝×10－5N ② 显然Eq ＝mg ③ 故粒子在0～×10－4s 时间内做匀速直线运动，因为Δt ＝×10－4s ，所以x ＝v 0Δt ＝0.4 m ④(2)在×10－4～×10－4s 时间内，电场力与重力平衡，粒子做匀速圆周运动，因为T ＝2πm qB ＝×10－4s ⑤ 故粒子在×10－4～×10－4s 时间内恰好完成一个周期圆周运动⑥由牛顿第二定律得：qv 0B ＝mv 02R ⑦R ＝mv 0qB ＝0.064 m ⑧h ＝2R ＝0.128 m<d2.所以粒子离开中线OO ′的最大距离h ＝0.128 m ．⑨ (3)板长L ＝1.2 m ＝3 x ⑩t ＝2T ＋3Δt ＝×10－4s(4)轨迹如图对应学生用书P145图8－3－121．(2011·大纲全国卷，25)如图8－3－12所示，与水平面成45°角的平面MN 将空间分成Ⅰ和Ⅱ两个区域．一质量为m 、电荷量为q (q >0)的粒子以速度v 0从平面MN 上的P 0点水平向右射入Ⅰ区．粒子在Ⅰ区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E ；在Ⅱ区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里．求粒子首次从Ⅱ区离开时到出发点P 0的距离．粒子的重力可以忽略．解析带电粒子进入电场后，在电场力的作用下做类平抛运动，其加速度方向竖直向下，设其大小为a ，由牛顿运动定律得qE ＝ma ①设经过时间t 0粒子从平面MN 上的点P 1进入磁场，由运动学公式和几何关系得v 0t 0＝12at 02②粒子速度大小v 1＝v 02＋at 02③设速度方向与竖直方向的夹角为α，则tan α＝v 0at 0④此时粒子到出发点P 0的距离为 s 0＝2v 0t 0⑤此后，粒子进入磁场，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，圆周半径为r 1＝mv 1qB ⑥设粒子首次离开磁场的点为P 2，弧P 1P 2所对的圆心角为2β，则点P 1到点P 2的距离为 s 1＝2r 1sin β⑦ 由几何关系得 α＋β＝45°⑧联立①②③④⑥⑦⑧式得s 1＝2mv 0qB ⑨点P 2与点P 0相距l ＝s 0＋s 1⑩联系①②⑤⑨⑩解得l ＝2mv 0q⎝⎛⎭⎫2v 0E ＋1B 答案 2mv 0q ⎝⎛⎭⎫2v 0E ＋1B图8－3－132．(2011·安徽卷，23)如图8－3－13所示，在以坐标原点O 为圆心、半径为R 的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为B ，磁场方向垂直于xOy 平面向里．一带正电的粒子(不计重力)从O 点沿y 轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经t 0时间从P 点射出．(1)求电场强度的大小和方向；(2)若仅撤去磁场，带电粒子仍从O 点以相同的速度射入，经t 02时间恰从半圆形区域的边界射出．求粒子运动加速度的大小；(3)若仅撤去电场，带电粒子仍从O 点射入，但速度为原来的4倍，求粒子在磁场中运动的时间．解析 (1)因为带电粒子进入复合场后做匀速直线运动，则qv 0B ＝qE ① R ＝v 0t 0②由①②联立解得E ＝BRt 0，方向沿x 轴正方向．(2)若仅撤去磁场，带电粒子在电场中做类平抛运动，沿y 轴正方向做匀速直线运动y ＝v 0·t 02＝R 2③沿x 轴正方向做匀加速直线运动x ＝12at 2④由几何关系知x ＝ R 2－R 24＝32R ⑤解得a ＝43Rt 02(3)仅有磁场时，入射速度v ′＝4v ，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为r ，由牛顿第二定律有qv ′B ＝m v ′2r ⑥ 又qE ＝ma ⑦可得r ＝3R3⑧由几何知识sin α＝R2r ⑨即sin α＝32，α＝π3⑩带电粒子在磁场中运动周期T ＝2πmqB则带电粒子在磁场中运动时间t ′＝2α2πT ，所以t ′＝3π18t 0. 答案见解析 3．(2011·重庆卷，25)某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动．如图8－3－14所示，材料表面上方矩形区域PP ′N ′N 充满竖直向下的匀强电场，宽为d ；矩形区域NN ′M ′M 充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，长为3s ，宽为s ；NN ′为磁场与电场之间的薄隔离层．一个电荷量为e 、质量为m 、初速为零的电子，从P 点开始被电场加速经隔离层垂直进入磁场，电子每次穿越隔离层，运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%，最后电子仅能从磁场边界M ′N ′飞出．不计电子所受重力．图8－3－14(1)求电子第二次与第一次圆周运动半径之比． (2)求电场强度的取值范围．(3)A 是M ′N ′的中点，若要使电子在A 、M ′间垂直于AM ′飞出，求电子在磁场区域中运动的时间．解析 (1)设圆周运动的半径分别为R 1、R 2、…R n 、R n ＋1…，第一和第二次圆周运动速率分别为v 1和v 2，动能分别为E k1和E k2.由：E k2＝，R 1＝mv 1Be ，R 2＝mv 2Be ，E k1＝12mv 12，E k2＝12mv 22，得R 2∶R 1＝. (2)设电场强度为E ，第一次到达隔离层前的速率为v ′.由eEd ＝12mv ′2,×12mv ′2＝12mv 12，R 1≤s得E ≤5B 2es 29md ，又由：R n ＝－1R 1， 2R 1(1＋＋＋…＋＋…)>3s得E >B 2es 280md ，故B 2es 280md <E ≤5B 2es 29md .(3)设电子在匀强磁场中，圆周运动的周期为T ，运动的半圆周个数为n ，运动总时间为t .由题意，有错误!＋R n ＋1＝3s ，R 1≤s ，R n ＋1＝，R n ＋1≥错误!，得n ＝2，又由T ＝错误!.得：t ＝5πm 2eB .答案 (1) (2)B 2es 280md <E ≤5B 2es 29md (3)5πm2eB。

18、电场和磁场：磁场中的临界和多解问题(解析版)

18、电场和磁场：磁场中的临界和多解问题1、放缩圆在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B 的匀强磁场中，在O 点有一粒子源在纸面内，沿同一方向发射速度为v ，质量为m ，电荷量为＋q 的带电粒子(重力不计)，这些带电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动．其特点是：(1)各动态圆的圆心(取七个圆)分布在与速度方向垂直的同一条直线上，如图所示． (2)各动态圆的半径R 各不相同． (3)各动态圆相交于O 点． 2、旋转圆.在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B 的匀强磁场中，在O 点有一粒子源在纸面内，朝各个方向发射速度大小为v ，质量为m ，电荷量为＋q 的带电粒子(重力不计)，这些带电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动．其特点是：(1)各动态圆圆心O 1、O 2、O 3 、O 4 、O 5(取五个圆)的轨迹分布在以粒子源O 为圆心，R ＝mvqB为半径的一个圆周上(如图虚线所示)．(2)带电粒子在磁场中能经过的区域是以粒子源O 为圆心，2R 为半径的大圆(如图实线所示)． (3)各动态圆相交于O 点． 3、解决临界极值问题方法技巧(1)数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值。

(2)一个“解题流程”，突破临界问题(3)从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。

1、放缩圆法例1.如图所示，直角坐标系中y 轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为a 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，右边界PQ 平行于y 轴，一粒子(重力不计)从原点O 以与x 轴正方向成θ角的速率v 垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好垂直PQ 射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出，则粒子的比荷及粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间分别为( )A.v Ba 2πa 3v B ．v 2Ba 2πa 3v C.v 2Ba 4πa 3vD ．v Ba 4πa 3v【解析】：选C.粒子在磁场中运动轨迹如图所示，则由图知斜向上射入时有r sin θ＝a ，斜向下射入时有r sin θ＋a ＝r ，联立求得θ＝30°，且r ＝2a ，由洛伦兹力提供向心力得Bqv ＝m v 2r ，解得r ＝mvBq ，即粒子的比荷为q m ＝v2Ba，所以粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的圆心角为α＝2×(90°－30°)＝120°，运动时间为t ＝T 3＝4πa3v，选项C 正确．【答案】C例2．(2020·湖北武汉市高三调考)如图所示，等腰直角三角形abc 区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B .三个相同的带电粒子从b 点沿bc 方向分别以速度v 1、v 2、v 3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为t 1、t 2、t 3，且t 1∶t 2∶t 3＝3∶3∶1.直角边bc 的长度为L ，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是 ( )A ．三个速度的大小关系一定是v 1＝v 2＜v 3B ．三个速度的大小关系可能是v 2＜v 1＜v 3C ．粒子的比荷q m ＝πBt 1 D ．粒子的比荷q m ＝v 3BL【解析】由于t 1∶t 2∶t 3＝3∶3∶1，作出粒子运动轨迹图如图所示，它们对应的圆心角分别为90°、90°、30°，由几何关系可知轨道半径大小分别为R 2<R 3，R 1<R 3＝2L ，由于v 1、v 2大小关系未知，R 1、R 2大小无法确定，由qvB ＝m v 2R 得v ＝qBRm，可知三个速度的大小关系可能是v 2＜v 1＜v 3，故A 错误，B 正确；粒子运动周期T ＝2πR v ＝2πm qB ，则t 1＝14T ＝πm2qB，解得q m ＝π2Bt 1，故C 错误；由qv 3B ＝m v 32R 3及R 3＝2L ，解得粒子的比荷q m ＝v 32BL，故D 错误．【答案】B例3、(2020·全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab 为半圆，ac 、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径。

