第十章 10.2 事件的相互独立性ppt课件
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人教A版10.2事件的相互独立性课件(共16张)
(1) “两人都中靶”=AB,∴P(AB) =P(A)P(B) (2)“恰有1人中靶”= AB∪AB,且AB与AB互斥,
∴P(AB∪AB) =P(AB)+P(AB) =P(A)P(B)+P(A)P(B) ×× (3) “两人都脱靶”=AB,∴P(AB) =P(A)P(B) =0.2×0.1=0.02
P(甲) 1 6 1 66 6
乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”, 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,
P(乙) 6 1 1 66 6
丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,
则下列正确的是( B )
A.甲与丙相互独立 P(甲丙) 0
B.甲与丁相互独立
P(甲丁)
1 36
P(丙) 5 36
P(丁) 1 6
C.乙与丙相互独立
P(乙丙) 1 36
P(丙丁) 0
巩固:相互独立事件的概率计算
P248-例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8, 乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率:
(1)两人都中靶;
(2)恰好有一人中靶;
(3)两人都脱靶;
(4)至少有一人中靶.
析:设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,则A=“甲脱靶”,B=“乙脱靶”. 由于两个人射击的结果互不影响,∴A与B相互独立, 且A与B,A与B,A与B都相互独立.
10-2 事件的相互独立性 (教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
例1 判断下列各对事件哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件.
(1)掷一枚骰子一次,事件M:“出现的点数为奇数”;事件N:“出现的点数为偶数”.
(2)掷一枚骰子一次,事件A:“出现偶数点”;事件B:“出现3点或6点”.
解 (1)因为二者不可能同时发生,所以M与N是互斥事件.
(2)样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={2,4,6},
相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B,
对于n个事件A1,A2,…,An,
如果P(AB)=P(A)P(B)成立,
如果其中任何一个事件发生的概率
则称事件A与事件B相互独立,
不受其他事件是否发生的影响,
简称为独立.
则称n个事件A1,A2,…,An相互独立.
新知探索
独立事件的概率公式
(1)若事件A,B相互独立,
1
2
1
3
1
6
事件B={3,6},事件AB={6},所以P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= ,
即P(AB)=P(A)P(B).
故事件A与B相互独立.当“出现6点”时,事件A,B可以同时发生,
因此,A,B不是互斥事件.
典例精析
题型二:相互独立事件概率的计算
例2
根据资料统计,
某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,
3.甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5,
(1)掷一枚骰子一次,事件M:“出现的点数为奇数”;事件N:“出现的点数为偶数”.
(2)掷一枚骰子一次,事件A:“出现偶数点”;事件B:“出现3点或6点”.
解 (1)因为二者不可能同时发生,所以M与N是互斥事件.
(2)样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={2,4,6},
相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B,
对于n个事件A1,A2,…,An,
如果P(AB)=P(A)P(B)成立,
如果其中任何一个事件发生的概率
则称事件A与事件B相互独立,
不受其他事件是否发生的影响,
简称为独立.
则称n个事件A1,A2,…,An相互独立.
新知探索
独立事件的概率公式
(1)若事件A,B相互独立,
1
2
1
3
1
6
事件B={3,6},事件AB={6},所以P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= ,
即P(AB)=P(A)P(B).
故事件A与B相互独立.当“出现6点”时,事件A,B可以同时发生,
因此,A,B不是互斥事件.
典例精析
题型二:相互独立事件概率的计算
例2
根据资料统计,
某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,
3.甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5,
10.2 事件的相互独立性 (课件)超好用的优秀公开课获奖课件高一下学期数学(人教A版2019 必修
12
0.6
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
20
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 当于做了20次重复试验,其中事件 A 发生了13次,对应的
试验4(2)
数组分别是423,123,423,114,332,152,342,512, 125,432,334,151,314,用频率估计事件 A 的概率的近似为
模拟试验
例4(课本256页)
在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛. 假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4, 利用计算机模拟试验,估计甲获得冠军的概率.
解:设事件 A =“甲获得冠军”,事件 B =“单局比赛甲胜”,则 P ( B )=0.6.
试验4(1)
用计算器或计算机产生1-5的随机数,当出现随机数1、2、3时,表示一局比赛甲获胜, 其概率为0.6.由于要比赛3局,所以每3个随机数为一组.例如,产生20组随机数:
作为问题的解.
模拟试验
例3(课本256页)
班级任意选出6名同学,调查他们的出生月份, 假设出生在一月,二月十二月是等可能的. 设事件A “至少有两个人出生月份相同”, 设计一种试验方法,模拟20次,估计事件A发生的概率. 解:方法1:根据假设,每个人的出生月份在12个月中是等可能的,
10.2 事件的相互独立性课件ppt
7.所以在这段时间内线路正常工作的概率是 1-P()=1-0.027=0.973.
方法点睛 概率问题中的数学思想
(1)正难则反.灵活应用对立事件的概率关系(P(A)+P( )=1)简化问题,是求
1
3
在一局比赛中,甲队发球赢球的概率为2,甲队接发球赢球的概率为5,在比
分为 24∶24 平且甲队发球的情况下,甲队以 27∶25 赢下此局比赛的概率
为(
1
A.
8
)
3
B.
20
3
C.
10
7
D.
20
(2)设事件 A 与事件 B 相互独立,两个事件中只有 A 发生的概率与只有 B 发
1
生的概率都是4,求 P(A),P(B).
(C),4个条件每个都必不可少.
微练习
1 1
已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 .假定两球是否落入盒子互
4 5
不影响,则甲、乙两球至少有一球落入盒子的概率为
.
答案
2
5
1
1
解析∵甲、乙两球落入盒子的概率分别为4 和 5,∴甲、乙两球至少有一球落
入盒子的概率为
1
1-(1- )×
4
1
15
=
2
.
5
微思考
(1)答案 B
解析 由比分可知甲从现在起需胜3次,输1次,且甲第四次胜,第1次或第2次
方法点睛 概率问题中的数学思想
(1)正难则反.灵活应用对立事件的概率关系(P(A)+P( )=1)简化问题,是求
1
3
在一局比赛中,甲队发球赢球的概率为2,甲队接发球赢球的概率为5,在比
分为 24∶24 平且甲队发球的情况下,甲队以 27∶25 赢下此局比赛的概率
为(
1
A.
8
)
3
B.
20
3
C.
10
7
D.
20
(2)设事件 A 与事件 B 相互独立,两个事件中只有 A 发生的概率与只有 B 发
1
生的概率都是4,求 P(A),P(B).
(C),4个条件每个都必不可少.
微练习
1 1
已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 .假定两球是否落入盒子互
4 5
不影响,则甲、乙两球至少有一球落入盒子的概率为
.
答案
2
5
1
1
解析∵甲、乙两球落入盒子的概率分别为4 和 5,∴甲、乙两球至少有一球落
入盒子的概率为
1
1-(1- )×
4
1
15
=
2
.
5
微思考
(1)答案 B
解析 由比分可知甲从现在起需胜3次,输1次,且甲第四次胜,第1次或第2次
10.2 事件的相互独立性 人教A版必修第二册第十章
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【高中数学】事件的相互独立性(课件) 【大单元教学】 高一数学(人教A版2019必修第二册)
ഥ =“乙脱靶”。
设事件A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,则 A
ഥ 与B, A
ഥ
ഥ, A
由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立, A与B
ഥ都相互独立。
与B
ഥ )=0.2, P(B
ഥ)=0.1,
由已知可得,P(A)=0.8, P(B)=0.9, P(A
(1)AB=“两人都中靶”, P(AB)= P(A) P(B)=0.8*0.9=0.72
AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}
所以
1
1
P(A)=P(B)= ,P(AB)= .
2
4
于是也有
P(AB)= P(A) P(B)
02
教学过程
第
7页
一、相互独立事件
对任意两个事件A与B,如果P(AB)= P(A) P(B)成立,则称事件A与事件B
相互独立,简称为独立.
ҧ
ҧ 也相互独
ത 与B,
ത
性质:若事件A和事件B相互独立,那么A与,
与
立。
教学过程
02
第
8页
例1:一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异,
采用不放回方式从中任意摸球两次。
设事件A=“第一次摸出求的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球
的标号小于3”,那么事件A与事件B是否相互独立?