带电粒子在磁场中运动之圆形磁场边界问题分析

虑带电粒子的重力，则（里一个质量为 m 、电荷量为q 的正离子，以速度v 从圆筒上C 孔处沿直径方向射入筒内，如果离子与圆筒碰撞三次（碰撞时不损失能量，且时间不计）, 又从C 孔飞出，则离子在磁场中运动的时间为（）A. 2 T R/V C . 2 Tt n/qB考点4.3圆形磁场边界问题考点4.3.1 “粒子沿径向射入圆形磁场”边界问题特点：沿径向射入必沿径向射出，如图所示。

对称性：入射点与出射点关于磁场圆圆心与轨迹圆圆心连线对称，两心连线将轨迹弧平分、弦平分，圆心角平分。

［来源 :学1. 如图所示，一半径为R 的圆内有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为 B , CD 是该圆一直径.一质量为 m 、电荷量为q 的带电粒子（不计重力）, 自A点沿指向0点方向垂直射入磁场中，恰好从 D 点飞出磁场，A 点到CD 的距离为2，根据以上内容（）A. 可判别圆内的匀强磁场的方向垂直纸面向里 2.B.不可求出粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径C.D. 可求得粒子在磁场中的运动时间不可求得粒子进入磁场时的速度如图所示，为一圆形区域的匀强磁场, 在 0点处有一放射源，沿半径方向射出速度为 v的不同带电粒子，其中带电粒子 1 从A 点飞出磁场，带电粒子 2从B 点飞出磁场，不考3. A. B. C. D. 带电粒子带电粒子带电粒子带电粒子的比荷与带电粒子的比荷与带电粒子 2的比荷比值为3 : 2的比荷比值为 3 与带电粒子2在磁场中运动时间比值为与带电粒子2在磁场中运动时间比值为如图所示，半径为 R 的绝缘筒中为匀强磁场区域，磁感应强度为 B 、磁感线垂直纸面向B . T R/V D . n m/qBo4.如图所示，一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m,电荷量为q的正电荷（重力忽略不计）以速度v沿正对着圆心0的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了0V角.磁场的磁感应强度大小为（)mv mv xO x xmv mvA. 0B.0C.0D.0qRta“2qRcot2qRs%qRcos^5.如图所示圆形区域内，有垂直于纸面方向的匀强磁场，一束质量和电荷量都相同的带电粒子，以不同的速率，沿着相同的方向，对准圆心0射入匀强磁场，又都从该磁场中射出，这些粒子在磁场中的运动时间有的较长，有的较短，若带电粒子在磁场中只受磁场力的作用，则在磁场中运动时间越长的带电粒子（）A.速率一定越小B.速率一定越大C.在磁场中通过的路程越长D .在磁场中的周期一定越大6.在以坐标原点0为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图11所示.一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿一x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+ y方向飞出.（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷m；（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B',该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B '多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？7. 如右图所示，在某空间实验室中，有两个靠在一起的等大的圆柱形区域，分别存在着等磁感应强度大小为 B O =0.1T ,方向与金属板面平行并垂直于纸面向里.图中右边有一半径R 为0.1m 、圆心为O 的圆形区域内也存在匀强磁场，磁感应强度大小为后从圆形区域边界上的 F 点射出•已知速度e=-的偏向角3，不计离子重力.求：(1) 离子速度v 的大小； ⑵离子的比荷q/m ； (3)离子在圆形磁场区域中运动时间t .大反向的匀强磁场，磁感应强度B = 0. 10 T ,磁场区域半径r = 3,3 m ，左侧区圆心为 0勺，磁场向里，右侧区圆心为 02,磁场向外.两区域切点为C .今有质量m = 3. 2X10 26kg .带电荷量 —19q = 1. 6 X O C 的某种离子，从左侧区边缘的A 点以速度v = 106m/s正对01的方向垂直磁场射入，它将穿越 C 点后再从右侧区穿出•求：(1) 该离子通过两磁场区域所用的时间.⑵离子离开右侧区域的出射点偏离最初入射方向的侧移距离为多大？(侧移距离指垂直初速度方向上移动的距离)8.如图所示，有一对平行金属板，两板相距为0.05m .电压为 10V ;两板之间有匀强磁场，T ,方向垂直于纸面向里•一正离子沿平行于金属板面，从A 点垂直于磁场的方向射入平行金属板之间，沿直线射出平行金属板之间的区域，并沿直径 CD 方向射入圆形磁场区域，最生"X"■ta9. 如图所示，在两个水平平行金属极板间存在着向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度和磁感应强度的大小分别为E=2X 106N /C 和B i =0.仃，极板的长度1= 3m ,间距足够大•在板的右侧还存在着另一圆形区域的匀强磁场，磁场的方向为垂直于纸面更向外，圆形区域的圆心 0位于平行金属极板的中线上，圆形区域的半径R= 3m .有带正电的粒子以某速度沿极板的中线水平向右飞入极板后恰好做匀速直线运动，然后进入圆形磁场区域，飞出圆形磁场粒子的重力，粒子的比荷q8m =2 X10 C/kg .求：(1) 粒子的初速度V ；(2) 圆形区域磁场的磁感应强度 (3)在其它条件都不变的情况下，将极板间的磁场B i 撤去，为使粒子飞出极板后不能进入圆形区域的磁场，求圆形区域的圆心 0离极板右边缘的水平距离 d 应满足的条件区域后速度方向偏转了 60°不计 ---------- B 2的大小;考点432 粒子不沿半径方向射入圆形磁场”边界问题特点：入射点与出射点关于磁场圆圆心与轨迹圆圆心连线对称，两心连线将轨迹弧平分、弦平分，圆心角平分。

有界磁场(六类)

圆心在过入射点跟跟速度方向垂直的直线上 ①速度较小时，作圆弧运动后从原边界飞出； ②速度增为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切 ③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出
圆心在磁场原边界上 ①速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出 ②速度增为某临界值时，粒子作半圆周运动，轨迹与另一边界相切 ③速度较大时，粒子作部分圆周运动后，从另一边界飞出
y Rr 3mv 2qB
二、在条形（平行）边界磁场区中的运动
例2质子以某一速度垂直射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与入射方向的夹角为θ, 求带电粒子在磁场中的运动半径R。
θ
解：如图所示作辅助线，由几何知识可得
d sin R
θ
d
故
R
d sin
练习1如图, 匀强磁场的磁感应强度为B,宽度为d, 边界为CD和EF.一电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入,入射方向与CD边界间夹角为θ . 已知电子质量为m,电荷量为e。为使电子能从磁场
故
其中
CD tan30 OD CD cot 30 5 3cm OD
OA 10 3cm
10 3）即A点坐标为（0，
拓展：能求出粒子运动的周期吗？
在反向单边有界磁场区中的运动
练习4在xoy平面内有两个方向相反的匀强磁场。在y轴左边的磁感应强度为B，右边的磁感应强度为2B。一质量为 m、电量为q的电子以速度v与x轴正方向成60°斜向上的从原点射出。求电子每运动一个周期在y轴上前进的距离。
r2 1 由图中几何关系 r2＋sinθ＝a 得：r2＝3a π r2 最长时间 t＝ v 由以上各式联立得： πa m t＝ 3 2qU

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题(解析版)

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解．1．临界条件的挖掘(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

(2)当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大(前提条件是劣弧)，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

(3)当速率v变化时，轨迹圆心角越大，运动时间越长。

(4)当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，则以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的偏转角最大。

2．不同边界磁场中临界条件的分析(1)平行边界：常见的临界情景和几何关系如图所示。

(2)矩形边界：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。

(3)三角形边界：如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的粒子临界轨迹示意图。

粒子能从AB间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从AC间射出的临界轨迹如图乙所示。

3. 审题技巧许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示．审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件．【典例1】如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。

一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。

现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是( )A ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是53t 0，则它一定从cd 边射出磁场B ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是23t 0，则它一定从ad 边射出磁场C ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是54t 0，则它一定从bc 边射出磁场D ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t 0，则它一定从ab 边射出磁场【答案】 AC 【解析】如图所示，【典例2】放置在坐标原点O 的粒子源，可以向第二象限内放射出质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，带电粒子的速率均为v ，方向均在纸面内，如图8－2－14所示．若在某区域内存在垂直于xOy 平面的匀强磁场(垂直纸面向外)，磁感应强度大小为B ，则这些粒子都能在穿过磁场区后垂直射到垂直于x 轴放置的挡板PQ 上，求：(1)挡板PQ 的最小长度； (2)磁场区域的最小面积．【答案】 (1)mv Bq (2)⎝⎛⎭⎫π2＋1m 2v 2q 2B2【解析】 (1)设粒子在磁场中运动的半径为R ，由牛顿第二定律得qvB ＝mv 2R ，即R ＝mvBq【跟踪短训】1. 在xOy 平面上以O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面．一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，从原点O 以初速度v 沿y 轴正方向开始运动，经时间t 后经过x 轴上的P 点，此时速度与x 轴正方向成θ角，如图8－2－24所示．不计重力的影响，则下列关系一定成立的是( )．A ．若r <2mv qB ，则0°<θ<90° B ．若r ≥2mv qB ，则t ≥πmqBC ．若t ＝πm qB ，则r ＝2mv qBD ．若r ＝2mv qB ，则t ＝πmqB【答案】 AD【解析】带电粒子在磁场中从O 点沿y 轴正方向开始运动，圆心一定在垂直于速度的方向上，即在x 轴上，轨道半径R ＝mv qB .当r ≥2mvqB 时，P 点在磁场内，粒子不能射出磁场区，所以垂直于x 轴过P 点，θ最大且为90°，运动时间为半个周期，即t ＝πm qB ；当r <2mvqB 时，粒子在到达P 点之前射出圆形磁场区，速度偏转角φ在大于0°、小于180°范围内，如图所示，能过x 轴的粒子的速度偏转角φ>90°，所以过x 轴时0°<θ<90°，A 对、B 错；同理，若t ＝πmqB ，则r ≥2mv qB ，若r ＝2mv qB ，则t 等于πm qB，C 错、D 对． 2. 如图所示，磁感应强度大小为B ＝0.15 T 、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径为R ＝0.10 m 的圆形区域内，圆的左端跟y 轴相切于直角坐标系原点O ，右端跟很大的荧光屏MN 相切于x 轴上的A 点。

带电粒子在磁场中运动的边界问题三角形边界

带电粒子在磁场中运动的边界问题三角形边界大家好，今天我要给大家讲解一个关于带电粒子在磁场中运动的边界问题——三角形边界。

我们要明白什么是三角形边界，它是指带电粒子在磁场中运动时，其运动轨迹形成的边界是一个三角形。

接下来，我将从三个方面来详细讲解这个问题。

一、1.1 带电粒子的基本概念带电粒子是指带有电荷的粒子，它们可以是电子、质子等。

电荷是带电粒子的一种属性，它决定了粒子的运动特性。

在磁场中，带电粒子会受到洛伦兹力的作用，从而改变它们的运动轨迹。

洛伦兹力是根据爱因斯坦的洛伦兹理论计算出来的，它与带电粒子的速度和磁场的强度有关。

二、2.1 磁场的基本概念磁场是由电荷产生的，它是一种物理场。

在磁场中，带电粒子会受到一个垂直于速度方向和磁场方向的力，这个力就是洛伦兹力。

磁场的方向可以用磁感应强度来表示，磁感应强度的大小与磁场的强度成正比，与距离磁场的距离成反比。

三、3.1 三角形边界的形成原理当我们把带电粒子放在一个磁场中时，它们会在磁场中受到洛伦兹力的作用，从而改变它们的运动轨迹。

这些运动轨迹在空间中形成了一个封闭的曲线，这个曲线就是带电粒子的运动轨迹。

由于带电粒子在磁场中的运动是三维的，所以这个曲线是一个三维的空间曲面。

我们关心的是带电粒子在磁场中的边界问题。

这里的边界指的是带电粒子在磁场中运动时形成的最外层边界。

对于这个问题，我们可以通过分析带电粒子的运动轨迹来找到解决办法。

当带电粒子在磁场中沿着一个圆周运动时，它们的运动轨迹是一个圆形。

但是，当它们沿着一个螺旋线运动时，它们的运动轨迹就不再是一个圆形了。

这时，我们需要考虑一种特殊的边界情况——三角形边界。

四、4.1 三角形边界的形成过程当带电粒子沿着一个螺旋线运动时，它们的运动轨迹形成一个封闭的曲线。

这个曲线在空间中看起来像一个三角形。

这是因为螺旋线的形状使得带电粒子的运动轨迹在一个方向上保持不变，而在另一个方向上发生周期性的变化。

这种变化使得带电粒子的运动轨迹在一个方向上呈现出直线的特点，而在另一个方向上呈现出螺旋线的特点。

磁场专题-磁场边界的最小化（解析版）

磁场专题—磁场边界的最小化讲练【例1】如图所示，一重力不计的带电粒子质量为m 、电量为＋q ，从坐标原点以沿y 轴正方向的速度v 射出。

为使该粒子能从x 轴正方向上的b 点射出第一象限，且粒子在b 点时的速度方向与x 轴正方向的夹角为30°，可在适当区域加一个垂直于xOy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，求该圆形磁场区域的最小面积。

【答案】222243B q v m π【解析】做带电粒子运动的题，首先要确定粒子的运动轨迹，即确定粒子的圆心、半径、圆心角、运动时间。

（1）圆心，题目当中给出的圆心可以直接用；没有明确给出圆心的时候需要自己确定，确定的方法如下：1）根据“圆周运动中某点的切线方向就是该点的速度方向”这一结论，可以判断出速度和粒子运动的轨迹圆半径是垂直的；2）在几何关系中，圆的半径和半径的交点是圆心。

两种方法确定圆心。

（2）求解半径，一般有两种方法：1）根据题中给出的几何关系求解；2）根据洛伦兹力提供向心力求解，即：Rmv qvB 2=确定半径。

（3）圆心和半径求出，就可以画出粒子运动的轨迹，根据轨迹可以画出粒子运动的圆心角θ，从而进一步求解出粒子的运动时间t ，即tT=θπ2，T 为粒子运动的周期。

其次，根据题目要求，具体进行计算。

经过分析，画出粒子运动的轨迹如图1-1所示,AP 是粒子离开磁场后做直线运动的轨迹，A 点为离开磁场的点，即AP 和圆相切，由题意可知，y 轴也与圆相切，分别过切点做垂线相交于点B ，B 点就是圆心，OB 、AB 分别为轨迹的半径，根据Rmv qvB 2=，可求出半径qB mvR AB OB ===,圆弧OA 是粒子运动的轨迹。

由题意可知，∠APB=300，AB ⊥AP ，ΔOAB 是等腰三角形，轨迹的圆心角∠ABO=1200，可知圆弧OA 是劣弧（几何只是中圆心角大于1800的是优弧，圆心角小于1800的是劣弧），根据磁场最小边界中关于圆形磁场的结论：圆形磁场中，轨迹为劣弧时，连接入射点和出射点得到的直线就是最小面积的直径；优弧时，运动轨迹和圆形边界重合即为最小面积。

带电粒子在磁场中的运动(单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题)(解析版)