设事件A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,则 A
ഥ 与B, A
ഥ
ഥ, A
由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立, A与B
ഥ都相互独立。
与B
ഥ )=0.2, P(B
ഥ)=0.1,
由已知可得,P(A)=0.8, P(B)=0.9, P(A
(1)AB=“两人都中靶”, P(AB)= P(A) P(B)=0.8*0.9=0.72
AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}
所以
1
1
P(A)=P(B)= ,P(AB)= .
2
4
于是也有
P(AB)= P(A) P(B)
02
教学过程
第
7页
一、相互独立事件
对任意两个事件A与B,如果P(AB)= P(A) P(B)成立,则称事件A与事件B
相互独立,简称为独立.
ҧ
ҧ 也相互独
ത 与B,
ത
性质:若事件A和事件B相互独立,那么A与,
与
立。
教学过程
02
第
8页
例1:一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异,
采用不放回方式从中任意摸球两次。
设事件A=“第一次摸出求的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球
的标号小于3”,那么事件A与事件B是否相互独立?
03 教学课件_事件的相互独立性(1)
B. 12
C. 3
D. 3
25
25
4
5
【解题提示】 判断两个事件是否独立,根据独立事件同时发生
的概率公式进行计算.
【解析】
设甲中靶为事件A,则P(A)=
8 10
=
4 5
,设乙中靶为事件B,
则P(B)=
7 10
.甲、乙两人同时射
击,
他
们相
互没有影响,所以A,B为
相互独立事件,则他们同时中靶为事件AB.
则
P(
AB)
=
P(A)
P(B)=
4 5
7
×10
=
14 25
.【答案】
A
反思感悟:求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件是相互独立的; (2)再确定各事件会同时发生; (3)先求每个事件发生的概率,再求其积.
【变式训练2】端午节放假,甲回老家过节的概率为 1 ,乙、丙回老家 3
过节的概率分别为 1 ,1 .假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段 45
)= 1
1 2
×1
2 3
×1
3 4
=
1 24
,
P(A4)=P(A B
C + ABC + A
B
C)=
1 2
×1
2 3
新人教版高中数学必修2课件:10.2 事件的相互独立性
3
×
=
,
2 4 32
3
29
甲、乙、丙三人的租车费用不完全相同的概率为 1-32 = 32.
(2)由题意可得,甲、乙、丙三人的租车费用和为 10 元,
1 1 1 1 1 1 1 1 1
①当三人的租车费用组合为 2,4,4 时,P1=2 × 2 × 4 + 4 × 4 × 4 + 4 × 4 × 2 =
解 用 A 表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”,用 B 表示“从乙机床生产的
产品中抽得正品”,用 C 表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”,用 D 表示
“抽得的两件产品中至少有一件正品”,则 C=A ∪ B,D=C∪AB.
(1)由题意知,A 与 B 是相互独立事件,P(B)=1-P()=1-0.05=0.95,P(A)=0.96,
所以P(D)=P(AB∪C)=P(AB)+P(C)
=0.912+0.086=0.998.
素养形成
概率问题中的数学思想
典例在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要其中有1个开关能
够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是
0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.
分析该线路是并联电路,当且仅当三个开关都不闭合时,线路才不通,故本
A.互斥 B.相互独立
C.对立 D.不相互独立
×
=
,
2 4 32
3
29
甲、乙、丙三人的租车费用不完全相同的概率为 1-32 = 32.
(2)由题意可得,甲、乙、丙三人的租车费用和为 10 元,
1 1 1 1 1 1 1 1 1
①当三人的租车费用组合为 2,4,4 时,P1=2 × 2 × 4 + 4 × 4 × 4 + 4 × 4 × 2 =
解 用 A 表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”,用 B 表示“从乙机床生产的
产品中抽得正品”,用 C 表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”,用 D 表示
“抽得的两件产品中至少有一件正品”,则 C=A ∪ B,D=C∪AB.
(1)由题意知,A 与 B 是相互独立事件,P(B)=1-P()=1-0.05=0.95,P(A)=0.96,
所以P(D)=P(AB∪C)=P(AB)+P(C)
=0.912+0.086=0.998.
素养形成
概率问题中的数学思想
典例在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要其中有1个开关能
够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是
0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.
分析该线路是并联电路,当且仅当三个开关都不闭合时,线路才不通,故本
A.互斥 B.相互独立
C.对立 D.不相互独立
新教材人教A版必修第二册 10.2事件的相互独立性 课件(44张)
B. 1
12
2
C. 7
D. 3
12
4
4.明天上午李明要参加“青年文明号”活动,为了准时起床,他用甲、乙两个 闹钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率为0.80,乙闹钟准时响的概率为0.90, 则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________. 【解析】设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A,则P(A)=1-(1-0.80)(10.90)=1-0.20×0.10=0.98. 答案:0.98
【定向训练】
某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米 跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为 2 , 3 , 1 ,若对这
5 43
三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测,求:
(1)三人都合格的概率.
(2)三人都不合格的概率.
(3)出现几人合格的概率最大.
5.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号 码不再重复,试求下列事件的概率: (1)第3次拨号才接通电话; (2)拨号不超过3次而接通电话.
2.如图,在两个圆盘中,指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指
针同时落在奇数所在区域的概率是
()
4 9
A. 4
B. 2
C. 2
D. 1
9
9
3
3
3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件
10.2+事件的相互独立性(教学课件)-高一数学(人教A版2019必修第二册)
3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3,假定在这
段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,计算在这段时间内:
(1)甲、乙两地都降雨的概率;
(2)甲、乙两地都不降雨的概率;
(3)至少一个地方降雨的概率.
解:(1)甲、乙两地都降雨的概率为0.2×0.3= 0.06.
(2)甲、乙两地都不降雨的概率为( 1-0.2)×( 1-0.3)= 0.8×0.7= 0.56.
枚硬币的抛掷结果互相不受影响,所以事件发生与否不影响事件发生的概率.
对于试验2,因为是有放回摸球,第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互
相不受影响,所以事件发生与否也不影响事件发生的概率.
在试验1中,用1表示硬币“正面朝上”,用0表示“反面朝上”,则样本空
间为 = {(1,1), (1,0), (0,1), (0,0)},包含4个等可能的样本点.而 = {(1,1), (1,0)},
∴ P ( A)
6 1
6 1
1 1
,P ( B )
,P ( AB )
,
12 2
12 2
12 6
∴P ( AB ) P ( A) P ( B ),
因此,事件A与事件B不独立.
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8, 乙的中
靶概率为0.9,求下列事件的概率:
【新教材精创】10.2 事件的相互独立性 课件(2)-人教A版高中数学必修第二册(共24张PPT)
14
12
A.25
B.25
3
3
C.4
D.5
答案 A
3.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13,两
人同时参加测试,其中有且只有一人能通过的概率是( )
1
2
A.3
B.3
1 C.2
D.1
答案 C
4.两个相互独立的事件 A 和 B,若 P(A)=12,P(B)=14,则 P(AB) =________.
小试牛刀
1.设 A 与 B 是相互独立事件,则下列命题中正确的是( )
A.A 与 B 是对立事件
B.A 与 B 是互斥事件
C.A 与 B 是不相互独立事件 D.A 与 B 是相互独立事件
答案 D
2.打靶时,甲每打 10 次可中靶 8 次,乙每打 10 次可中靶 7
次,若两人同时射击一目标,则他们都中靶的概率是( )
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为 4 元的概率.
解析 甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分 别为 1-14-12=14.1-12-14=14.
(1)租车费用相同可分为租车费都为 0 元、2 元、4 元三种情
况.租车费都为 0 元的概率为 p1=14×12=18,租车费都为 2 元的 概率为 p2=12×14=18,租车费都为 4 元的概率为 p3=14×14=116.
高数数学必修一《10.2事件的独立性》教学课件
2.掷两枚质地均匀的骰子,设A=“第一枚出现的点数大于2”,B
=“第二枚出现的点数小于6”,则A与B的关系为( )
A.互斥
B.互为对立
C.相互独立
D.相等
答案:C
解析:对于该试验,第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响,而且事件A、B可以同时发生,所以A、 B相互独立,但不互斥,也不对立,更不相等.故选C.