带电粒子在磁场中的运动（单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题）建议用时：60分钟带电粒子在磁场中的运动A．M带正电，N带负电B．M的速率小于N的速率A．1kBL，0°B3【答案】B【详解】若离子通过下部分磁场直接到达根据几何关系则有：R由：2v qvB mR=可得：qBLv kBLm==根据对称性可知出射速度与当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，因为两个磁场的磁感应强度大小均为根据洛伦兹力提供向心力，有：可得：122qBLv kBLm==此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为：通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足：此时出射方向与入射方向的夹角为：A．从ab边射出的粒子的运动时间均相同B．从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为C．粒子有可能从c点离开磁场D．若要使粒子离开长方形区域，速率至少为可见从ab射出的粒子做匀速圆周运动的半径不同，对应的圆心角不相同，所以时间也不同，故B．从bc边射出的粒子，其最大圆心角即与A ．粒子的速度大小为2qBdmB ．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为C ．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为D ．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到得：R d=由洛仑兹力提供向心力可得：Bqv m=得：qBd v m=A 错误；A ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长B ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短C ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长D ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短【答案】B该轨迹恰好与y 轴相切，若上移，可知，对应轨迹圆心角可知，粒子在磁场中运动的时间越短，故CD ．若0v v <，结合上述可知，飞出的速度方向与x 轴正方向夹角仍然等于A ．粒子能通过cd 边的最短时间B ．若粒子恰好从c 点射出磁场，粒子速度C ．若粒子恰好从d 点射出磁场，粒子速度7．（2024·广西钦州·模拟预测）如图所示，有界匀强磁场的宽度为粒子以速度0v垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏角为（）A．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为D．匀强磁场的磁感应强度大小为【答案】B【详解】A．由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为：A．该匀强磁场的磁感应强度B．带电粒子在磁场中运动的速率C．带电粒子在磁场中运动的轨道半径D．带电粒子在磁场中运动的时间C．根据几何关系可得：cos30aR = o所以：233R a =故C正确；AB．在磁场中由洛伦兹力提供向心力，即：A．从c点射出的粒子速度偏转角度最大C．粒子在磁场运动的最大位移为10．（2024·四川乐山·三模）如图所示，在一个半径为面向里的匀强磁场，O 为区域磁场圆心。

磁场中的线框问题

磁场中的线框问题磁场中的线框问题指的是线框在磁场中静止和线框在磁场中运动两种情况下，通过线框的磁通量发生变化时，所引起的线框受力或线框所在电路的变化情况。

此类问题是电磁感应定律的具体应用问题，具有很强的综合性。

解决这类问题需要综合运用电磁学的定律或公式进行分析，在分析线框在磁场中运动时，应仔细分析“进磁场”“在磁场中运动”“出磁场”三个阶段的运动情况。

一、线框在磁场中静止例1．（2013山东理综）将一段导线绕成图1甲所示的闭合电路，并固定在水平面（纸面）内，回路的ab边置于垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ中。

回路的圆形区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ，以向里为磁场Ⅱ的正方向，其磁感应强度B随时间t变化的图象如图1乙所示。

用F表示ab边受到的安培力，以水平向右为F的正方向，能正确反映F随时间t变化的图象是解析：由B—t图线可知，在0～时间段，图线的斜率不变，即不变。

设圆环的面积为S，由法拉第电磁感应定律得，此时段圆环中的感应电动势E＝。

因为E大小保持不变，由闭合电路欧姆定律知，整个回路中的电流I大小不变。

由安培力公式得ab边受到的安培力F大小不变。

由楞次定律得，圆环中的电流方向为顺时针方向，所以ab中的电流方向为从b到a，由左手定则得ab边受安培力的方向向左。

同理可得，在～T时间段，ab边受到的安培力大小不变，方向向右。

由以上分析可知，选项B正确，选项A、C、D错误。

例2．（2013四川理综）如图2-1所示，边长为L、不可形变的正方形导线框内有半径为r的圆形磁场区域，其磁感应强度B随时间t的变化关系为B= kt(常量k>0)。

回路中滑动变阻器R的最大阻值为，滑动片P位于滑动变阻器中央，定值电阻＝、＝。

闭合开关S，电压表的示数为U，不考虑虚线MN右侧导体的感应电动势，则A．两端的电压为B．电容器的a极板带正电C．滑动变阻器R的热功率为电阻的5倍D．正方形导线框中的感应电动势为k解析:设半径为r的圆形区域的面积为S，则S＝π，穿过正方形导线框的磁通量Φ＝BS＝ktπ，所以＝kπ。

几种常见的磁场典型问题分析

几种常见的磁场典型问题分析1．磁感线⑴．磁感线是为了形象描述磁场而在磁场中画出的一些有方向的曲线，在这些线上，每一点的切线方向都在该点的磁场方向一致。

⑵．磁感线的物理意义①磁感线上任意一点的切线方向表示该位置的磁场方向，亦即小磁针在该位置时N极的受力方向，或小磁针在该位置静止时N极的指向。

②磁感线的疏密程度表示磁场的强弱。

磁感线密集处磁场强，稀疏处磁场弱。

⑶．磁感线的特点①磁感线为闭合曲线，无起点和终点。

在磁体的外部磁感线由N极发出，回到S极。

在磁体的内部磁感线则由S极指向N极。

②在稳定的磁场中，某一点只有惟一确定的磁场方向，所以两条磁感线不能相交。

③磁感线也不相切。

若磁感线相切，则切点处的磁场将趋近于无穷大，这是不可能的。

④磁场中并没有磁感线客观存在,而是人们为了研究问题的方便而假想的。

⑷．磁场的磁感线和静电场的电场线的关系①电场线是电场的形象描述，而磁感线是磁场的形象描述；②电场线不是闭合曲线，而磁感线是闭合曲线；③电场线上每一点的切线方向都是跟该点电场方向一致，磁感线上每一点的切线方向都跟该点的磁场方向一致；④电场线的疏密程度表示电场的强弱，磁感线的疏密程度表示磁场的强弱。

2．几种典型磁体周围的磁感线分布⑴．磁感线的实验模拟：在磁场中放一块玻璃板，在玻璃板上均匀地撒一层细铁屑，细铁屑在磁场里被磁化成“小磁针”，轻敲玻璃板使铁屑能在磁场作用下转动。

铁屑静止时有规则地排列起来，显示出磁感线的形状。

⑵．几种典型磁体周围的磁感线分布匀强磁场蹄形磁铁磁场条形磁铁磁场辐向磁场图1直线电流磁场环形电流磁场通电螺线管磁场⑶．直线电流磁场的磁感线①直线电流磁场的磁感线是一些以导线上各点为圆心的同心圆，这些同心圆都在跟导线垂直的平面上。