2.甲、乙两人练习射击,甲击中目标的概率为0.9,乙击中目标的 概率为0.7,若两人同时射击一目标,则他们都击中的概率是( )
A.0.3 B.0.63 C.0.7 D.0.9
答案:B
解析:设甲击中为事件A,乙击中为事件B,则P(AB)=P(A)·P(B)=0.9×0.7=0.63.故选B.
3.在某次考试中,甲、乙通过的概率分别为0.7,0.4,若两人考试
判断两个事件是否相互独立的方法
跟踪训练1 下列事件中,A,B是相互独立事件的是( ) A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面”,B=“第二次为反面” B.袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到 白球”,B=“第二次摸到白球” C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数” D.A=“一个节能灯泡能用1 000小时”,B=“一个节能灯泡能用 2 000小时”
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率; (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
课件3:10.2 事件的相互独立性
中、乙未射中(事件 A-B 发生),另一种是甲未射中、乙射中(事件 A B 发生).根据题意,事件 A-B 与 A B 互斥,根据互斥事件的概率加法公
式和相互独立事件的概率乘法公式.所求的概率为
P(A-B )+P( A B)=P(A)·P( B )+P( A )·P(B)
=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+0.18=0.26.
由事件的独立性定义,A 与 B 相互独立.
[教材解难]
由两个事件相互独立的定义,容易验证必然事件 Ω、不 可能事件∅都与任意事件相互独立.这是因为必然事件 Ω 总会发生,不会受任何事件是否发生的影响;同样,不 可能事件∅总不会发生,也不受任何事件是否发生的影 响.当然,它们也不影响其他事件是否发生.
4.两个相互独立的事件 A 和 B,若 P(A)=12,P(B)=14, 则 P(AB)=________.
解析:∵A、B 是相互独立事件,P(A)=12,P(B)=14 ∴P(AB)=P(A)·P(B)=12×14=18. 答案:18
【课堂探究】
题型一 相互独立事件的判断[经典例题] 例 1 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张,设 A=“抽 到 K”,B=“抽到红牌”,C=“抽到 J”,那么下列每对 事件是否相互独立?是否互斥?是否对立?为什么? (1)A 与 B;(2)C 与 A.
(3)“2 人至少有 1 人射中”包括“2 人都中”和“2 人有 1 人射中”2 种
式和相互独立事件的概率乘法公式.所求的概率为
P(A-B )+P( A B)=P(A)·P( B )+P( A )·P(B)
=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+0.18=0.26.
由事件的独立性定义,A 与 B 相互独立.
[教材解难]
由两个事件相互独立的定义,容易验证必然事件 Ω、不 可能事件∅都与任意事件相互独立.这是因为必然事件 Ω 总会发生,不会受任何事件是否发生的影响;同样,不 可能事件∅总不会发生,也不受任何事件是否发生的影 响.当然,它们也不影响其他事件是否发生.
4.两个相互独立的事件 A 和 B,若 P(A)=12,P(B)=14, 则 P(AB)=________.
解析:∵A、B 是相互独立事件,P(A)=12,P(B)=14 ∴P(AB)=P(A)·P(B)=12×14=18. 答案:18
【课堂探究】
题型一 相互独立事件的判断[经典例题] 例 1 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张,设 A=“抽 到 K”,B=“抽到红牌”,C=“抽到 J”,那么下列每对 事件是否相互独立?是否互斥?是否对立?为什么? (1)A 与 B;(2)C 与 A.
(3)“2 人至少有 1 人射中”包括“2 人都中”和“2 人有 1 人射中”2 种
10.2事件的相互独立性 课件【共26张PPT】
下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.
探究新知
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B,你觉得事件A发生与否会影响事件 B发生的概率吗?
试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币,A=“第一枚硬币正面朝上”,B=“第二枚 硬币反面朝上”.
试验2:一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异, 采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次 摸到球的标号小于3”.
事件A=“第一次摸出球的标号小于3"”与事件B=“第二次摸出球的标号小于3”.
解:(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的
概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
(2)A={2,4,6},B={3,6},AB={6}, 所以P(A)=3/6=1/2,P(B)=2/6=1/3,P(AB)=1/6,所以P(AB)=P(A)P(B),所
对于试验1,因为两枚硬币分别抛掷,第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结 果互相不受影响,所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.
对于试验2,因为是有放回摸球,第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影 响,所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
思考1. 试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币,A=“第一枚硬币正面朝上”, B=“第二枚硬币反面朝上”.
探究新知
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B,你觉得事件A发生与否会影响事件 B发生的概率吗?
试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币,A=“第一枚硬币正面朝上”,B=“第二枚 硬币反面朝上”.
试验2:一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异, 采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次 摸到球的标号小于3”.
事件A=“第一次摸出球的标号小于3"”与事件B=“第二次摸出球的标号小于3”.
解:(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的
概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
(2)A={2,4,6},B={3,6},AB={6}, 所以P(A)=3/6=1/2,P(B)=2/6=1/3,P(AB)=1/6,所以P(AB)=P(A)P(B),所
对于试验1,因为两枚硬币分别抛掷,第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结 果互相不受影响,所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.
对于试验2,因为是有放回摸球,第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影 响,所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
思考1. 试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币,A=“第一枚硬币正面朝上”, B=“第二枚硬币反面朝上”.
2021高中人教A版数学必修第二册课件:第十章-10.2 事件的相互独立性
第十章ꢀꢀꢀ概率ꢀꢀꢀꢀ10.2ꢀ事件的相互独立性
标
1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义.
2.结合古典概型,利用独立性计算概率,并能解决一些简单问题.重点:相互独立事件的概念及概率的计算.
难点:独立性的应用.
知识梳理
三ꢀꢀꢀ相互独立事件与互斥事件的区别
(1)互斥事件与相互独立事件都描述两个或两个以上事件间的关系,但互斥事件强调不可能同时发生,相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响;互斥的两个事件可以独立,独立的两个事件也可以互斥.用表格表示如下:
ꢀ
相互独立事件互斥事件一个事件的发生与否对另一个事件发
生的概率没有影响
两个事件不可能同时发生,判断方法即A∩B =ꢀ若事件A 与B 相互独立,
若事件A 与B 互斥,则P (A+B )=P (A )+P (B ),反之不成立概率公式
则P (AB )=P (A )·P (B )
(2)已知两个事件A ,B 的概率分别为P (A ),P (B ),那么我们有如下结论:
事件
概率概率(A ,B 互斥)P (A )+P (B )概率(A ,B 相互独立)A ,B 中至少有一个发生
P (A ∪B )A ,B 都发生
P (AB )0P (A )P (B )A ,B 都不发生
1-[P (A )+P (B )]P (A )+P (B )
A ,
B 恰有一个发生A ,B 中至多有一个发生
11-P (A )P (B )
常考题型
题型一ꢀ相互独立事件的判断
例ꢀꢀꢀ判断下列各对事件是不是相互独立事件.
(1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生.现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
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探究三 相互独立事件的综合应用 [例 3] 甲、乙二射击运动员分别对一目标射击 1 次,甲射中的概率为 0.8,乙射中 的概率为 0.9,求: (1)2 人都射中目标的概率; (2)2 人中恰有 1 人射中目标的概率; (3)2 人至少有 1 人射中目标的概率.
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[自主检测]
1.若事件 A 与 B 相互独立,则下列不相互独立的事件为( )
A.A 与 B
B. A 与 B
C.B 与 B
D.B 与 A
解析:由相互独立性质知 A 与 B , A 与 B ,B 与 A 也相互独立.
答案:C
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与相互独立事件有关的概率问题求解策略 (1)明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都 发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义. (2)一般地,已知两个事件 A,B,它们的概率分别为 P(A),P(B),那么: ①A,B 中至少有一个发生为事件 A+B. ②A,B 都发生为事件 AB. ③A,B 都不发生为事件 A B . ④A,B 恰有一个发生为事件 A B + A B. ⑤A,B 中至多有一个发生为事件 A B + A B+ A B .
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探究二 相互独立事件的概率的求法 [例 2] 面对非洲埃博拉病毒,各国医疗科研机构都在研究疫苗,现有 A、B、C 三 个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15、14、13. 求:(1)他们都研制出疫苗的概率; (2)他们都失败的概率; (3)他们能够研制出疫苗的概率.
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[解析] 令事件 A、B、C 分别表示 A、B、C 三个独立的研究机构在一定时期内成功 研制出该疫苗,依题意可知,事件 A、B、C 相互独立,且 P(A)=15,P(B)=14,P(C) =13. (1)他们都研制出疫苗,即事件 ABC 同时发生,故 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=15×14×13=610.