②如何判断直线电流的方向跟磁感线方向之间的关系──安培定则用右手握住导线，让伸直的大拇指所指的方向跟电流的方向一致，弯曲的四指所指的方向就是磁感线的环绕方向。

⑷环形电流磁场的磁感线①环形电流磁场的磁感线是一些围绕环形导线的闭合曲线。

带电粒子在磁场中运动的边界问题三角形边界

带电粒子在磁场中运动的边界问题三角形边界带电粒子在磁场中运动的边界问题，这个问题听起来好像很复杂，但是其实很简单。

就像我们小时候玩的跳绳一样，只要找到节奏，就能轻松地跳过去。

今天，我就来给大家讲讲这个问题的解决方法。

我们要明确一点：带电粒子在磁场中运动，就像是在跳绳的过程中，绳子在不停地旋转。

那么，我们要解决的问题就是：当粒子在旋转的绳子上跳跃时，它会不会掉下来？1.1 问题背景这个问题最早是由英国物理学家麦克斯韦提出的。

他在研究电磁场的时候，发现了一个奇怪的现象：当导体中的电流发生变化时，周围的磁场也会随之变化。

这个现象被称为电磁感应。

而带电粒子在磁场中运动，其实就是一种特殊的电流变化。

1.2 解决问题的方法要解决这个问题，我们就要用到一个叫做洛伦兹力的神奇力量。

洛伦兹力是磁场对带电粒子施加的一种力，它的方向总是垂直于粒子的速度和磁场的方向。

简单来说，就是让粒子在跳跃的过程中始终保持在一个固定的方向上。

2.1 洛伦兹力的产生那么，洛伦兹力是怎么产生的呢？其实很简单，就像我们在跳绳的时候，绳子会在我们跳跃的过程中不断地旋转。

同样地，当带电粒子在磁场中运动时，磁场也会不断地旋转。

这样一来，洛伦兹力就会随着粒子的运动而产生。

2.2 洛伦兹力的性质洛伦兹力有很多有趣的性质。

比如说，它只与粒子的速度和磁场的方向有关，与粒子的质量和距离无关。

这就意味着，无论带电粒子的质量有多大，只要它的速度和磁场的方向不变，洛伦兹力的大小也不会改变。

3.1 边界条件的确定现在我们已经知道了洛伦兹力的产生和性质，接下来就要确定边界条件了。

边界条件是指在问题的不同阶段之间，需要确定哪些变量是不变的。

对于带电粒子在磁场中运动的问题来说，边界条件就是要确定粒子的速度和磁场的方向。

3.2 解题过程有了边界条件之后，我们就可以开始解题了。

我们要根据洛伦兹力的性质，列出一个关于速度和磁场方向的方程组。

然后，通过求解这个方程组，就可以得到带电粒子在磁场中运动的轨迹。

磁场边界问题分解

(1)模型概述带电粒子在有界磁场中的偏转问题一直是高考的热点，此类模型较为复杂，常见的磁场边界有单直线边界、双直线边界、矩形边界和圆形边界等．因为是有界磁场，则带电粒子运动的完整圆周往往会被破坏，可能存在最大、最小面积、最长、最短时间等问题．(2)模型分类 Ⅰ.单直线边界型当粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子时以图8－2－11(甲)中带负电粒子的运动为例．图8－2－11 规律要点 ①最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于12圆周且与边界相切时(如图中a 点)，切点为带电粒子不能射出磁场的最值点(或恰能射出磁场的临界点)．②最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于12圆周时，直径与边界相交的点(如图8－2－11(甲)中的b 点)为带电粒子射出边界的最远点(距O 最远)．Ⅱ.双直线边界型当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，以图8－2－11(乙)中带负电粒子的运动为例．规律要点①最值相切：粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切．如图8－2－11(乙)所示．②对称性：过粒子源S 的垂线为ab 的中垂线．在如图(乙)中，a 、b 之间有带电粒子射出，可求得ab ＝22dr －d 2最值相切规律可推广到矩形区域磁场中．Ⅲ.圆形边界(1)圆形磁场区域规律要点 ①相交于圆心：带电粒子沿指向圆心的方向进入磁场，则出磁场时速度矢量的反向延长线一定过圆心，即两速度矢量相交于圆心，如图8－2－12(甲)．②直径最小：带电粒子从直径的一个端点射入磁场，则从该直径的另一端点射出时，磁场区域面积最小．如图8－2－12(乙)所示．(2)环状磁场区域规律要点①径向出入：带电粒子沿(逆)半径方向射入磁场，若能返回同一边界，则一定逆(沿)半径方向射出磁场．②最值相切：当带电粒子的运动轨迹与圆相切时，粒子有最大速度v m 而磁场有最小磁感应强度B .如图8－2－12(丙)．图8－2－12图8－2－13【典例】如8－2－13所示，两个同心圆，半径分别为r 和2r ，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B .圆心O 处有一放射源，放出粒子的质量为m ，带电量为q ，假设粒子速度方向都和纸面平行．(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A 点，则初速度的大小是多少？(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？解析 (1)如图所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R 1，则由几何关系得R 1＝3r 3，又q v 1B ＝m v 12R 1得v 1＝3Bqr3m.(2)设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R 2，则由几何关系有(2r －R 2)2＝R 22＋r 2可得R 2＝3r 4，又q v 2B ＝m v 22R 2，可得v 2＝3Bqr4m故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过3Bqr4m. 答案 (1)3Bqr 3m (2)3Bqr4m对应学生用书P140图8－2－141．(2011·海南卷，10改编)如图8－2－14所示空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界．一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O 点入射．这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不计重力，下列说法正确的是( )．A ．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同B ．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同C ．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同D ．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越小解析带电粒子进入磁场后，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据q v B ＝m v 2r得轨道半径r ＝m vqB ，粒子的比荷相同．故不同速度的粒子在磁场中运动的轨道半径不同，轨迹不同，相同速度的粒子，轨道半径相同，轨迹相同，故B 正确．带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T ＝2πr v ＝2πmqB ，故所有带电粒子的运动周期均相同．若带电粒子从磁场左边界射出磁场，则这些粒子在磁场中运动时间是相同的，但不同速度轨迹不同，故A 、C 错误．根据θt ＝2πT 得θ＝2πT t ，所以t 越长，θ越大，故D 错误．答案 B 2．(2011·浙江卷，20改编)利用如图8－2－15所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子．图中板MN 上方是磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d 和d 的缝，两缝近端相距为L .一群质量为m 、电荷量为q ，具有不同速度的粒子从宽度为2d 的缝垂直于板MN 进入磁场，对于能够从宽度为d 的缝射出的粒子，下列说法正确的是( )．图8－2－15A ．粒子带正电B ．射出粒子的最大速度为2mqB (3d ＋L )C ．保持d 和L 不变，增大B ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大D ．保持d 和B 不变，增大L ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大解析利用左手定则可判定只有负电荷进入磁场时才向右偏，故选项A 错误．利用q v B ＝m v 2r 知r ＝m v qB ，能射出的粒子满足L 2≤r ≤L ＋3d 2，因此对应射出粒子的最大速度v max ＝qBr maxm＝qB (3d ＋L )2m ，选项B 错误．最小速度v min ＝qBr min m －qBL 2m ，Δv ＝v max －v min ＝3qBd 2m ，由此式可判定选项C 正确，选项D 错误．答案 C 3．(2011·广东卷，35)如图8－2－16(a)所示，在以O 为圆心，内外半径分别为R 1和R 2的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差U 为常量，R 1＝R 0，R 2＝3R 0.一电荷量为＋q ，质量为m 的粒子从内圆上的A 点进入该区域，不计重力．(1)已知粒子从外圆上以速度v 1射出，求粒子在A 点的初速度v 0的大小．(2)若撤去电场，如图8－2－16(b)，已知粒子从OA 延长线与外圆的交点C 以速度v 2射出，方向与OA 延长线成45°角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间．(3)在图8－2－16(b)中，若粒子从A 点进入磁场，速度大小为v 3，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？图8－2－16 解析 (1)根据动能定理，qU ＝12m v 12－12m v 02，所以v 0＝ v 12－2qUm.(2)如图所示，设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R ，由几何知识可知R 2＋R 2＝(R 2－R 1)2，解得R ＝2R 0.根据洛伦兹力公式和牛顿第二定律q v 2B ＝m v 22R .解得B ＝m v 2q 2R 0＝2m v 22qR 0.根据公式t T ＝θ2π，2πR ＝v 2T ，q v 2B ＝m v 22R ，解得t ＝T 4＝2πm 4Bq ＝2πm 4×m v 22R 0＝2πR 02v 2.(3)考虑临界情况，如图所示①q v 3B 1′＝m v 32R 0，解得B 1′＝m v 3qR 0，②q v 3B 2′＝m v 322R 0，解得B 2′＝m v 32qR 0，综合得：B ′<m v 32qR 0.答案 (1) v 12－2qU m (2)2m v 22qR 0 2πR 02v 2 (3)m v 32qR 0图8－2－174．(2011·课标全国卷，25)如图8－2－17所示，在区域Ⅰ(0≤x ≤d )和区域Ⅱ(d <x ≤2d )内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B 和2B ，方向相反，且都垂直于Oxy 平面．一质量为m 、带电荷量q (q >0)的粒子a 于某时刻从y 轴上的P 点射入区域Ⅰ，其速度方向沿x 轴正向．已知a 在离开区域Ⅰ时，速度方向与x 轴正向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a 相同的粒子b 也从P 点沿x 轴正向射入区域Ⅰ，其速度大小是a 的13.不计重力和两粒子之间的相互作用力．