[提示] 积事件 AB 的概率 P(AB)恰好等于 P(A)与 P(B)的乘积.
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知识梳理 (1)对任意两个事件 A 与 B,如果 P(AB)= P(A)P(B) 成立,则称事件 A 与 事件 B 相互独立,简称为独立. (2)如果事件 A 与事件 B 相互独立,则 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都 相互独立 . (3)事件 A 与事件 B 相互独立,则 P(AB)= P(A)P(B) .
1.一袋中装有 5 只白球,3 只黄球,在有放回地摸球中,设 A1=“第一次摸得白球”,
A2=“第二次摸得白球”,则事件 A1 与 A2 是 ( )
A.相互独立事件
B.不相互独立事件
C.互斥事件
D.对立事件
解析:由题意知 A2 =“第二次摸到的不是白球”,即 A2 =“第二次摸到的是黄球”, 由于采用有放回地摸球,故每次是否摸到黄球或白球互不影响,故事件 A1 与 A2 是相 互独立事件. 答案:A
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1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的; (2)确定这些事件可以同时发生; (3)求出每个事件的概率,再求积. 2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件——各个 事件是相互独立的,而且它们同时发生.
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探究一 相互独立事件的判断 [例 1] 假定一个家庭中有两个或三个小孩,生男孩和生女孩是等可能的,令 A=“一 个家庭中既有男孩又有女孩”,B=“一个家庭中最多有一个女孩”.对下述两种情 形,判断 A 与 B 的独立性: (1)家庭中有两个小孩. (2)家庭中有三个小孩.
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本例第(3)问,将“至少”改为“至多”,又该如何求解?
解析:法一:“至多有 1 人击中目标”包括“有 1 人击中”和“2 人都未击中”,故 所求概率为: P=P( A ·B )+P(A·B )+P( A ·B) =P( A )·P( B )+P(A)·P( B )+P( A )·P(B) =0.02+0.08+0.18=0.28. 法二:“至多有 1 人击中目标”的对立事件是“2 人都击中目标”,故所求概率为 P =1-P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-0.72=0.28.
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10.2 事件的相互独立性
.-.
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内容标准
学科素养
1.结合有限样本空间及古典概型,了解事件相互独立的含义.
数学抽象
2.会利用相互独立事件的概率公式计算随机事件的概率.
数学运算
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课前 • 自主探究
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源自文库
[解析] (1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形 Ω={(男,男),(男,女),(女, 男),(女,女)},它有 4 个样本点,由等可能性知概率都为14. 这时 A={(男,女),(女,男)}, B={(男,男),(男,女),(女,男)}, AB={(男,女),(女,男)}, 于是 P(A)=12,P(B)=34,P(AB)=12. 此时 P(AB)≠P(A)P(B), 所以事件 A 与事件 B 不独立.
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(2)他们都失败即事件 A B C 同时发生. 故 P( A B C )=P( A )P( B )P( C ) =[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)] =(1-15)×(1-14)×(1-13) =45×34×23=25. (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”,结合对立事件间的概率关 系可得所求事件的概率 P=1-P( A B C )=1-25=35.
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课堂 • 互动探究
课后 • 素养培优
课时 • 跟踪训练
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[教材提炼] 知识点 相互独立事件 预习教材,思考问题 我们知道,积事件 AB 就是事件 A 与事件 B 同时发生.因此,积事件 AB 发生的概 率一定与事件 A,B 发生的概率有关.那么,这种关系会是怎样的呢?
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P(A·B )+P( A ·B)=P(A)·P( B )+P( A )·P(B) =0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+0.18=0.26. ∴2 人中恰有 1 人射中目标的概率是 0.26. (3)法一:2 人至少有 1 人射中包括“2 人都中”和“2 人有 1 人不中”2 种情况,其 概率为 P=P(A·B)+[P(A·B )+P( A ·B)]=0.72+0.26=0.98. 法二:“2 人至少有一个击中”与“2 人都未击中”为对立事件,2 个都未击中目标 的概率是 P( A ·B )=P( A )·P( B )=(1-0.8)(1-0.9)=0.02, ∴“两人至少有 1 人击中目标”的概率为 P=1-P( A ·B )=1-0.02=0.98.
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[解析] 记“甲射击 1 次,击中目标”为事件 A,“乙射击 1 次,击中目标”为事件 B,则 A 与 B, A 与 B,A 与 B , A 与 B 为相互独立事件, (1)2 人都射中的概率为: P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=0.72, ∴2 人都射中目标的概率是 0.72. (2)“2 人各射击 1 次,恰有 1 人射中目标”包括两种情况:一种是甲击中、乙未击 中(事件 A·B 发生),另一种是甲未击中、乙击中(事件 A ·B 发生).根据题意,事件 A·B 与 A ·B 互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求 的概率为:
2.若事件 E 与 F 相互独立,且 P(E)=P(F)=14,则 P(EF)的值等于(
)
A.0
1 B.16
1
1
C.4
D.2
解析:因为 E 与 F 相互独立,P(E)=P(F)=14, 所以 P(EF)=P(E)P(F)=116. 答案:B
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3.甲、乙两人投球命中率分别为12、23,甲、乙两人各投一次,恰好命中一次的概率
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两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)定义法:如果事件 A,B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率与事件 B 发生的 概率的积,则事件 A,B 为相互独立事件.
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5.甲、乙两人参加歌唱比赛,晋级概率分别为45和34,且两人是否晋级相互独立,求 两人中恰有一人晋级的概率.
解析: 甲、乙两人参加歌唱比赛,晋级概率分别为45和34,且两人是否晋级相互独立, 故有甲晋级乙不能晋级的概率分别为45,14,而甲不能晋级乙晋级的概率分别为15,34, 则两人中恰有一人晋级的概率为 45×14+15×34=270.
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(2)恰好有一颗骰子出现 1 点或 6 点,即 A 发生 B 不发生 C 不发生或 A 不发生 B 发 生 C 不发生或 A 不发生 B 不发生 C 发生,用符号表示为事件 A B C + A B C + A B C,所求概率为: P(A B C + A B C + A B C)=P(A B C )+P( A B C )+P( A B C) =P(A)P( B )P( C )+P( A )P(B)P( C )+P( A )P( B )P(C) =13×23×23+23×13×23+23×23×13=1227=49.
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(2)有三个小孩的家庭,男孩、女孩的所有可能情形 Ω={(男,男,男),(男,男,女), (男,女,男),(男,女,女),(女,男,男),(女,男,女),(女,女,男),(女,女, 女)}. 由等可能性知这 8 个样本点的概率均为18,这时 A 中含有 6 个样本点,B 中含有 4 个 样本点,AB 中含有 3 个样本点. 于是 P(A)=68=34,P(B)=48=12,P(AB)=38, 显然有 P(AB)=38=P(A)P(B)成立. 从而事件 A 与事件 B 相互独立.
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2.掷三颗骰子,试求: (1)没有一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率; (2)恰好有一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率. 解析:用 A、B、C 分别表示事件“第 1、2、3 颗骰子出现 1 点或 6 点”,由已知 A、 B、C 是相互独立事件,且 P(A)=P(B)=P(C)=13. (1)没有 1 颗骰子出现 1 点或 6 点,也就是事件 A、B、C 全不发生,即事件 A B C ,所以所求概率为: P( A B C )=P( A )P( B )P( C )=23×23×23=287.
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4.已知 P(A)=0.3,P(B)=0.5,当事件 A,B 相互独立时,P(AB)=______,P(A∪ B)=________.
解析:因为 A,B 相互独立,所以 P(AB)=0.3×0.5=0.15,P(A∪B)=P(A)+P(B)- P(AB) =0.3+0.5-0.15=0.65. 答案:0.15 0.65
为( )
1
2
A.2
B.5
C.35
D.56
解析:事件“甲投球一次命中”记为 A,“乙投球一次命中”记为 B,“甲、乙两人
各投一次恰好命中一次”记为事件 C,则 C=A B ∪ A B 且 A B 与 A B 互斥,P(C)=
P(A B ∪ A B)=P(A)P( B )+P( A )P(B)=12×13+12×23=36=12.故选 A. 答案:A