求：(1)粒子a 射入区域Ⅰ时速度的大小；(2)当a 离开区域Ⅱ时，a 、b 两粒子的y 坐标之差．解析 (1)设粒子a 在Ⅰ内做匀速圆周运动的圆心为C (在y 轴上)．半径为R a 1，粒子速率为v a ，运动轨迹与两磁场区域边界的交点为P ′，如图所示．由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得q v a B ＝m v a2R a 1①由几何关系得∠PCP ′＝θ②R a 1＝d sin θ ③ 式中，θ＝30°，由①②③式得v a ＝2dqB m④(2)设粒子a 在Ⅱ内做圆周运动的圆心为O a ，半径为R a 2，射出点为P a (图中未画出轨迹)，∠P ′O a P a ＝θ′.由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得q v a (2B )＝m v a 2R a 2⑤由①⑤式得R a 2＝R a 12⑥C 、P ′和O a 三点共线，且由⑥式知O a 点必位于x ＝32d ⑦的平面上．由对称性知，P a 点与P ′点纵坐标相同，即 y Pa ＝R a 1cos θ＋h ⑧ 式中，h 是C 点的y 坐标．设b 在Ⅰ中运动的轨道半径为R b 1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得q ⎝⎛⎭⎫v a 3B ＝m R b 1⎝⎛⎭⎫v a32⑨当a 到达P a 点时，b 位于P b 点，转过的角度为α.如果b 没有飞出Ⅰ，则t T a 2＝θ′2π⑩t T b 1＝α2π⑪ 式中，t 是a 在区域Ⅱ中运动的时间，而T a 2＝2πR a 2v a⑫T b 1＝2πR b 1v a 3⑬由⑤⑨⑩⑪⑫⑬式得α＝30°⑭由①③⑨⑭式可见，b 没有飞出Ⅰ.P b 点的y 坐标为 y Pb ＝R b 1(2＋cos α)＋h ⑮由①③⑧⑨⑭⑮式及题给条件得，a 、b 两粒子的y 坐标之差为y Pa －y Pb ＝23(3－2)d ⑯答案 (1)2dqB m (2)23(3－2)d第3讲带电粒子在复合场中的运动对应学生用书P141复合场复合场是指电场、磁场和重力场并存，或其中某两场并存，或分区域存在．从场的复合形式上一般可分为如下四种情况：①相邻场；②重叠场；③交替场；④交变场.带电粒子在复合场中的运动分类 1.静止或匀速直线运动当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动． 2．匀速圆周运动当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．3．较复杂的曲线运动当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．4．分阶段运动带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运电场磁场同区域应用实例装置原理图规律速度选择器若q v0B＝Eq，即v0＝EB，粒子做匀速直线运动磁流体发电机等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极电压为U时稳定，qUd＝q v0B，U＝v0Bd电磁流量计UD q＝q v B所以v＝UDB所以Q＝v S＝UDBπ⎝⎛⎭⎫D22质谱仪、回旋加速器《见第2讲》温馨提示复合场中重力是否考虑的三种情况(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略．而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、金属块等，一般应考虑其重力．(2)在题目中明确说明的按说明要求是否考虑重力．(3)不能直接判断是否考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要由分析结果确定是否考虑重力．图8－3－11．如图8－3－1是磁流体发电机的原理示意图，金属板M、N正对着平行放置，且板面垂直于纸面，在两板之间接有电阻R.在极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场．当等离子束(分别带有等量正、负电荷的离子束)从左向右进入极板时，下列说法中正确的是()．①N板的电势高于M板的电势②M板的电势高于N板的电势③R中有由b向a方向的电流④R中有由a向b方向的电流A．①②B．③④C．②④D．①③解析本题考查洛伦兹力的方向的判断，电流形成的条件等知识点．根据左手定则可知正电荷向上极板偏转，负电荷向下极板偏转，则M板的电势高于N板的电势．M板相当于电源的正板，那么R中有由a向b方向的电流．答案 C图8－3－22．如图8－3－2所示，有一混合正离子束先后通过正交的电场、磁场区域Ⅰ和匀强磁场区域Ⅱ，如果这束正离子流在区域Ⅰ中不偏转，进入区域Ⅱ后偏转半径r相同，则它们一定具有相同的()．A．动能B．质量C．电荷量D．比荷答案 D图8－3－33．(2012·南昌高三调研)某空间存在水平方向的匀强电场(图中未画出)，带电小球沿如图8－3－3所示的直线斜向下由A点沿直线向B点运动，此空间同时存在由A指向B的匀强磁场，则下列说法正确的是()．A．小球一定带正电B．小球可能做匀速直线运动C．带电小球一定做匀加速直线运动D．运动过程中，小球的机械能减少解析本题考查带电体在复合场中的运动问题．由于重力方向竖直向下，空间存在磁场，且直线运动方向斜向下，与磁场方向相同，故不受磁场力作用，电场力必水平向右，但电场具体方向未知，故不能判断带电小球的电性，选项A错误；重力和电场力的合力不为零，故不是匀速直线运动，所以选项B错误；因为重力与电场力的合力方向与运动方向相同，故小球一定做匀加速运动，选项C正确；运动过程中由于电场力做正功，故机械能增大，选项D错误．答案 C4．如图8－3－4所示，在空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，其竖直边界AB，CD 的宽度为d，在边界AB左侧是竖直向下、场强为E的匀强电场．现有质量为m、带电量为＋q的粒子(不计重力)从P点以大小为v0的水平初速度射入电场，随后与边界AB成45°射入磁场．若粒子能垂直CD边界飞出磁场，穿过小孔进入如图所示两竖直平行金属板间的匀强电场中减速至零且不碰到正极板．(1)请画出粒子上述过程中的运动轨迹，并求出粒子进入磁场时的速度大小v；(2)求匀强磁场的磁感应强度B；(3)求金属板间的电压U的最小值．图8－3－4解析 (1)轨迹如图所示v ＝v 0cos 45°＝2v 0(2)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动设其轨道半径R ，由几何关系可知R ＝dsin 45°＝2dq v B ＝m v 2R 解得B ＝m v 0qd(3)粒子进入板间电场至速度减为零的过程，由动能定理有－qU ＝0－12m v 2 解得U ＝m v 02q. 答案 (1)轨迹见解析图2v 0 (2)m v 0qd (3)m v 02q对应学生用书P142考点一带电粒子在分离复合场中的运动 “电偏转”和“磁偏转”的比较垂直进入磁场(磁偏转)垂直进入电场(电偏转)情景图受力F B ＝q v 0B 大小不变，方向总指向圆心，方向变化，F B 为变力 F E ＝qE ，F E 大小、方向不变，为恒力运动规律匀速圆周运动r ＝m v 0Bq ，T ＝2πmBq类平抛运动v x ＝v 0，v y ＝Eqmt x ＝v 0t ，y ＝Eq2mt 2续表运动时间 t ＝θ2πT ＝θm Bq t ＝Lv 0，具有等时性动能不变变化【典例1】在竖直平面内，图8－3－5以虚线为界分布着如图8－3－5所示的匀强电场和匀强磁场，其中匀强电场的方向竖直向下，大小为E ；匀强磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B .虚线与水平线之间的夹角为θ＝45°，一个带负电荷的粒子在O 点以速度v 0水平射入匀强磁场，已知带电粒子所带的电荷量为q ，质量为m (重力忽略不计，电场、磁场区域足够大)．求：(1)带电粒子第1次通过虚线时距O 点的距离；(2)带电粒子从O 点开始到第3次通过虚线时所经历的时间； (3)带电粒子第4次通过虚线时距O 点的距离．解析带电粒子运动的轨迹如图所示(1)据q v 0B ＝m v 02r 得r ＝m v 0qB ，又由几何知识可知：d 1＝2r ，解得d 1＝2m v 0qB.(2)在磁场中运动时间为t 1＝T 4＝πm2qB在电场中a ＝qEm运动时间为t 2＝2v 0a ＝2m v 0qE再一次在磁场中运动t 3＝3πm2qB，所以总时间t ＝2πm qB ＋2m v 0qE.(3)再次进入电场中从C 到D 做类平抛运动(如图所示) x ＝v 0t 4，y ＝at 422，x ＝y ，得x ＝2m v 02qE所以距O 点距离为Δd ＝2d 1－2x ＝22m v 0qB －22m v 02qE.答案 (1)2m v 0qB (2)2πm qB ＋2m v 0qE (3)22m v 0qB －22m v 02qE——解决带电粒子在分离复合场中运动问题的思路方法【变式1】在如图8－3－6所示的空图8－3－6间坐标系中，y 轴的左侧有一匀强电场，场强大小为E ，场强方向与y 轴负方向成30°，y 轴的右侧有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B (未画出)．现有一质子在x 轴上坐标为x 0＝10 cm 处的A 点，以一定的初速度v 0第一次沿x 轴正方向射入磁场，第二次沿x 轴负方向射入磁场，回旋后都垂直于电场方向射入电场，最后又进入磁场．求：(1)质子在匀强磁场中的轨迹半径R ； (2)质子两次在磁场中运动时间之比；(3)若第一次射入磁场的质子经电场偏转后，恰好从第二次射入磁场的质子进入电场的位置再次进入磁场，试求初速度v 0和电场强度E 、磁感应强度B 之间需要满足的条件．解析 (1)质子两次运动的轨迹如图所示，由几何关系可知x 0＝R sin 30° 解得R ＝2x 0＝20 cm.(2)第一次射入磁场的质子，轨迹对应的圆心角为θ1＝210° 第二次射入磁场的质子，轨迹对应的圆心角为θ2＝30° 故质子两次在磁场中运动时间之比为t 1∶t 2＝θ1∶θ2＝7∶1. (3)质子在磁场中做匀速圆周运动时，由e v 0B ＝m v 02R 得R ＝m v 0eB设第一次射入磁场的质子，从y 轴上的P 点进入电场做类平抛运动，从y 轴上的Q 点进入磁场，由几何关系得，质子沿y 轴的位移为Δy ＝2R质子的加速度a ＝eEm沿电场方向Δy cos 30°＝12at 2垂直电场方向Δy sin 30°＝v 0t 解得v 0＝3E6B. 答案 (1)20 cm (2)7∶1 (3)v 0＝3E 6B考点二带电粒子在叠加复合场中的运动带电粒子(体)在复合场中的运动问题求解要点(1)受力分析是基础．在受力分析时是否考虑重力必须注意题目条件．(2)运动过程分析是关键．在运动过程分析中应注意物体做直线运动，曲线运动及圆周运动、类平抛运动的条件．(3)构建物理模型是难点．根据不同的运动过程及物理模型选择合适的物理规律列方程求解．【典例2】如图8－3－7所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC ，其延长线在D 点与半圆轨道DF 相切，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内，整个空间存在水平向左的匀强电场，MN 的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场(C 点处于MN 边界上)．一质量为0.4 kg 的带电小球沿轨道AC 下滑，至C 点时速度为v C ＝1007m/s ，接着沿直线CD 运动到D 处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且恰好能通过F 点，在F 点速度v F ＝4 m/s(不计空气阻力，g ＝10 m/s 2，cos 37°＝0.8)．求：图8－3－7(1)小球带何种电荷？(2)小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功；(3)小球从F 点飞出时磁场同时消失，小球离开F 点后的运动轨迹与直线AC (或延长线)的交点为(G 点未标出)，求G 点到D 点的距离．解析 (1)正电荷(2)依题意可知小球在CD 间做匀速直线运动在D 点速度为v D ＝v C ＝1007m/s在CD 段受重力、电场力、洛伦兹力且合力为0，设重力与电场力的合力为F ＝q v C B又F ＝mg cos 37°＝5 N 解得qB ＝F v C ＝720在F 处由牛顿第二定律可得q v F B ＋F ＝m v F 2R把qB ＝720代入得R ＝1 m小球在DF 段克服摩擦力做功W f ，由动能定理可得－W f －2FR ＝m (v F 2－v D 2)2W f ＝27.6 J(3)小球离开F 点后做类平抛运动，其加速度为a ＝Fm由2R ＝at 22得t ＝ 4mR F ＝2 25 s交点G 与D 点的距离GD ＝v F t ＝1.6 2 m ＝2.26 m.答案见解析【变式2】 (2011·广东六校联合体联考)图8－3－8 如图8－3－8所示，竖直平面内有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度E 1＝2 500N/C ，方向竖直向上；磁感应强度B ＝103 T ，方向垂直纸面向外；有一质量m ＝1×10－2kg 、电荷量q ＝4×10－5C 的带正电小球自O 点沿与水平线成45°角以v 0＝4 m/s 的速度射入复合场中，之后小球恰好从P 点进入电场强度E 2＝2 500 N/C ，方向水平向左的第二个匀强电场中．不计空气阻力，g 取10 m/s 2.求：(1)O 点到P 点的距离s 1；(2)带电小球经过P 点的正下方Q 点时与P 点的距离s 2.解析 (1)带电小球在正交的匀强电场和匀强磁场中受到的重力G ＝mg ＝0.1 N 电场力F 1＝qE 1＝0.1 N即G ＝F 1，故带电小球在正交的电磁场中由O 到P 做匀速圆周运动根据牛顿第二定律得q v 0B ＝m v 02R解得：R ＝m v 0qB ＝1×10－2×44×10－5×103m ＝1 m由几何关系得：s 1＝2R ＝ 2 m.(2)带电小球在P 点的速度大小仍为v 0＝4 m/s ，方向与水平方向成45°.由于电场力F 2＝qE 2＝0.1 N ，与重力大小相等，方向相互垂直，则合力的大小为F ＝210N ，方向与初速度方向垂直，故带电小球在第二个电场中做类平抛运动建立如图所示的x 、y 坐标系，沿y 轴方向上，带电小球的加速度a ＝Fm＝102m/s 2，位移y ＝12at 2沿x 轴方向上，带电小球的位移x ＝v 0t由几何关系有：y ＝x 即：12at 2＝v 0t ，解得：t ＝252 sQ 点到P 点的距离s 2＝2x ＝2×4×252 m ＝3.2 m.答案 (1) 2 m (2)3.2 m对应学生用书P14411.带电粒子“在复合场中运动的轨迹”模型(1)模型概述当带电粒子沿不同方向进入电场或磁场时，粒子做各种各样的运动，形成了异彩纷呈的轨迹图形．对带电粒子而言“受力决定运动，运动描绘轨迹，轨迹涵盖方程”．究竟如何构建轨迹模型，至关重要．首先应根据电场力和洛伦兹力的性质找出带电粒子所受到的合力，再由物体做曲线运动的条件确定曲线形式．(2)模型分类 ①“拱桥”型图8－3－9【典例1】如图8－3－9所示，在x 轴上方有垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B ，在x 轴下方有沿y 轴负方向的匀强电场，场强为E ，一质量为m 、电荷量为q 的粒子从坐标原点O 沿着y 轴正方向射出，射出之后，第三次到达x 轴时，它与O 点的距离为L ，求此时粒子射出时的速度和运动的总路程(重力不计)．解析画出粒子运动轨迹如图所示，形成“拱桥”图形．由题可知粒子轨道半径R ＝L4.由牛顿运动定律知粒子运动速率为v ＝BqR m ＝BqL4m设粒子进入电场后沿y 轴负方向做减速运动的最大路程为y ，由动能定理知12m v 2＝qEy ，得y ＝qB 2L 232mE所以粒子运动的总路程为x ＝qB 2L 216mE ＋12πL .②“心连心”型图8－3－10【典例2】如图8－3－10所示，一理想磁场以x 轴为界，下方磁场的磁感应强度是上方磁感应强度B 的两倍．今有一质量为m 、电荷量为＋q 的粒子，从原点O 沿y 轴正方向以速度v 0射入磁场中，求此粒子从开始进入磁场到第四次通过x 轴的位置和时间(重力不计)．解析由r ＝m v Bq 知粒子在x 轴上方做圆周运动的轨道半径r 1＝m v 0Bq ，在x 轴下方做圆周运动的轨道半径r 2＝m v 02Bq，所以r 1＝2r 2现作出带电粒子的运动的轨迹如图所示，形成“心连心”图形，所以粒子第四次经过x轴的位置和时间分别为x ＝2r 1＝2m v 0Bqt ＝T 1＋T 2＝2πm Bq ＋2πm 2Bq ＝3πmBq③“葡萄串”型【典例3】如图8－3－11甲所示，互相平行且水平放置的金属板，板长L ＝1.2 m ，两板距离d ＝0.6 m ，两板间加上U ＝0.12 V 恒定电压及随时间变化的磁场，磁场变化规律如图8－3－11乙所示，规定磁场方向垂直纸面向里为正．当t ＝0时，有一质量为m ＝2.0×10－6kg 、电荷量q ＝＋1.0×10－4C 的粒子从极板左侧以v 0＝4.0×103m/s 沿与两板平行的中线OO ′射入，取g ＝10 m/s 2、π＝3.14.求：图8－3－11(1)粒子在0～1.0×10－4s 内位移的大小x ； (2)粒子离开中线OO ′的最大距离h ；(3)粒子在板间运动的时间t ；(4)画出粒子在板间运动的轨迹图．解析 (1)由题意知：Eq ＝Udq ＝2.0×10－5N ①而mg ＝2.0×10－5N ②显然Eq ＝mg ③故粒子在0～1.0×10－4s 时间内做匀速直线运动，因为Δt ＝1.0×10－4s ，所以x ＝v 0Δt ＝0.4 m ④(2)在1.0×10－4～2.0×10－4s 时间内，电场力与重力平衡，粒子做匀速圆周运动，因为T ＝2πm qB＝1.0×10－4s ⑤故粒子在1.0×10－4～2.0×10－4s 时间内恰好完成一个周期圆周运动⑥由牛顿第二定律得：q v 0B ＝m v 02R⑦R ＝m v 0qB＝0.064 m ⑧h ＝2R ＝0.128 m<d2.所以粒子离开中线OO ′的最大距离h ＝0.128 m ．⑨ (3)板长L ＝1.2 m ＝3 x ⑩t ＝2T ＋3Δt ＝5.0×10－4s ⑪(4)轨迹如图⑫对应学生用书P145图8－3－121．(2011·大纲全国卷，25)如图8－3－12所示，与水平面成45°角的平面MN 将空间分成Ⅰ和Ⅱ两个区域．一质量为m 、电荷量为q (q >0)的粒子以速度v 0从平面MN 上的P 0点水平向右射入Ⅰ区．粒子在Ⅰ区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E ；在Ⅱ区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里．求粒子首次从Ⅱ区离开时到出发点P 0的距离．粒子的重力可以忽略．解析带电粒子进入电场后，在电场力的作用下做类平抛运动，其加速度方向竖直向下，设其大小为a ，由牛顿运动定律得qE ＝ma ①设经过时间t 0粒子从平面MN 上的点P 1进入磁场，由运动学公式和几何关系得v 0t 0＝12at 02②粒子速度大小v 1＝v 02＋(at 0)2③设速度方向与竖直方向的夹角为α，则tan α＝v 0at 0④此时粒子到出发点P 0的距离为 s 0＝2v 0t 0⑤此后，粒子进入磁场，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，圆周半径为r 1＝m v 1qB⑥设粒子首次离开磁场的点为P 2，弧P 1P 2所对的圆心角为2β，则点P 1到点P 2的距离为 s 1＝2r 1sin β⑦ 由几何关系得 α＋β＝45°⑧联立①②③④⑥⑦⑧式得s 1＝2m v 0qB ⑨点P 2与点P 0相距l ＝s 0＋s 1⑩ 联系①②⑤⑨⑩解得 l ＝2m v 0q ⎝⎛⎭⎫2v 0E ＋1B ⑪答案2m v 0q ⎝⎛⎭⎫2v 0E ＋1B图8－3－132．(2011·安徽卷，23)如图8－3－13所示，在以坐标原点O 为圆心、半径为R 的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为B ，磁场方向垂直于xOy 平面向里．一带正电的粒子(不计重力)从O 点沿y 轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经t 0时间从P 点射出．(1)求电场强度的大小和方向；(2)若仅撤去磁场，带电粒子仍从O 点以相同的速度射入，经t 02时间恰从半圆形区域的边界射出．求粒子运动加速度的大小；(3)若仅撤去电场，带电粒子仍从O 点射入，但速度为原来的4倍，求粒子在磁场中运动的时间．解析 (1)因为带电粒子进入复合场后做匀速直线运动，则q v 0B ＝qE ① R ＝v 0t 0②由①②联立解得E ＝BRt 0，方向沿x 轴正方向．(2)若仅撤去磁场，带电粒子在电场中做类平抛运动，沿y 轴正方向做匀速直线运动y ＝v 0·t 02＝R 2③沿x 轴正方向做匀加速直线运动x ＝12at 2④由几何关系知x ＝ R 2－R 24＝32R ⑤ 解得a ＝43Rt 02(3)仅有磁场时，入射速度v ′＝4v ，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为r ，由牛顿第二定律有q v ′B ＝m v ′2r⑥又qE ＝ma ⑦ 可得r ＝3R 3⑧ 由几何知识sin α＝R2r⑨即sin α＝32，α＝π3⑩带电粒子在磁场中运动周期T ＝2πmqB则带电粒子在磁场中运动时间t ′＝2α2πT ，所以t ′＝3π18t 0.答案见解析 3．(2011·重庆卷，25)某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动．如图8－3－14所示，材料表面上方矩形区域PP ′N ′N 充满竖直向下的匀强电场，宽为d ；矩形区域NN ′M ′M 充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，长为3s ，宽为s ；NN ′为磁场与电场之间的薄隔离层．一个电荷量为e 、质量为m 、初速为零的电子，从P 点开始被电场加速经隔离层垂直进入磁场，电子每次穿越隔离层，运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%，最后电子仅能从磁场边界M ′N ′飞出．不计电子所受重力．图8－3－14(1)求电子第二次与第一次圆周运动半径之比． (2)求电场强度的取值范围．(3)A 是M ′N ′的中点，若要使电子在A 、M ′间垂直于AM ′飞出，求电子在磁场区域中运动的时间．解析 (1)设圆周运动的半径分别为R 1、R 2、…R n 、R n ＋1…，第一和第二次圆周运动速率分别为v 1和v 2，动能分别为E k1和E k2.由：E k2＝0.81E k1，R 1＝m v 1Be ，R 2＝m v 2Be ，E k1＝12m v 12，E k2＝12m v 22，得R 2∶R 1＝0.9.(2)设电场强度为E ，第一次到达隔离层前的速率为v ′.由eEd ＝12m v ′2,0.9×12m v ′2＝12m v 12，R 1≤s得E ≤5B 2es 29md ，又由：R n ＝0.9n －1R 1，2R 1(1＋0.9＋0.92＋…＋0.9n ＋…)>3s得E >B 2es 280md ，故B 2es 280md <E ≤5B 2es 29md.(3)设电子在匀强磁场中，圆周运动的周期为T ，运动的半圆周个数为n ，运动总时间为t .由题意，有2R 1(1－0.9n )1－0.9＋R n ＋1＝3s ，R 1≤s ，R n ＋1＝0.9n R 1，R n ＋1≥s 2，得n ＝2，又由T＝2πm eB .得：t ＝5πm 2eB.。

(精典)磁场中各种边界问题解析

V 0θθ V 0ABθ V 0 AV 0图1图2 图3 带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的分析方法一．找圆心、画轨迹、找角度。

数学模型：（1）已知圆的两条切线，作它们垂线，交点为O ，即为圆心。

（2）已知圆的一条切线，和过圆上的另一点B ，作过圆切线的垂线，再作弦的中垂线。

交点即为圆心O 。

（3）偏向角补角的平分线，与另一条半径的交点直线边界磁场例1.找到下面题中粒子的圆心，画出轨迹。

求从左边界或右边界射出时与竖直方向夹角φ以及粒子在磁场中经历的时间。

(第3图作出粒子刚好不从右侧穿出磁场)练1：已知B 、＋q 、m 、θ、d 、a 、V 0。

求从左边界穿出时经历的时间。

（1）刚好不从上边界穿出（2）刚好不从下边界穿出（3）能从左边界穿出。

练3.如图所示，在水平直线MN 上方有一匀强磁场，磁感强度为B ，方向垂直向里。

一带电粒子质量为m 、电量为q ，从a 点以与水平线MN 成θ角度射入匀强磁场中，从右侧b 点离开磁场。

问：（1）带电粒子带何种电荷？（2）带电粒子在磁场中运动的时间为多少？A B COV 0V 0φ练习.1.AB、CD、EF为三条平行的边界线，AB、CD、相距L1，CD、EF相距L2，如图所示，AB、CD之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B1，CD、EF之间也有垂直纸面向里的匀强磁场，磁惹感强度为B2。

现从A点沿A方向垂直磁场射入一带负电的粒子，该粒子质量为m，带电量为-q，重力不计，求：（1）若粒子运动到CD边时速度方向恰好与CD边垂直，则它从A点射入时速度V0为多少？（2）若已知粒子从A点射入时速度为u（u>V0），则粒子运动到CD边界时，速度方向与CD边的夹角θ为多少？（3）若已知粒子从A点射入时速度为u（u>V0）粒子运动到EF边界时恰好不穿出磁场，则CD、EF之间磁场的磁感强度B2为多少？2.如图所示，M、N、P是三个足够长的互相平行的边界，M、N与N、P间距离分别为L1、L2，其间分别有磁感强度为B1、B2的匀强磁场区Ⅰ与区Ⅱ，磁场方向均垂直纸面向里。

(完整版)圆形磁场中的几个典型问题

圆形磁场中的几个典型问题许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手，一做就错．常见问题分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”．对于这些问题，针对具体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明．一、最值问题的解题关键——抓弦长1．求最长时间的问题例1 真空中半径为R=3×10-2m的圆形区域内，有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速度v0=106m / s 从磁场边界上直径ab 一端a 点处射入磁场，已知该粒子比荷为q/m=108C / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁场时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以v0与Oa 的夹角表示）最长运动时间多长？小结：本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大．2 ．求最小面积的问题例2 一带电质点的质量为m，电量为q，以平行于Ox 轴的速度v从y轴上的a点射人如图3 所示第一象限的区域．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小面积，重力忽略不计．小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置．解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的 1 / 4 圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径．上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长．二、汇聚发散问题的解题关键——抓半径当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。